非线性分段连续型延迟微分方程的变分迭代解法

陈 玲，王 琦，汪圣祥

(广东工业大学 应用数学学院 ，广东 广州 510520)

非线性分段连续型延迟微分方程的变分迭代解法

陈 玲，王 琦，汪圣祥

(广东工业大学 应用数学学院 ，广东 广州 510520)

主要利用变分迭代法求解自变量分段连续型延迟微分方程的初值问题，由变分理论得到了拉格朗日乘子，进而构造了迭代关系式，在不同的区间上求得了各阶解析近似解，并且证明了变分迭代解是收敛的，最后，数值算例验证了理论结果。

变分迭代方法；拉格朗日乘子；限制变分；解析近似解

0 引言

近年来，变分迭代方法被广泛地应用于求解线性和非线性微分方程，越来越多的科研人员采用这种方法得到各种方程的近似解，从而显示出变分迭代方法在工程实际中的重要作用。用变分迭代法求解非线性问题时，不需要对方程的非线性部分进行离散化、线性化或者引入摄动参数，从而减少了计算量。变分迭代方法由何吉欢[1-3]首次提出后迅速发展，人们用变分迭代法求解了许多微分方程的近似解，都得到了令人满意的结果。2010年，Shang[4]研究了n阶的积分微分方程，实例结果证明变分迭代法比同伦摄动法简单和有效。2011年，Lu J F[5]应用变分迭代法求解了Fornberg-Whitham方程，验证了此方法求解该方程的可靠性和有效性.2012年，李歆[6]介绍了变分迭代法求解中立型微分方程，从理论上证明该方法的收敛性。2013年，姜兆敏[7]利用变分迭代法得到常微分方程初值问题的无穷级数解，对于线性微分方程初值问题，无穷级数解收敛于精确解。2014年，代群[8]等用变分迭代法求解了一类分数阶微分方程组，并改进了校正函数，验证了此方法求分数阶微分方程组的近似解是有效的且准确。

到目前为止，笔者并没有注意到变分迭代法被用于求解自变量分段连续型延迟微分方程，因此，本文针对一类非线性自变量分段连续型延迟微分方程，用变分迭代法进行求解，证明了解析近似解的收敛性，并用数值实验验证了方法的有效性。

1 自变量分段连续型延迟微分方程的变分迭代解

本文主要考虑下面的微分方程：

(1)

其中a和c0是常数，[·]表示最大取整函数。

根据变分迭代方法的基本思想[9,10]，构造如下的修正泛函：

将xn(s)xn([s])视为限制项，根据变分理论，得

由分部积分得

则稳定性条件为

(2)

由(2)确定出λ(s)=-e-a(s-t)，则迭代格式为

(3)

当t∈[0，1)时，迭代格式变为

(4)

选取x0,0(t)=x(0)=c0为初始迭代值，则有

定理1 当t∈[0，1)时，方程(1)的n+1(n+0,1,2,…)次迭代结果的表达形式如下

证明 用数学归纳法证明：当n=0时，成立 .

假设当n=k(k≥1)时成立，即

下面证明当n=k+1也成立，由迭代公式(4)得

(5)

把x0,k+1(t)和x0,k+1(0)代入上式，经计算，得

则

进而有

代入(5)式得

即x0,n+1(t)是正确的。

对n+1次迭代的结果进行变形得：

当t∈[1，2)时，迭代格式变为

定理2 当t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)时，方程(1)的n+1(n=0,1,2,…)次迭代结果为

(6)

证明 当t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)时，迭代格式变为

(7)

由i取0和1可以归纳出

下面用数学归纳法来证明：当i=0时，成立 .

假设当i=k(k≥1)时成立，即

下面证明当i=k+1时也成立，由迭代公式(7)得

选取xk+1,0=ck+1=cke(1-ck)a

即xi,k+1(t)正确。

2 数值实验

在本节中，我们将通过误差分析和一个具体实例来说明用变分迭代法的有效性。

定义1 设当t∈[i，i+1)时，后一次迭代与前一次迭代的误差函数为gi,(n+1)n(t)，则

gi,(n+1)n(t)=xi,n+1(t)-xi,n(t)

即

例 考虑如下非线性自变量分段连续型延迟微分方程

当t∈[1，2),误差(g1,(n+1)n(t)的绝对值)的变化由表1给出。

表1 t∈[1，2)时的误差

当t∈[2，3),误差(g2,(n+1)n(t)的绝对值)的变化由表2给出。

表2 t∈[2，3)时的误差

当t∈[8，9),误差(g8,(n+1)n(t)的绝对值)的变化由表3给出。

表3 t∈[8，9)时的误差

续表3

t88．28．48．68．89n=1306．68E-521．34E-512．14E-501．01E-481．91E-47n=1402．61E-545．22E-542．61E-541．59E-523．77E-51n=1501．02E-561．53E-560．00E+002．04E-566．98E-55n=1601．99E-591．99E-590．00E+001．99E-591．19E-58n=1701．17E-617．78E-620．00E+000．00E+000．00E+00n=1803．04E-643．04E-641．52E-641．52E-641．52E-64n=1905．93E-671．19E-660．00E+005．93E-670．00E+00n=2002．32E-693．48E-691．16E-691．16E-690n=2104．53E-724．53E-720．00E+004．53E-720n=2201．77E-741．77E-740．00E+008．84E-758．84E-75

当t∈[14，15),误差(g14,(n+1)n(t)的绝对值的变化由表4给出。

表4 t∈[14，15)时的误差

从表1～4可以得到当t一定时误差随着n的增大越来越趋于0，这说明随着迭代次数的增加，后一次迭代和前一次迭代的结果越来越接近，从而可以得到方程在所考虑区间内的近似解。

3 结论

本文主要用变分迭代法求解了一类自变量分段连续型延迟微分方程，数值结果表明，该方法适用于求解分段连续型延迟微分方程，今后将进一步考虑高维情形，以期推广该方法的应用范围。

[1]He J. A new approach to nonlinear partial differential equations[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1997, 2(4): 230～235.

[2]He J H. Variational iteration method-a kind of non-linear analytical technique: some examples[J]. International journal of non-linear mechanics, 1999, 34(4): 699～708.

[3]He J H. Variational iteration method for autonomous ordinary differential systems[J]. Applied mathematics and computation, 2000, 114(2): 115～123.

[4]Shang X F,Han D F.Application of the variational iteration method for solving nth-orderintegro-differential equations.Journal of Computers and Applied Mathematics,2010,234:1442～1447.

[5]Lu J F.An analytical approach to the Fornberg-Whitham type equations by using the variational iteration method[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:2010～2013.

[6]李 歆.延迟微分方程的变分迭代法[D]. 武汉：华中科技大学, 2012.

[7]姜兆敏.常微分方程初值问题的变分迭代算法[J].长春工业大学学报(自然科学版),2013,34(1):9～12.

[8]代 群,王长佳,李辉来，等.用变分迭代法解分数阶微分方程组[J].吉林大学学报(理学版),2014,(5):901～905.

[9]He J H.Variational Iteration Method;A Kind of Non-linear Analytical Technique:Some Examples[J].Internat J Non-linear Mech,1999,34(4):699～708.

[10]He J H.Variational Iteration Method for Autonomous Ordinary Differential Systems[J].Appl Math Comput,2000,114(2/3):115～123.

Variational iteration method for nonlinear differential equation with piecewise continuous arguments

CHEN Ling,WANG Qi,WANG Sheng-xiang

(School of Appliced Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

This paper deals with the problem of using variational iteration method to the initial value problem of delay differential equation with piecewise continuous arguments. The lagrange multiplier is obtained according to the theory of variation, then the iteration formula is constructed. Moreover, the analytical approximation solutions in different intervals are given and the convergence is proved. Finally, the theoretical results are verified by some some numerical examples.

variational iteration method; lagrange multiplier; restricted variation; analytical approximation solution

2016—06—08

陈玲(1990— ) ，女，湖北孝感人，硕士研究生，研究方向为自变量分段连续型延迟微分方程.

O161

A

2096-3149(2017)01- 0027-08

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.007