一节别开生面的数学研究型课

赵平

摘 要：本文给出了在学科课程学习中渗透研究性学习方式的一次尝试，将接受性学习和研究性学习结合起来，不仅要让学生掌握知识和技能，而且还要让他们体验知识的探究过程和学会探究方法，培养他们的情感、态度与价值观。

关键词：研究性学习 体验过程

当今已进入知识经济和信息化社会，科学技术迅猛发展，日新月异，以科技进步为核心的综合国力竞争日趋激烈，知识创新已经成为国家发展的重要因素。为了提高我们的综合国力，必须培养有创新精神和实践能力的人才，不仅要使学生掌握知识和技能，而且要让他们体验知识的探究过程和学会探究方法，还必须培养他们的情感、态度与价值观。

为此必须改变学生原有的学习方式，在学科课程学习中渗透研究性學习方式，将接受性学习和研究性学习结合起来，提倡学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养收集信息和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。

在《空间几何体》一章的学习过程中，我们发现学生对各种多面体的几何结构有着特别浓厚的兴趣，为此特别增加了一节研究型课——“正多面体”。[1]

首先根据所选课的内容及学生已有的认知基础确定了本节课的教学目标：

1.利用已有的“正多边形的定义”的认知基础，定义正多面体，并能利用定义进行判别，知道正多面体的种类。

2.在原有的侧面展开和模型制作的基础上，掌握正多面体的表面展开，并制作正多面体。

3.探索研究正多面体面数、顶点数、棱数之间的关系，掌握研究方法，提高研究意识，体验研究成功的乐趣。

然后根据要实现的目标，进行了教法与学法的设计：

1.教法设计：创设教学情境——激发创造兴趣——利用动态演示——启发引导探索。

充分利用多媒体辅助课堂教学的特点，多角度、全方位地向学生传递教学信息，形象、直观地突出教学重点，分散难点，环环紧扣，从而优化课堂教学过程，提高教学质量。

2.学法设计：观察动态演示——呈现思维过程——诱发想象能力——加以分析概括——动手制作模型——参与创作研究。

通过动态展示优美的几何图形，激发情感，引入情境，同时，设置疑问，培养学生观察、想象和逻辑思维能力。学生置身于情境交融、赏心悦目的环境中，学习兴趣浓厚，研究欲望强烈，既学到了知识，学会了方法，又陶冶了情操，可谓一举多得。[2]

最后设计具体教学程序如下：

1.创设情境，激发情感，导入新课

通过屏显引人入胜的画面，以带有启发性的语言，富于激情的讲解，打破旧的教学模式，让学生一开始就在置身于有创造性的学习氛围中，自然地进入教学的第二环节——正多面体的定义。

各边相等各内角也相等的凸多边形叫做正多边形：课件展示常见的正多边形图片。

平面中有至善至美正多边形，我们日常生活中还有美轮美奂的正多面体：图片展示食盐晶体和明矾晶体的几何体形状。

正多边形的定义使其具有特殊的不能再特殊的性质，请同学们给出正多面体的定义。

2.积极参与，主动讨论，启发引导，归纳概括正多面体定义

培养学生敢于创新的精神和语言表达能力。主要从这样几个环节进行：

（1）小组讨论，给正多面体下定义。

（2）举出反例。各棱相等的正三棱柱与各棱相等的正六棱锥够特殊吗？

各棱相等的多面体不够特殊，不是正多面体。

（3）引导学生进行正、反例比较。

各棱相等各面也相等的多面体也不够特殊，也不是正多面体。

（4）启发学生归纳概括正确定义。

每个面都是全等的正多边形，并且从每个顶点出发的棱数都相等的凸多面体叫做正多面体。

（5）应用定义进行判断，巩固对定义的理解和掌握。

例1 利用定义说明正方体是正六面体.

例2 各棱都相等的三棱锥是正多面体吗？正多面体一定是正三棱锥吗？反之呢？ 图片显示正反例。

3.动态演示正多面体，虚实转化，提高空间想象能力。

首先，给出正多面体的五种类型的直观图，通过实体到直观图的转化，充分展示正多面体的美丽，培养学生审美意识。然后，在学生已熟练地掌握了多面体展开方法的基础上，利用多媒体课件的优势，动态展开正多面体，提高学生的空间想象能力。

以正三角形为面的正多面体有：正四面体，正八面体，正十二面体。

以正方形为面的正多面体有：正六面体。以正五边形为面的正多面体有：正十二面体。

动态展开各正多面体，其表面展开图如下：

4.实际操作

学生动手制作五种正多面体的模型，提高实践能力。当堂制作一到两个正多面体。

5.数学研究

这是本节课的一个闪光点，用来渗透数学研究的思想和掌握研究的方法，使本节课的学习达到一个高潮。

（1）请同学们观察手中制作好的正多面体模型，合作完成下列表格的填充：

提出问题：分析、研究各组数据，你发现了什么规律？

正多面体中，面数（F）+顶点数（V）-棱数（E）=2

事实上，这个结论对任何凸多面体都成立——欧拉公式。

（2）组织学生举例验证公式的正确性。

（3）应用欧拉公式解决实际问题：

在化学中，近年来出现了这样一类问题：已知晶体的结构，求解晶体中的原子数、化学键数、键角等问题，这类问题统称求解结构要素。解答这类问题须先弄清它们与几何结构要素：顶点数、棱边数、面数、角等的关系。必要时需运用数学中的欧拉定理。如：

1.晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体，每个顶点都各有一个硼原子，此基本结构是由多少个硼原子构成？（答：由12个硼原子构成）

2.富勒烯是由60个碳原子组成的笼状分子，其结构如足球，可以认为它是由正二十面体切掉12个顶点形成的三十二面体。问：富勒烯分子中有多少个六元环？多少个五元环？（答：有20个六元环，有12个五元环）

3.四年一届的足球世界杯牵动着亿万人们的心，小小足球里也有大学问。足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，请同学们计算一共有多少个这样的五边型和六边型？（答：12块黑皮子，20块白皮子）

（附解答：答：把足球看作是多面体，满足欧拉公式F+V-E=2，其中F，V，E分别表示面，顶点，棱的个数。

设足球表面正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的面各有x个和y个，那么

面数F=x+y

棱数E=（5x+6y）/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）

顶点数V=（5x+6y）/3（每个顶点由三块皮子共用）

由欧拉公式，x+y-（5x+6y）/2+（5x+6y）/3=2，

解得x=12。所以，共有12块黑皮子。

所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的。

对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的。

那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20

所以共有20块白皮子。

（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接。所以，五边形的个数x=3y/5。之前求得x=12，所以y=20）

小結与思考：

对所学知识和研究、学习方法的一个总结。

这节课结束后，学生反响很大，一致表示他们非常喜欢上这样的课，这样的课让他们学会了很多学习的方法甚至是数学研究的方法，并且继续研究的热情高涨，有的学生利用业余时间查资料，继续了解欧拉和欧拉公式，还试图用自己学过的知识证明欧拉公式。（笔者也利用课外研究小组活动时间，和学生一起查资料，对该公式的证明方法作出探究。）我们认为这节课成功的原因，在于及时了解学生学习状况，从学生的需要出发，将研究性学习和接受性学习成功结合。

可能会有人认为这节课学生研究出什么了，结论是已经存在的。需要这样大费周折吗？

研究性学习是学生在教师指导下，自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程。学生通过观察、研究、查阅资料、获取信息、动手操作实验、收集分析和解读数据、提出假说或猜想、验证、表达和交流等活动进行探索和研究，从而获得知识，掌握探究问题的方法和手段。我们认为研究性学习的本质是学习，是用研究的方式进行学习。主要目的是让学生通过自主参与研究性学习活动，激发他们的好奇心和求知欲，亲身经历问题研究的实践过程，获得积极的情感体验，培养发现问题和解决问题的能力，搜集信息和处理信息的能力，学会分享和合作，培养科学精神。研究性学习强调的是研究的过程，相比之下，研究过程是第一位的，研究成果是第二位的。关键是学生是否体验了研究的过程，是否学会了研究，是否在知识、能力、情感、态度、价值观等方面有所提高。而我们做到了，这才是我们研究型课要达到的最终目标。

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准》（实验稿）[M].北京：人民教育出版社，2010（8）2，20.

[2] 应俊峰.《研究型课程》[X].天津教育出版社，2002（4）：15-30.