平面向量分解定理的精细化分析

上海市向明中学(200020) 侯宝坤

平面向量分解定理的精细化分析

上海市向明中学(200020) 侯宝坤

数学定理是数学中最为重要的结论,也是经常被引用的结论.怎样深刻理解定理是教师教学的关键,也是数学解题得以持续发展的关键.数学定理教学,首先在于教师深入细微的精准分析,形成深刻全面的认识,然后在教学中根据学情,适时恰当的、有选择的采用,才能有效地促进学生对定理的深刻把握和灵活应用.下面就以“平面向量分解定理”为例谈谈个人的分析体会,并且根据分析角度提供一些新颖的创新命题,希望能为大家解读定理提供一个范式,更欢迎大家批评指教!

一、定理来源的精细化

数学定理是我们对数学知识深入研究的过程中产生的,是知识发展的关键,甚至是整个知识发展的线索,是数学系统的重要环节.数学知识无外乎两个来源,一是现实生活和其他学科的需求促进了知识的形成,一是数学知识的内部发展促进了知识的自然延伸或突破.

向量分解定理的现实来源于物理学速度、位移等物理量的分解,从教学接受度分析,用位移举例更容易让学生理解,从A移动到B,可以先从A移动到C,再从C移动到B,这个过程就完成了向量

“求逆”是数学中一种重要的思维方式,当产生一个概念、运算、定理时,我们总会想想它的反面是什么.比如,出现“和”我们想到“差”,出现“乘方”想到“开方”以及“对数”,出现“原命题”想到“逆命题”,出现“充分”想到“必要”等等,都是求逆思维的体现.向量加法的效果是将两个向量合成一个向量,即b+c=a,根据求逆思维,自然有:已知a,b求c,向量的减法产生了;已知a,求b,c,向量的分解产生了,由于向量有两个要素:大小和方向,这样分解就会呈现丰富的变化.

二、定理词句的精细化

在以往的阅读教学中,我们喜欢突出对关键词语的理解,往往忽视对其他限定词和连接词的推敲.今天我们提议对每个词句进行深入理解,通过精细化的推敲,促进对定理正、反、侧三方面的立体化理解,深刻把握定理内容.

1.为什么强调“平面”?

定理标题和内容中出现了3次“平面”,我们不能仅仅用“我们研究的是平面向量,当然要强调平面”来敷衍学生.其实,两个不共线的向量e1和e2必定能确定一个平面,关键在于强调向量a也是在这个平面内的,否则过a的终点作e1的平行线就平行于这个平面,不能和e2所在直线相交,也就不可能用e1和e2来线性表示了.

2.e1和e2共线结果又会怎样?

如果a与e1、e2都共线,设

则

根据向量共线定理,得:关于λ1,λ2的方程λ1+λ2k=λ(其中λ,k为常数).若k=0,即e2=0,此时有唯一解,也刚好是向量共线定理;若k≠0,此时不定方程有无数解λ1=λ−kλ2,λ2∈R,即向量a的分解不唯一.

如果a与e1、e2不共线,显然λ1e1+λ2e2与e1、e2都共线,所以a不能用e1和e2之一来线性表示.

3.为什么要两个不共线向量,三个又将如何?

根据2的分析,如果只有一个基向量,显然只能表示与之共线的向量,不能表示与之不共线的向量,所以要能表示平面上所有向量,基向量至少要两个不共线的向量.

如果三个不全共线非零向量做基向量,设为e1、e2、e3,且e1与e2不共线.a=λ1e1+λ2e2+λ3e3,即

当λ3不同时a−λ3e3也不同,根据向量分解定理,每个a−λ3e3是可以用e1、e2唯一表示的,即数对(λ1,λ2)是随着λ3的确定才唯一确定,当λ3不同(λ1,λ2)也不同,所以数对(λ1,λ2,λ3)是不唯一的,即a用e1、e2、e3表示不唯一.

创新试题1下列命题正确的有

① 若平面向量a不能用向量e1、e2来线性表示,则向量e1与e2平行;

② 若平面向量a用向量e1、e2来线性表示不唯一,则向量e1与e2平行;

③ 若平面向量e1、e2、e3都不共线,平面内给定的向量a和常数λ1,则a−λ1e1能用向量e2、e3来线性表示,且表示唯一;

④ 若平面向量e1、e2、e3都不共线,则平面内的任意向量a都能用向量e1、e2、e3来线性表示,且表示唯一;

⑤ 若平面向量e1、e2、e3不全共线,则平面内的任意向量a都能用向量e1、e2、e3来线性表示,且不同表示的对应系数各不相同;

根据2、3显然正确的为①,②,③.

4.实数λ1,λ2含义如何,为什么“有且只有一对”?

由于λe1是e1方向的分量,|λ1|是分量与e1的模之比,正负反映它们方向相同或相反.

从几何证明过程知道,过a的终点作e1的平行线有且只有一条,交e2所在直线自然就只有一个交点,即e2方向上的分量唯一,所以λ2唯一;同理λ1也唯一,因此说:“有且只有一对实数λ1,λ2”.这是一个几何证明,有没有代数角度的证明呢?

我们反设a=λ1e1+λ2e2,且a=µ1e1+µ2e2,其中λ1=µ1和λ2=µ2不同时成立.

不妨设λ1≠µ1,因为

5.若a=λ1e1+λ2e2,则a一定在e1与e2确定的平面内吗?

λe1与e1共线,自然在e1与e2确定的平面内;同样λ2e2也在e1与e2确定的平面内,根据平行四边形法则,对角线a=λ1e1+λ2e2向量当然在这个平面内了.

三．定理变式的精细化

1.几何图形变式

图1

图2

图3

图4

教材的引入和例题都使用的是向量a夹在e1和e2之间的图1,我们称之为标准图式,这个图形与物理上力的合成与分解图式对应,学生很容易理解,但要考查学生是否能深刻理解分解方法和系数λ1,λ2的意义就必须借助变式图形来促进,如图2,图3,图4.

2.量的关系变式

向量分解定理a=λ1e1+λ2e2中涉及到5个量,我们可以控制一些量来观察其他量的关系,促进理解每个参数和量的功能,从而达到全面深刻理解定理的目的.

(1)“知四求一”问题

五个量知道四个求剩下一个,应该是比较简单的问题.

问题1已知λ1,e1,λ2,e2,求向量a,使

这是一个简单的向量加法问题.

问题2已知a,λ1,λ2,e2,求向量e1,使

利用方程思想和数乘向量的意义,若λ1=0,只有当a=λ2e2时有解,且e1可以为任意向量,否则无解;若λ≠0,容易求得e1有唯一解:

问题3已知a,e1,λ2,e2,求实数λ1,使

由于向量a−λ2e2是固定的,若e1//a−λ2e2,当a−λ2e2=e1=0时,λ1可以取一切实数;当e1≠0时,实数λ1有唯一解.若e2∦a−λ2e2,则实数λ1不存在.

(2)“知三求二”问题

五个量知道三个求剩下两个,这是个不定方程,会呈现一定的摇摆性,有些难度,但对理解已知对未知的影响,两个未知之间的相互关系会有很大帮助.

问题4已知向量a及两个不共线向量e1,e2,且a=λ1e1+λ2e2,求实数λ1,λ2;

如果向量给出坐标,就是一个解线性方程组的问题,如果允许e1,e2共线也会出现有无数解和无解的情况;如果给出的是几何背景,用到平行线性质和解三角形的可能性较大.特别地,由于基向量的作用主要在提供方向上,我们取|e1|=|e2|=1,|λ1|,|λ2|刚好为各自分向量的长度.如:

创新试题2已知单位向量e1,e2与向量a的夹角分别为30°和60°,且满足|a|=2,a=λ1e1+λ2e2,求实数λ1,λ2的值.

利用解三角形知识易得,当e1,e2在a的异侧时,当e1,e2在a的同侧时,λ2=−2.

问题5已知向量a,e1及实数λ1,且a=λ1e1+λ2e2,求实数λ2,e2;

显然向量λ2e2=a−λ1e1是唯一确定的,本质在向量的减法.若a−λ1e1≠0,向量e2的方向有两个选择,分别与a−λ1e1同向和反向;|e2|有无数种选择,但λ2与e2是一一对应的关系,特别地,当|e2|=1时,e2选择减少到两个,对应λ2也是互为相反数的两个数.若a−λ1e1=0,当λ2=0时,λ2为任意向量;当e2=0,e2为任意实数.

问题6已知向量a,e2及实数λ1,求实数λ2,e1使a=λ1e1+λ2e2;

对这个不定方程,先给出λ2,根据问题2就可以知道解的情况,问题反而简单了.与问题 4一样我们取|e1|=|e2|=1,形成:

创新试题3 已知向量a,单位e2及实数λ1,是否存在实数λ2,及单位向量e1,使a=λ1e1+λ2e2成立?

图5

如图5,当平移使分向量λ1e1终点与a的终点C重合时,它的起点应该在以C为圆心,|λ1|为半径的圆上.当圆与e2所在直线相离时,则原题无解;当圆与e2所在直线相切时,则原题唯一解,只是λ1＞0时,e1是与同向的单位向量,λ1＜0时,e1是与反向的单位向量;当圆与e所在直

2线相交时,则原题两组解,交点在e2方向上λ2为正,在e2反向上λ2为负.

图6

问题7已知向量a,及实数λ1,λ2,是否存在单位向量e2,e1使a=λ1e1+λ2e2成立?如图6,用问题6相似的方法,λ2e2的起点在a的起点时,它的终点在以A为圆心,|λ2|为半径的圆上;λ1e1终点与a的终点C重合时,它的起点应该在以C为圆心,|λ1|为半径的圆上.两圆有几个交点就有几组解.

问题8 已知实数λ1和两个单位向量e1、e2,求λ2,向量a,使a=λ1e1+λ2e2成立?

图7

如图7,显然,a的终点的轨迹为过λ1e1终点平行于e2的直线,且a与λ2是一一对应的,|λ2|就是向量的模.根据图7和函数思想我们可以命制:

本题入口很宽,可以建系转化为坐标;也可以平方找出λ与|a|的关系,消元处理;也可以利用解三角形知识,转化为角处理.

3．系数关系变式

上面两种变式中,给出的系数λ1,λ2都是单一的、孤立的,如果给出的是一些代数关系,可能会呈现丰富多彩的变化,也更能促进对向量分解定理的理解.如

且满足aλ1+bλ2=c,则点C的轨迹是什么?

且满足0≤λ2+λ2≤1,则点C的轨迹是什么?

这是将等式变化为不等式,C的轨迹是夹在两条平行线间的区域.这其实为线性规划问题提供了一个新的产生背景,命题也多了一个切入点.如:

也可以变线性关系为非线性关系.如:

四、定理价值的精细化

上面集中解读的是定理的内容,是强化细节的推敲,是以小见大式的理解.定理价值的推敲则是对定理体现的数学思想、思维方式的解读,是对知识前后联系的解读和发展方向的解读,是全局性的解读.

1.数学思想、思维方式的价值

平面向量分解定理将平面中繁杂无序的向量都用相同的两个基向量来表示,用统一的标准来衡量,使向量的相互关系变得简洁有序,同时将无穷多的平面向量转为对有限部分的讨论,实现了无限向有限的转化,体现了数学中“化归”的思想.“回到基向量”也是基本量思维方式的集中体现,在数学中这种思维方式表现很多,如复数表示为a+bi(a,b∈R)运算也是回到基本量1,i上,高等数学中的“单位元”的设立与研究,也是基本量的思维方式,利用基本量很容易帮我们实现“化同”和“化简”的目的.

2.知识的关联价值

平面向量分解定理是平面向量一章的线索,能够串起全章知识的联系.在向量分解中不断出现平行四边形和三角形法则,可以时刻唤醒与向量加减法的联系;在分解中的减维处理,突出了它和向量共线定理的联系,共线定理可以看成它的一维形式;向量坐标以它为基础的特殊化处理;包括数量级在内的所有运算没有它的支撑,展开三个及以上的运算将比较麻烦.进则可以形成三维甚至高维分解定理,三维形式与处理问题的手法与平面向量分解定理一脉相承,其中平面向量分解定理的形式也是证明线面平行的基本方法.几何中的长度和角是基本量,它们可以借助向量方法利用基向量来处理,向量中的长度和角也可以通过几何性质、解三角形的方法获得;复数能借助向量表示,它的加减和长度就会有向量的处理手段.

根据平面向量分解定理,我们知道对固定的基向量,a=xe1+ye2与实数对(x,y)一一对应,在通过图形变式很容易联想建立斜坐标系,又将问题代入仿射几何的天地.

教师只有对书本涉及的定理做细致入微的研究,才能深刻理解定理包含的各个知识点,各个关键量之间的关系,才能把握定理描述角度的变化,找出别人没有发现的视角,才能深透灵活地提出出高水平的优质问题.通过对定理知识关联性研究,可以把握定理的发展方向和知识的融合趋势,让知识之间相互补充,形成一个和谐统一的整体.精心推敲,发现定理中蕴藏的独特思想,体悟出具有典型意义的思维方式,用思想指导和串联的数学理解,才具有高屋建瓴的效果.教师只有既关注细节又把握全局,才能优化教学结构,做到收放自如,才能引领学生领略定理的精妙,才能使课堂具有感染力和穿透力.