由一道“走街”题 说一类组合问题

湖北 高丰平

由一道“走街”题 说一类组合问题

湖北 高丰平

解答排列组合问题的方法和技巧很多，但最主要的还是要掌握好基本概念，处理问题要有一些基本的程序（如先取后排等），对一些常见的问题，要注意总结解法，并能够掌握一些常见的模型．下面由一道“走街”题及其引申，谈谈这方面的问题．

【引例】（2016·新课标Ⅱ理·5）如图1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （ ）

A．24 B．18

C．12 D．9

“走街”模型：某市街道呈棋盘形，南北向大街m（m≥2，m∈N）条，东西向大街n（n≥2，n∈N）条，一人想从西南角走到东北角，路程最短的走法有几种？

【评注】本例的解决有的同学不明就里，或利用列举法来处理，结果不胜其烦，错误百出．从解答的过程来看，走的方向只能是两个方向，即不能往回走，与组合的定义相符．从中可以看出基本定义与概念在解题中的作用．

【例1】在图1中，从上往下连接“构建和谐社会，创美好未来”（不能跳跃），共有多少种不同的连法．

【解】如图2，连接的方式只能是沿图中的直线的方向，按照“左下”或“右下”的这个方向，由组合的定义，结合“走街”模型中的讨论，其方法数为种．

【评注】这样的问题是用组合的定义来解决的，所谓“难者不会，会者不难”，答案的提供往往很简单，多数是一个数字，而不少的同学通过列举却是百思不得其解，其实本题就是一个“走街”模型的简单应用．

【例2】将“你能HOLD住吗”8个汉字及英文字母填入5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，如图所示为一种填法，则共有多少种不同的填法．（用数字作答）．

【评注】这也是“走街”模型的一个变式，虽然呈现的方式不同，但实质却是一样的．

【例3】数列｛an｝共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且｜ak＋1－ak｜＝1，k＝1，2，3，…，11，求满足这种条件的不同数列的个数．

【解】由题意，各可能值如下：a1＝0；a2＝±1；a3＝2，0；a4＝3，1；a5＝2；a6＝3，1；a7＝4，2，0；a8＝5，3，1；a9＝6，4，2；a10＝7，5，3；a11＝6，4；a12＝5．如图3所示：

【评注】本题看似是一个数列问题，其实质是一个有关组合的问题，设问比较巧妙，相对来说也比较抽象，但只要掌握了组合的定义，对“走街”模型比较熟悉的话，稍加观察，即可得到正确结果．

在数学的学习中，要注意回归教材、回归定义，解题时要有模型的观念，注意解剖麻雀，提倡利用通性通法解题，对于一些分类整合的问题，也要尽量避免分类或是延迟分类，以减少思维量和计算量．

（作者单位：湖北省孝昌县第二高级中学）