三道解析几何模拟试题的源与流

安 徽 阮 飞黑龙江 卢 军

三道解析几何模拟试题的源与流

安 徽 阮 飞黑龙江 卢 军

高三一学年同学们做了大量的试卷，可是常常感觉虽然做了很多试题，只要题目一变却又不会做了，所以经常出现“解几导数两茫茫，看分数，泪千行”的结果．如何做到触类旁通呢？笔者结合近期模拟试卷中的三道解析几何试题谈谈自己的看法，供大家参考．

一、问题的提出

解答一道题，首先要站在考生的角度，思考每一步是如何想到的；还要站在阅卷人考虑如何给分的角度，做到解答规范、书写美观．

（1）求椭圆C的方程；

【解析】（1）依题意可知

所以kOP、kOQ是方程的两个不相等实根，

【评注】用直线OP与直线OQ位置的对等性得出两形式完全相同的两个方程是本题解答的关键．

比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系：d＜r相交；d＝r相切；d＞r相离．

请读者思考第（2）问能否根据直线和圆的方程组的解判断直线和圆相切呢？

（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的左焦点，求圆M的方程；

①求证：k1·k2为定值；

②求｜OP｜·｜OQ｜的最大值．

【解析】（1）椭圆C的左焦点是，

【评注】联立直线方程和圆方程，消去y（或x）所得方程的判别式等于零时，方程组有一组解，圆和直线相切．此问能使用题目1第（2）问的解法吗？请读者思考．

②由直线OP、OQ的斜率都存在知它们不落在坐标轴上，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

思路1：先证｜OP｜2＋｜OQ｜2＝20．

方法1：（此法使用了整体代换）

思路2：若未发现｜OP｜2＋｜OQ｜2＝20，由证明该结论的方法2可得：

（1）若M点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆M的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率存在，分别记为k1，k2，求k1·k2的值；

（3）试问｜OP｜2＋｜OQ｜2是否为定值？若是求出该定值；若不是，说明理由．

②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36．综上，OP2＋OQ2＝36．

二、问题的源与流

解题后，首先要站在命题人的角度思考本题要考什么？背景是什么？还要站在教师的角度考虑这类题的一般解法有哪些？每种方法的适用条件是什么？解题由第一阶段的一题多解升华到多题一解，找到通性通法．

当且仅当时取等号，即M点在y轴上时取等号，

著名天文学家、数学家开普勒说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中，它应该是最不容易忽视的．”将一个问题类比到与它相似的另一个问题中，进行两者有意识的结合，进而能揭示出某类数学问题更一般的规律．

（作者单位：安徽省太和县太和中学，黑龙江省绥化市第九中学）