基于数学活动经验的教学探索

孔进

[摘 要] 以人教版七年级数学“有理数的乘法法则”教学为例，探讨在课堂教学中让学生积累数学活动经验的方法：注重学生的学习过程，根据授课内容创设观察、猜想、归纳、计算、推理、交流等数学活动，让学生在掌握数学知识、技能和方法的基础上，积累数学观察、数学猜想、类比迁移、归纳概括等经验，从而提高学生数学素养，为学生的后续发展打下坚实的基础.

[关键词] 课堂教学；数学活动经验；有理数乘法法则

《义务教育数学课程标准》（2011版）把原来的“双基”扩展为“四基”，明确将“数学活动经验”列入课程总目标中. 在数学教学中，如何設计和组织有效的数学活动，帮助学生积累数学活动经验呢？下面以笔者执教的一节公开课《有理数乘法》为例，与各位同行交流.

选题的缘由

上完课后，科组老师就“有理数乘法法则”的教学展开激烈的争论，主要原因是有理数的乘法法则是一种规定，这种规定不像有理数的加法法则一样容易在生活中找到模型，最典型的是“负负得正”很难在生活中找到实际背景. 一部分教师认为既然没有好的模型，学生很难理解，就不要在探索法则上花时间，应该采取“抛法则、背法则、用法则”的教法，直接告诉学生“同号得正，异号的负”的结论，让学生把法则背熟之后，讲解有理数乘法计算的例题，最后通过大量的练习加以巩固，这样教学既简单又快捷，教学效果还很好. 也有部分教师认同笔者的教学设计：依托教材，把乘法法则的教学设计为数学化的实践活动：让学生在推导法则的过程中，积累数学观察、猜想、类比、迁移、归纳、概括、交流等经验，而不仅仅是积累 “接受、模仿与记忆”经验.

教学实录

1. 提出问题

教师：我们知道，有理数包括正数、负数和0，和有理数的加法运算类似，有理数的乘法运算可以分成哪几类？

生1：正数乘正数、正数乘负数、正数乘0、负数乘正数、负数乘负数、负数乘0.

教师：这位同学说得很好！和加法类似，引入负数之后，会出现负数乘正数、负数乘负数、负数乘0这样的乘法，这一节课我们就研究这一类问题.

2. 观察发现

【数学活动1】

观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？

教师：大家可以观察这些算式，有什么共同点和不同点？有没有什么变化规律？

请同学们先自己思考，然后在小组内与同学交流，请小组派代表说说发现的规律. （让学生自己探索，充分讨论）

生2：我们小组发现，在这四个算式中，等号的左边都是两个数相乘，第一个因数不变，都是3，第二个因数和等号右边的积有变化.

教师：很好！我们再请一个小组说说他们的发现.

生3：我们发现，两数相乘，前面这个因数3不变，后面的因数减小1的话，积就减小3.

教师：这两个小组都说得很好， 第二个因数减少1时，积减小3.

【数学活动2】

要使这个规律在引进负数后还成立，那么应有：

生4：这和前面的一样. -2比-1小1，积就比-3小3，那么3×（-2）=-6，同样-3比-2小1，积就比-6小3，那么 3×（-3）=-9.

教师：非常好！随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3，我们得到了正数与负数相乘的结果是什么？

生5：正数乘负数，积是负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

3. 迁移经验

【数学活动3】

教师：观察下面的算式，你能发现什么规律吗？

下列规律在引入负数之后仍然成立，下面空格应该填什么数？

请同学们先独立完成，然后再和小组同学分享发现和结论.

教师：哪个小组派代表和大家分享一下你们的发现？

生6：我们小组发现，这组算式和前面类似，只是因数交换了顺序，规律也和前面的类似，就是前一个乘数逐次递减1，积逐次递减3. 我们用这个规律计算，得到（-1）×3=-3，（-2）×3=-6， （-3）×3=-9 .

教师：综合上面的算式，你能得出哪些有理数相乘的规律？

生7：负数乘正数，积是负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

【数学活动4】

利用上面归纳的结论计算：

生8：刚才我们总结了负数乘以正数，积是负数，并把乘数的绝对值相乘，因此这几个题目的答案分别是-9，-6，-3，0. 填完之后通过观察发现这些算式左边第一个因数-3不变，第二个因数逐次递减1，和前面不同，右边的积逐次增加3.

【数学活动5】

教师：现在利用上述规律计算，再想想从中可以归纳出什么结论？

先独立思考，再和小组内的同学交流你的发现.

生9：根据上面发现的结论，这几个题目的答案分别是3，6，9，可以归纳出这样的结论：负数乘负数，积为正数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

4. 归纳法则

【数学活动6】

同学们，综合以下各式，你能看出两个有理数相乘与它们的积之间的规律吗？

请同学们先自己思考，然后在小组内与同学交流，请小组派代表说说发现的规律.

生10：正乘正得正，正乘负得负，负乘正得负，负乘负得正，积的绝对值等于各因数绝对值的积.

教师：非常好！这位同学观察了符号和绝对值的规律，除了这四种情况，还有补充吗？

生11：正数乘0得0，负数乘0也得0.

教师：总结得太好了，有没有同学能更简洁地表达呢？

引导学生观察、比较①和④组，②和③组算式中，两个因数的符号有何特征，积的符号怎样？？摇

生12：同号相乘得正，异号相乘得负.

教师：对，我们可以得到有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0乘任何数得0.

启示

1. 在数学活动中帮助学生积累数学观察、数学发现的经验

观察，是为了认识事物的本质和规律，而进行的一种有目的、有选择的考察对象的活动，是人们认识事物的基础. 数学活动中的观察，是有意识地对数和形的特点进行感知的活动. 在本节课中，主要是对符号、数字所表示的数学关系式结构特点等进行的观察. 在数学活动1中，老师引导学生从这些算式的结构、符号、绝对值等方面进行观察，考虑以下问题：①这些算式有什么共同点？②它们有什么不同的地方？③这些变化有规律吗？规律是什么？当学生初步积累了这些经验后，又通过数学活动3进一步强化.

2. 在数学活动中帮助学生积累数学类比的经验

在数学活动1中，学生观察、发现了乘法算式的规律，通过数学活动2，进一步巩固强化了前面的规律，并且让学生积累了运用规律解决问题的经验. 通过总结正数乘负数的情况，学生进一步积累有理数的运算总是先符号再绝对值的经验.

3. 在数学活动中帮助学生积累数学迁移的经验

学生数学活动经验的积累是一个循环往复、螺旋上升的过程. 有了前面两个问题的铺垫，数学活动4、数学活动5对于学生来说不难. 把活动2的经验迁移到活动3、4上，接着又按符号和绝对值总结乘法规律……学生在类比、抽象中逐步丰富自己的数学活动经验，再慢慢内化为解决问题的策略. 通过这些数学活动，再一次让学生经历数学的探索过程，积累观察、发现、归纳、推理的活动经验.

4. 在数学活动中帮助学生积累归纳概括的经验

抽象概括是学生形成数学概念、得出规律的关键手段，也是建立数学模型最为重要的思维方法. 学生之前学习的内容比较零散，这时要保证学生有一定的时间去观察、发现、整理，让学生经过观察、思考、类比、抽象、概括等过程，去伪存真，抽象出本质属性. 同时教师在小组间巡视，肯定學生的探索成果，尽量调动学生的学习兴趣，鼓励学生说出自己的不同想法，相互交流、补充，这样促进学生数学活动经验的积累和提升. 至此，乘法法则就完整地“推导”出来了.

重视过程是为了更好的结果. 可以看到，同单纯的“结论性教学”相比，这种教学设计不仅仅关注学生的解题经验——会用乘法法则运算，还给了学生足够的时间和空间经历有理数乘法法则的探究过程. 学生在学习中的观察、实验、猜想、归纳、计算、推理、验证、交流、反思等，都是数学活动经验的组成部分. 这些数学基本活动经验是学生学习的重要目标之一，可以提高学生的数学素养，长远来说对学生的发展有重要作用.