数学教育需要留白艺术

马 复

数学教育需要留白艺术

马 复*

向学生提供什么样的数学教育过程，这是每一个数学教育工作者时刻都要面对的问题。由于教育是一种动态的社会行为，这个问题的答案便随着社会与教育的发展而日趋变化，比如：经验的教育、知识与技能的教育等等。那么，今日的学生需要经历什么样的数学教育过程？

要回答这个问题，首先需要回溯教育的本源。自人类诞生之日起，便有了教育，而随着人类文明的进化，教育也日趋复杂、高级。本质上，人类从事教育的基本目的是为了满足自身的生存与发展的需要，而这样的需要与社会文明程度息息相关，因此，当下的社会文明，乃至未来的社会文明发展必定是影响教育的极为重要因素。单从智力活动的角度分析，原有的中小学数学教育主要是数学知识、技能与能力的教育，且教育过程中涉及的课程内容主要是17世纪以前就已被人类所认知的数学知识与技能。而随着承载社会文明发展的数学知识信息呈“爆炸性增长”——旧有分支的结论不断丰富，新近产生的分支不断涌现，今天的孩子们希望在课堂里获得自我一生生存与发展所需要的数学知识与技能，已不可能；更由于互联网的飞速发展，数学知识和技能变得易取易存——不分时间、不分地域，随用随取。因此，数学知识与技能本身已不是学生在数学学习过程中最为重要的教育内容。那么，今天我们应当给学生提供什么样的教育？在未来多变的环境中，获取新的知识（技能）以及应用它们解决问题的能力已被认为是未来公民必备的重要能力。因此，要想获得良好的生存与发展，学生必须接受一种“智慧教育”［1］。

本质上，数学知识是一种结果——经验的结果或者思考的结果［1］。对知识的拥有更多地表现为掌握的知识数量和理解水平。因此，仅仅关注数学知识的教育，是一种结果性教育；智慧并不表现为对结果的拥有量，而表现在活动（思考与操作等）过程之中，比如：获取信息的方法、实验的技巧、对事物本质的思考、解决问题的策略等［1］。因此，学生只有经历这些活动过程，才可能接受“智慧教育”。换言之，“智慧教育”是过程性教育。

一、内涵释义

在“智慧教育”过程中，具体采用什么方法才能够有效帮助学生形成智慧？笔者以为，“留白”不失为一种可借鉴的方法。

（一） 艺术留白

留白原本是视觉艺术创作和文学创作中的一种表现手法，意指创作者借助在作品中有意预留的空白，给观者或读者留下想象的空间。例如，东方水墨画名品中对观者最有吸引力之处往往不在于充满画面的色彩与线条，而是那些存在于其间的“留白”，让观者思考这些“空白”背后的丰富内涵正是其魅力所在［2］。这种有意为之的创作手法背后所折射出的创作理念是将观者作为一个主动，而非被动的受体，即创作者希望观者能够对作品有自己的思考、理解，而不仅仅是被动地理解作者给出的理解。所以，留白手法带给观者的是思考的素材、机会。

（二）教育留白

再转到数学教育领域，当下许多数学课堂里常见的现象是：一方面，无论是概念、法则、原理，还是方法，其含义在教学过程中大多由教师（教科书）以直接或间接的方式告知学生，而且教师无论教授概念、原理的内涵，法则、技能的操作程序，还是问题的解决方法，心目中都预设一个标准的“答案”，并在教学过程中千方百计地诱导学生给出这个标准答案，而学生最重要的任务就是理解它们——越准确越好；另一方面，在实际教学过程中，无论面对学习成绩优异的学生，还是数学学习有障碍的学生，许多老师都秉承所谓“向课内45分钟要质量”的高效教学理念，不愿意让学生们闲着，总要用满满的工作量充斥其间。长此以往，作为学习主体的学生就失去了真正意义上的自我思考——既没能思考自己对客体的真实理解是什么，也没能思考自己是怎样获得这些理解的，更无法思考自己应当获取哪些课程内容。这样的教育过程是流水线作业，学生成为失去自我、复制他人的“标准件”，本质上属于结果的教育。

由于“智慧教育”本质上是过程的教育，重在让学生经历过程——经验的过程，或者是思考的过程。因此，智慧的教育不能以确定的内容填满整个教育过程——无论在时间上，还是在思维的空间上；而需要给学生的学习过程预留活动的空白，这也是一种“留白艺术”。

就数学教育而言，留白意味着：在从事某个课程主题（概念、原理、方法、问题等）的教学过程中，不将相关内容完全呈现给学生，有意识地留下一个“理解缺口”，让学生通过思考去填入自己的理解性结果；在规定的教育教学时间内，不以确定的学习内容填满整个教学时段，有意识地给学生留下一段属于自己的“空闲时光”，让学生思考属于自己的数学，包括对课程内容的理解、对学习过程的回顾、对后续学习的期待……

从更上位的层面看，它们与艺术和文学创作中的留白手法所体现的创作理念是一致的，即：视学生为数学学习的主体，而非被动的受体，学生的数学学习过程主要是建构自己对数学的理解的过程，而不仅仅是接受他人理解的过程。

在这个意义之下，笔者提倡：数学教育过程需要留白艺术！

二、立论依据

如上述，数学教育过程中的留白艺术是从教的角度来考虑数学教学设计与实施的，而影响教师设计与实施数学教育活动的主要因素包括：数学知识观、数学学习观、数学课程观。下面将从这三个方面阐述“数学教育过程需要留白艺术”观点的立论依据。

（一）数学知识观

尽管留白艺术不只是服务于数学知识的教育，而更多地服务于智慧的教育，但数学知识仍然是具体教学过程中的主要载体。那么，如何认识这一背景之下的数学知识本质呢？一般认为，知识是已被判定为合理的信念［3］。那么，数学知识的合理性（真理性）又是什么？从历史上看，对此问题的回答大致可以分为两大类：绝对主义观与可误主义观。前者认为：数学由确定并且无异议的真理所构成，并通过演绎论证为数学知识真伪的判定提供了保证。后者则认为：数学知识是可误的且可纠正的，这样的纠正是数学知识发展的表现；而且，由于哥德尔不完备定理的出现，“数学的真理性必须依赖一个（组）未经证明即予接受的不可简约的假设”的观点逐渐成为业界共识［3］。

从数学教育的角度看，如果采用绝对主义的数学知识观，那么学生的数学知识学习过程必定是一个认识、理解，最终接受的过程：接受概念定义的含义与合理性，接受操作与法则的准确性，接受定理的内涵及其证明的可靠性。而采用可误主义的数学知识观，则学生的数学知识学习过程可以是一个“探究—质疑—释疑—修正……”的过程。在这个过程中，学生最重要的任务就是思考——思考自己对客体（现象、问题、知识）的理解、认知、观点、理由……而不是理解他人赋予的看法等。而要使学生真正能够拥有这样的思考机会，留白艺术无疑是最有效的手法之一。

（二）数学学习观

建构主义是当代数学学习的代表性理论，它认为：学生是数学学习过程中的主体，他们应当成为数学教育过程的主动参与者。而不同的学生由于其学习背景存在差异，思维水平与特征各不相同，对于学习内容的偏好与关注程度也不一样，所以，他们必然对于同样情境中的数学课程内容拥有个性化的理解和偏好。教师在数学教学过程中应当尊重学生的个性差异、了解学生的学习背景和思维特征，进而帮助学生建构自己对数学的理解。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）也持有类似的观点：学生的数学学习应当是一个生动活泼的、主动而富有个性的过程［4］。据此，如何认识学生在数学学习活动中的思维特征与心理过程，无疑是影响数学教育设计与实施的最重要因素。

1. 数学思维特征

对处于相同数学学习环境中的学生而言，或许他们的知识预备、学习经验、生活环境等影响数学学习的个体因素相近，但他们数学思维特征的差异仍然明显存在，并影响着各自的数学认知过程。就数学学习而言，学生的数学思维类型大致可以分为代数思维、图形思维以及混合式。案例1可以表现出它们在认知过程中的差异。

案例1

问题：图1是一个平行四边形，其中，AC、BD交于O，写出图中所有的线段。

图1 平行四边形ABCD

具有典型代数思维的学生所给出的答案基本是：AB、AC、AD、AO，BC、BD、BO，CD、CO，DO。

他们采用的是典型的“字典排列”——将代表线段的所有字母按照字典排列顺序，一一列出。这样的排列呈现出明显的“序”特征，与图形自身所具有的特征没有明显的关联。

而具备典型图形思维的学生所给出的答案大多属于如下种类：AB、BC、CD、DA，AC、BD，AO、OC，BO、OD；或者AB、BC、CD、DA，AO、OC、AC，BO、OD、BD；或者OA、OC、AC，OB、OD、BD，AB、BC、CD、DA。

这些答案明显借助了图形的特征：由外至内（或由内往外），围绕中心点对称标注……

在数学学习过程中，具备这两类不同思维特征的学生在理解数学概念、原理等方面有着较为明显的优势与劣势。以函数为例：具备代数思维特征的学生面对以字母符号、代数式形式表达的函数对象、性质时理解起来较为轻松；而具备图形思维特征的学生则在面对以图像方式表达的函数对象、性质时，感受更为清晰。

为此，设计教学环节时应顾及不同思维特征，在引入或解释学习对象时兼具不同的表达方式——代数或几何，评价学生的数学学习成就时应采用多种呈现方式——代数或几何，以使得具备不同数学思维特征的学生都有充分表达自我数学认知的机会。

2. 数学学习心理过程——建构自己对数学的理解

尽管任何两个不同的学生，他们所具有的学习背景（知识预备、学习经验、生活环境、数学思维特征等）不尽相同，但从总体规律上看，相同年龄段的学生的数学学习心理过程具有一般性特征。建构主义认为：（在数学学习过程中）每个人都在构建自己的数学，即只有在各个主体自己的意识中才存在数学。因此，学生应当像数学家那样去体验数学，在与他人交流的过程中构建自己的数学［5］。

这表明：学生在学习过程中只能通过自我建构获得数学，而且这样的建构结果是一种“自我的内在数学表征”，往往不同于外在的客观表征——教材上呈现的、教师所给于的数学（形式和内涵）都属于外在表征［5］。所以，单纯的听讲、模仿、练习和记忆不能获得真正意义上的数学理解——自己对数学的真实理解。真实的理解存在于自我建构过程之中，而建构需要内心的思考和基于思考的交流。所以，教学过程中的“留白艺术”是不可缺少的。

（三）数学课程观

如何看待数学课程，无疑在很大程度上影响着教师如何执行数学课程。而今日课堂里实施的数学课程，无疑应当以国家颁布的课程标准为实施依据。《标准》本体部分主要包括：课程目标、内容标准、实施建议。

本段所涉及的对于数学课程的认识内容主要针对课程目标和教学建议。

1. 课程目标

关于课程目标，《标准》明确指出：数学课程目标由“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面构成［4］。这些目标中既有结果性目标——了解具体事实，理解对象性质、特征等，掌握方法、结果等，运用学到的知识和方法解决问题；更有过程性目标——经历具体的数学活动，感受对象，主动参与特定活动，体验对象特征，获得数学活动经验，尝试探索事物内涵与性质，获得对事物的理性认识［4］。从目标达成的角度看，四个方面目标的实现是交织在一起的——你中有我，我中有你，并且以“过程性目标达成——结果性目标达成”的模式推进。这就意味着在实际的数学教学过程中，学生应当有经历“操作过程”和“思考过程”的时间和空间；有构建理解、发展能力、交流合作、提高认识等的机会；有克服困难、纠正错误、感受成功的体验。

这一切都可以借助留白艺术给学生所创造的教育过程渐次实现。

2. 教学建议

如何有效实施数学课程？《标准》给出了若干条建设性建议。其中在认识与处理数学教学过程中学生与教师地位时，《标准》明确指出：①重视学生在学习活动中的主体地位——学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上；②教师应当成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，引导作用主要表现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考；③处理好学生主体地位和教师主导作用的关系——教师利用启发性讲授、创设情境、设计问题引导学生自主探索、合作交流时，要能有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体；④注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握——组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析、抽象概况；⑤感悟数学思想，积累数学活动经验——数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积累［4］。

这些建议的落实无疑需要在课堂教学过程中给学生“留白”，或者说，留白艺术将有助于实现这样的教学设计与实施。

三、实施要点

在具体的数学教育过程中，实施留白艺术应注意以下三点。

（一）采用主题（单元）式整体教学设计

很多领域目下流行“精准”——精准营销、精准扶贫、精准广告、精准医疗，但对于教育过程，特别是关乎学生智力、智慧发展的教育过程，留白教学艺术的一个假设却是：学生的发展，特别是智慧的发展，是无法精准预测的！教师对学生的发展路径更是不可能精准预设的！若要寻求精准，唯一可能实施的就是不断地尝试了解学生，实现“渐近式精准”。

所以，基于留白艺术的教学设计不会是一种精准的设计，即将每一个教学活动环节（所有预备呈现的素材、结果、例题，每一个准备讲解的内容、讨论的问题，甚至具体的对话等等）都详细设计，并将每一个活动的持续时间精确到分钟。理想的留白艺术式的教学设计应当是一种“主题（单元）式整体教学设计”，其基本特征为：以一个教学主题，如一元一次方程、三角形全等、统计量等，作为教学设计单元，开展教学设计；而不是以某个具体的知识点、甚至课时，如解一元一次方程、三角形全等判定定理等，作为教学设计单元。其意图是以让学生经历完整的认知过程为基本出发点，着眼于学生的发展。正因为让学生经历了认知数学对象的全过程，因此可以有诸多的留白之处：留白让学生尝试探究，留白让学生彼此交流，留白让学生建构自己的理解，留白让学生思考自己的进一步认知。反之，教师若着眼于细节的设计与实施，则多半在教学过程中会阈于固化的设计，而无处留白。

（二）构建数学化活动模式

首先，既然是留白，无论是关于陈述性知识（概念、原理）的学习，还是关于程序性知识（法则、技能）的学习，教学设计都应该预留一些空白——既包括教学空间，也包括教学时间，即不可将学生应当获得的所有核心内容直接呈现出来，让学生理解、记忆、模仿。这样的留白教学过程就是目前广泛为人们所认可的“再创造”数学教学策略。按照其倡导者弗赖登塔尔的说法，这种“有指导的再创造”教学策略本质上是让学生经历“数学化”的过程。因为“中小学数学的根源在于普通常识，数学是系统化了的常识,数学基础的建立最合适的开始是人们最普通的常识。不应该将教的数学内容作为现成的产品强加给学生,应当将它作为一种学的活动（即“数学化”——引者注）来分析”［6］。这样就可以让学生在过程中建构自己对数学的理解。而所谓的数学化过程，即“数学地组织现实世界的过程”，包括“将同一个问题在水平方向扩展的水平数学化，也包括将某一问题垂直地加以深入的垂直数学化”［6］。

因此，从根本上看，体现留白艺术的教学方法一定不是讲授法——无论是传授知识还是传授方法，即常说的“授之以鱼”和“授之以渔”。

应当注意的是，在实施“数学化”的过程中，需要弱化教师个人对课程内容理解结果的传授，以及其对获得内容方式（过程）的偏好；取而代之的是应当顺应学生的认知过程，特别是处理好教学过程中的生成性资源。

（三）留白于学生的最近发展区

留白的目的是引发学生的主动性思考，并且思考之后可以给出自己的理解（看法）。因此，对学生而言，所留之空白应当落于他们愿意思考、能够思考，并且思考以后必有所得之处。这样的留白之处正处于维果茨基所描述的学生最近发展区——介于学生凭借自己能力所能达到的水平，与经别人协助后可能达到的水平之间的区域［5］。

在一个集体性学习情境里，不同学生的认知水平必定存在差异，而且这种差异往往足以造成该群体内部存在不同的最近发展区，因此，留白之处往往难以确定。此时，一个可能有效的处理方式便是以“问题串”的形式留白，使得所留之空白覆盖全部最近发展区，满足“全体学生都能够得到发展”的终极教学目标。

图2 火柴拼图

案例2

搭一个正方形需要四根火柴棒。

（1）按图2所示，搭2个正方形需要 根火柴棒，搭3个正方形需要 根火柴棒？

（2）搭10个正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭100个正方形需要多少根火柴棒？

（4）搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流彼此的想法。

显然，这样的问题串所形成的留白区域覆盖了不同的认知水平段，满足了不同认知水平学生发展的需要。

［1］ 杨述春，刘晓军. 教育与数学教育：史宁中教授教育研究录［M］. 长春：东北师范大学出版社，2006.

［2］ 王嘉琪. 艺术创作中“留白”的哲学意义［J］. 美与时代•城市， 2012（7）.

［3］ Ernest. 数学教育哲学［M］. 齐建华，张松枝，译.上海：上海教育出版社，1998.

［4］ 教育部义务教育数学课程标准研制组. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［5］ 高文，徐斌艳，吴刚. 建构主义教育研究［M］. 北京：教育科学出版社，2008.

［6］ 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬等，译. 上海：上海教育出版社，1995.

* 马复，教育部基础教育课程教材专家工作委员会委员，教育部中小学教材审查委员，南京师范大学教授。