基于改进二维分形模型的海面模拟方法

何四华，吴春光，丛 滨

(中国人民解放军92941部队 91分队， 辽宁 葫芦岛 125000)

【基础理论与应用研究】

基于改进二维分形模型的海面模拟方法

何四华，吴春光，丛 滨

(中国人民解放军92941部队 91分队， 辽宁 葫芦岛 125000)

针对粗糙海面的非线性和自相似性特点，在带限Weierstrass分形函数的基础上，建立了改进二维分形模型，描述了表面谱与空间波数之间的正幂率和负幂率关系，针对P-M海谱给出了分形参数的定量描述，实现了对粗糙海面的模拟。仿真结果表明，模型能够生成不同风速下的海面模型，反映了小尺度波浪的细微结构和大尺度波浪的浪涌特性，不同尺度的组成波之间具有较好的自相似性，可以较好地模拟粗糙海面背景。

Weierstrass分形函数；P-M海谱；改进二维分形模型；粗糙海面

海面背景下舰船目标的电磁散射特性是反舰武器系统试验鉴定结果评定的重要依据，也是水面靶标设计的基础。几何建模是电磁散射特性仿真分析的基础和前提，几何模型的可靠性和建模精度直接决定了电磁散射计算的精度。除了舰船目标外，如何精确地建立粗糙海面背景的几何模型是电磁散射特性仿真分析的重要前提[1]。由于影响海面形态的动力因素复杂多变，建立一个完全准确的数学模型十分困难，因此海面模拟的方法通常都是基于一定的假设前提，而且诸多技术仍处于发展中。由于实际海面具有非线性和自相似性等分形结构的特点，基于分形理论实现对粗糙海面的建模具有独特的优势。

1 海面状态的描述

为了研究粗糙海面的几何特征，需要了解海浪的形成过程、影响海面形状变化的动力因素和海面状态的描述方式。有3种数值方式描述海面状态[2]，分别是Doglsas级数、国际气象组织(WMO)代码75和蒲福风级。其中Doglsas级数应用广泛，但后来被WMO代码75代替了，而蒲福风级是用风速来划分海面状态。表1所示为Doglsas级数和WMO的划分尺度，表2为蒲福风级的划分尺度。

表1 WMO和Doglsas划分尺度

表2 蒲福风级的划分尺度

2 海面模拟

海面可视作由无限多个振幅不同、频率不同、方向不同、相位杂乱的海浪波组成的随机过程。海谱是功率谱，代表海浪能量相对于组成波各空间频率或各空间波数的分布，已经成为模拟海面的基础和检验标准[3]。

2.1 海谱

将海浪视为随机过程，通过海谱来描述海浪已成为主要的研究途径，因此确定谱的形式是研究随机海浪的重要内容。海谱可表示为频谱S(ω)或者波数谱S(k)，它们之间满足如下关系

(1)

其中，σ2是海面相对于参考面的均方根。

对于二维海面，功率谱不仅与频率(波数)有关，还与方向有关。引入角度分布函数后，功率谱是二维的，称为方向谱。方向谱的表示形式有S(ω,θ)，S(k,θ)和S(kx=kcosθ,ky=ksinθ)，其中θ为观测方向与逆风方向之间的夹角。这3种方向谱满足如下关系

(2)

忽略波浪间的非线性相互作用，海水中k和ω的关系式为

(3)

完成年度公益性水利工程维修养护资金合规性审核。对24个中西部地区、贫困地区省份的县级国有管理单位及其所属单位申报的2013年度中央财政补助资金项目，从项目范围、项目类别、维修养护内容、维修养护经费等方面进行合规性审核，涉及承担防洪、排涝、抗旱、灌溉等公益性任务的水库、水闸、堤防、控导工程、泵站、淤地坝等6类工程6 000多个项目。

(4)

海谱可分为重力波谱和张力波谱。到目前为止，众多学者已提出了多种形式的海谱模型。其中，P-M谱是一种比较经典且应用广泛的重力波谱；Fung的半经验海谱是最早的完全海谱(包含重力波和张力波)，根据该谱模型计算出的散射结果与测量值吻合较好；D-B-J谱是一种最新的完全海谱，并且有效地区分了顺风和逆风的情形；JONSWAP谱是一种非稳态海谱，被认为是国际标准海洋谱。

2.2 带限Weierstrass分形函数的海面模拟

自1982年Mandelbrot首次提出“分形”的概念后，分形理论在众多领域内得到了广泛应用。由于实际海面具有非线性和自相似性等分形结构的特点[4]，因此，不少学者近年来开始研究模拟海面的分形模型。通常用经典的带限Weierstrass分形函数来模拟二维动态海面，该模型表示为

(5)

式中：σ为海面的高度起伏均方根；C为归一化因子；Nf为谐波数量；s是分形模型的分维数(21)；K0为海表面的空间基波数；θn为主方向角；βn(t)为相对于主方向角(风向)的偏角；Ωn为第n个谱分量的圆频率；φn是[-π,π]上均匀分布的随机相位；Vx和Vy分别是雷达平台沿x和y方向的运动速度。

可见，该分形模型需要设置的参数较多，约束关系复杂，参数的变化可直接在该谱的变化中反映出来，可较好地反映海面的实际情况。但该模型表面谱与空间波数之间仅包含负幂率部分[5]，而实际海面既包括正幂率部分又包括负幂率部分，因此只能部分与海谱模型吻合。

针对带限Weierstrass分形函数模型存在的问题[6]，提出了一种改进的二维分形模型，增加了表面谱与空间波数之间正幂率部分的描述，并通过推导对各项参数进行了定量说明。改进后的模型表示为

(6)

可见，改进后的模型在原有模型等式右边新增了一项，保留项中所有参数定义与原有模型一致[7]。受新增项的影响，归一化因子C表示为

(7)

3 仿真分析

3.1 仿真方法

1) 设定海面大小，划分波面网格；

2) 选定海谱，对频率空间和方向空间进行分割离散，求出不同频率和不同方向下的波幅；

3) 根据式(6)确定波浪的造型；

4) 设定时间步长Δt，依次改变时间t，得到时变动态海面。

3.2 仿真结果

采用P-M海谱和改进二维分形模型等两种方法进行动态海面生成,分别设置风速U=2 m/s,U=4 m/s和U=6 m/s, 结果如图1～图3所示，其中图1(c)、图2(c)、图3(c) 均为动态海面中的一组抽样数值。

统计3种条件下的实验数据，对P-M海谱和改进二维分形模型生成的动态海面进行均值和方差统计，比较分析模型的一致性，对动态海面的抽样数据的拐点数进行统计，比较分析模型对动态海面细节的描述程度，结果如表3所示。

图1 风速U=2 m/s条件下生成的动态海面

图2 风速U=4 m/s条件下生成的动态海面

图3 风速U=6 m/s条件下生成的动态海面

方法风速U=2m/s均值方差拐点数风速U=4m/s均值方差拐点数风速U=6m/s均值方差拐点数P⁃M海谱00．60151201．1670902．33259改进二维分形模型00．58393501．15892101．982614

3.3 数据分析

数据结果分析对比表明：

1) 改进二维分形模型和P-M海谱生成动态海面高度的均值和方差比较接近，表明两种动态海面生成模型具有较好的一致性。

2) 相同风速条件下，改进二维分形模型能够更好地表现小尺度波浪细微结构的动态变化，生成动态海面的细节信息较P-M海谱丰富，可以取得较好的模拟效果。

3) 随着风速增大，海面大尺度波开始起主导作用，小尺度波渐渐被忽略，能够更好地表现大尺度波浪的浪涌特性，动态海面也表现出了很明显的分形特点，即不同尺度的组成波之间的自相似性。

4 结论

提出了一种基于改进二维分形模型的海面模拟方法，更好地描述了表面谱与空间波数之间的负幂率部分和正幂率部分，给出了分形模型的具体参数，与P-M海谱进行了比对，仿真结果表明分形方法更加具体的表达了粗糙海面的非线性几何特性。模型与实际测量结果的吻合程度需要大量的数据进行验证，这项工作有待后续开展。

[1] 方重华.复杂的二维海面电磁散射模型[J].哈尔滨工程大学学报,2008,29(8):779-782.

[2] 齐国雷,周东方,饶育萍,等.FDTD方法分析高功率微波粗糙地面散射特性[J].强激光与粒子束,2010,22(9):2092-2096.

[3] 郭立新，官秀国，徐英霞.分形粗糙面单站散射的遮蔽效应研究[J].西安电子科技大学学报,2003,30(5):617-622.

[4] 陈勇,侯德亭,齐国雷,等.分形海面电磁散射特性的基尔霍夫近似[J].信息与电子工程,2009,7(5):409-412.

[5] 王运华,郭立新,吴振森.改进的一维分形模型在海面电磁散射中的应用[J].电子学报,2007,35(3):478-483.

[6] 侯德亭,宋航,陈勇,等.分形海面的微波电磁散射计算模型[J].强激光与粒子束,2010,22(9):2119-2123.

[7] 杨俊岭,郭立新,万建伟.基于未充分发展海谱的分形海面模型及其电磁散射研究[J].物理学报,2007,56(4):2106-2114.

(责任编辑 唐定国)

Simulation Method of Sea Surface Based on Improved Two-Dimensional Fractal Model

HE Si-hua, WU Chun-guang, CONG Bin

(91 Element of No.92941stTroop of PLA, Huludao 125000, China)

According to the nonlinear and self-similarity characteristics of rough surface, based on the band-limited Weierstrass fractal function, the improved two-dimensional fractal model was set up, and the relationship between the positive power and negative power of surface spectrum and space wave number was described. According to that P-M sea spectrum the quantitative description of fractal parameters was given, the simulation of rough sea surface was realized. Simulation results indicated that the model can generate the surface of the model under different wind speed, and the fine structure of small scale waves and the surge characteristics of large scale waves were showed, and the composition of the different scale had a good self-similarity between wave, which could better simulate the rough sea surface background.

Weierstrass fractal function; P-M sea spectrum; the improved two-dimensional fractal model; rough sea surface

2016-12-26；

2017-01-25 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673129)

何四华(1979—)，男，博士，主要从事目标特性、非线性信号处理研究。

10.11809/scbgxb2017.05.036

format:HE Si-hua, WU Chun-guang, CONG Bin.Simulation Method of Sea Surface Based on Improved Two-Dimensional Fractal Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(5):155-158.

TP15

A

2096-2304(2017)05-0155-04

本文引用格式：何四华,吴春光,丛滨.基于改进二维分形模型的海面模拟方法[J].兵器装备工程学报，2017(5):155-158.