探究直线与圆锥曲线位置关系的策略

广西 包日勇

探究直线与圆锥曲线位置关系的策略

广西 包日勇

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考数学中的重要内容，一直以来都是高考命题的热点．在近年的高考试题中，圆锥曲线解答题侧重考查利用方程和方程组理论来研究相关几何问题的思想和方法，即用代数方法来研究几何问题．这一内容要求灵活掌握直线与圆锥曲线的关系的分析方法，但也不是毫无规律可言，只要我们深入分析，把握这类题目解题的精髓，就能立于不败之地．

直线与圆锥曲线的位置关系的题目，基本的解决方法是：设出直线方程，把直线方程和圆锥曲线方程组成方程组．联立方程组之后，先转化为一元二次方程，结合韦达定理，将与根有关的问题转化为两根和、两根积的形式，从而解决问题．

但问题的关键在于两个方面：直线应当如何选取？又如何将已知条件和要分析的问题进行转化并和韦达定理建立联系？这两个问题解决好了，直线与圆锥曲线的关系的研究也就迎刃而解了．

一、直线的选取探究

【例1】在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

【分析】分析两点关于直线对称问题，通常利用：中点在直线上，斜率相乘为－1．既然“中点在直线上”，那求中点就需要B、C的坐标，并不需要A、D的坐标，那韦达定理中要体现B、C两点坐标的话，势必以直线BC与椭圆组成方程组．再者“斜率相乘为－1”，也涉及直线BC的斜率．由此可见直线BC才是解题的关键所在．因为直线BC的斜率可能不存在，但绝不会为0，利用与已知直线y＝kx＋3垂直，则可设直线BC：x＝－ky＋m，由B、C两点关于直线y＝kx＋3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k的范围．

【解】设B、C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC的方程为x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），

【点评】对称问题是高考的热点之一，在通法求解时，直线BC的选取成为解题的关键，若错选直线y＝kx＋3组成方程组，则将无法用上对称这个条件，题目自然无法求解．另外，因为本题为中点弦问题，当然也可采用点差法求解．

（1）求椭圆的方程；

【解】（1）因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以，故椭圆的方程为．

（2）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），

消去y，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A（x0，y0），B（x0，－y0），

【点评】直线的合理选取是本题的关键，这个题目中，研究的是直线AB是否过定点，那关心的就是直线AB，尽可能多地围绕直线AB进行求解，这样AB的选取也就很自然了．

直线的选取策略：

在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，要选取哪条直线与曲线组成方程组，应当注意以下几点：

（1）题目中涉及弦长｜AB｜或与直线与曲线交点A、B有关的线段或向量的计算时，当然选取直线AB与曲线组成方程组．

（2）对曲线上存在关于直线对称的两点这类问题，应选取过对称点的直线与曲线组成方程组．

（3）在某些条件下，研究运动直线过定点或具有某些性质（如斜率或某截距为定值）时，可以选取运动直线与曲线组成方程组，最终通过直线系解决．

（4）当前题目中要研究的问题主要通过哪条直线体现或与哪两点的坐标有关，就应选取这条直线或过这两点的直线与曲线组成方程组．

题目中出现的已知条件“过圆上点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆交于点M，N”，相切这个条件当然是通过切线体现，因此可先设出P点坐标（x0，y0），此时由点斜式写出切线方程，和椭圆方程组成方程组，由Δ＝0结合韦达定理，就得出两条切线PM和PN 的斜率的关系（kPM·kPN＝－1），从而得出MN为圆的直径．后续的问题也就容易得出了．若一开始就设直线MN与椭圆组成方程组来研究，则PM、PN与椭圆相切这个条件就难以转化，题目也就半途而废了．

二、如何将已知条件和要分析的问题进行转化，建立起与韦达定理的联系

因此，在大部分的解析几何大题中，把已知条件转化为坐标表示，化简直到能用上韦达定理，也是致胜的策略．

（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得｜PT｜2＝λ｜PA｜·｜PB｜，并求λ的值．

【解】（1）由已知，a2＋a2＝（2c）2，即，所以b，则椭圆E的方程为．

得3x2－12x＋（18－2b2）＝0．①

方程①的判别式为Δ＝24（b2－3），由Δ＝0，得b2＝3，

此时方程①的解为x＝2，

【评析】本题中涉及直线上的线段长度问题，必须将｜PT｜2＝λ｜PA｜·｜PB｜这个条件中的线段长转化为坐标表示，跟韦达定理建立联系，才能快速求解．

转化的策略：

在对已知条件和要分析的问题转化为坐标表示，从而建立起和韦达定理的联系时，要注意以下几点：

（1）熟练掌握几个转化的公式，这些公式直接提供线段长向坐标的转化．

焦半径公式r＝a±ex，焦点弦公式l＝2a±e（x1＋x2）（焦点在x轴上的椭圆）；

焦半径公式r＝｜a±ex｜，焦点弦公式l＝｜2a±e（x1＋x2）｜（焦点在x轴上的双曲线）；

（2）涉及线段的长度比问题，可将线段投影到x轴或y轴上，完成向坐标的转化，同时还要多注意三角形相似的应用．

（3）涉及向量的关系问题，可将向量转化为坐标表示，通过向量相等得出横坐标或纵坐标关系（通常选取形式较为简单的一个）．

（4）在对已知条件和要分析的问题化为坐标表示时，要彻底化简后再寻找与韦达定理的联系．

（5）在应用韦达定理时，注意一些常见形式的变形方法．

因此，要解决解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的这类题目，关键在于正确地选取直线，与曲线方程组成方程组；再学会把已知条件转化为用坐标表示，与韦达定理建立联系．由此看来，解析几何解答题万变不离其宗，只要认真学会分析，定能轻松驾驭．

（作者单位：广西省合浦廉州中学）