EXCEL辅助教学——取整函数与带余除法

郑小英 吕双庆 丽江师范高等专科学校数学与计算机科学系

EXCEL辅助教学
——取整函数与带余除法

郑小英 吕双庆 丽江师范高等专科学校数学与计算机科学系

文章从理论到案例说明了应用EXCEL取整函数主要有INT函数，ROUND函数，FLOOR函数计算初等数论中的带余除法中的整数对(q,r)时的要点和应注意的问题。

EXCEL 取整函数 带余除法

1 问题的提出

计算机辅助教学对于许多学科都很重要，应用EXCEL辅助数学教学尤为突出，若应用得当，初等数论中许多定理的教与学都将变得简单易行。

2 取整函数

EXCEL取整函数主要有INT函数，ROUND函数，FLOOR函数三类。

INT函数是将数值向下舍入到最接近的整数，语法结构是Int(number)，其中number是需要进行向下舍入取整的实数。ROUND函数是按指定的位数对数值进行四舍五入运算，语法结构是ROUND(number, num_digits)，其中number是需要四舍五入数，num_digits是要进行四舍五入运算的位数，所以num_digits³0，当num_digits=0时表示四舍五入到最接近的整数。FLOOR函数是将数值向下舍入（沿绝对值减小的方向）为最接近的指定倍数，语法结构是FLOOR(number, significance)，其中number是要进行计算的数值，significance是要舍入到的倍数。

3 带余除法

带余除法：设a,b∈Z，则必存在唯一的整数对(q,r)使得a=bq+r成立，其中0≤r＜b，当r=0时即为整除。

4 问题及算法实现

带余除法是初等数论中的核心定理，怎样计算(q,r)显得尤为重要，若用欧几里得算法传统数学方法进行计算，则在a,b较大特别困难且很繁杂，若能有效利用EXCEL取整函数进行计算将有效减轻人工计算工作量。

例1.计算(q,r)，使得a=bq+r，其中a=1160718174, ,b=70070成立。

INT算法和ROUND算法：计算a¸b，对计算结果取整，取整结果即为q，由a=bq+r逆推可得r=a-b´q，计算求出r。实现：

Step1.在单元格A1内输入1160718174，A2内输入70070，计算A3=A1/A2=16565.1231。

Step2.应用取整函数计算A4=INT（A3）=16565。也可以用ROUND函数进行计算A4=ROUND（A3，0）=16565。

Step3.应用逆推公式计算A5=A1-A2*A3=8624。

FLOOR算法：计算a向下舍入（沿绝对值减小的方向）为最接近的b倍，不妨设为c，则q=c¸b，r=a-c。实现：

Step1.在单元格A1内输入1160718174，A2内输入70070，计算A3=Floor（A1，A2）可得A3=1160709550。

Step2.计算q=c¸b=16565。

Step3.计算r=A1-A3=8624。

例2.计算(q,r)，使得a=bq+r，其中a=-1160718174, b=70070成立。

INT算法和ROUND算法：计算a¸b，对计算结果取整，取整结果即为q，由a=bq+r逆推可得r=a-b´q，计算求出r。实现：

Step1.在单元格A1内输入1160718174，A2内输入70070，计算A3=A1/A2=-16565.1231。

Step2.应用取整ROUND函数进行计算A4=ROUND（A3，0）=-16565。

Step3.应用逆推公式计算A5=A1-A2*A3=-8624。

这一结果明显不正确，错误出自于取整计算，显然，当出现负数时，计算取整[x]应取不大于x的最大整数，故此时可应用INT算法或FLOOR函数进行计算。

FLOOR算法：计算a向下舍入（沿绝对值减小的方向）为最接近的b倍，不妨设为c，则q=c¸b，r=a-c。实现：

Step1.在单元格A1内输入1160718174，A2内输入70070，计算A3=Floor（A1，A2）可得A3=-1160779620。

Step2.计算q=A3¸A2=-16566。

Step3.计算r=A1-A3=61446。

事实上，若要用ROUND函数进行实现也是可能的，只需将函数改为其子函数ROUND UP函数即可，此时应用原算法进行计算亦可得正确结论。

综上，ROUND函数应用局部受限于数值的正负，INT函数和FLOOR函数相对受此限制较小。总之，对于初等数论中的带余除法来说，运用EXCEL进行辅助教学需特别注意当计算量中出现负数时的情形。