高考易错题自测卷——数列

江苏 吕从军 李 凯

高考易错题自测卷
——数列

江苏 吕从军 李 凯

一、选择题

1．已知Sn是数列｛an｝的前n项和且有Sn＝an－1（a≠0且为常数），那么数列｛an｝是 （ ）

A．等差数列

B．等比数列

C．既不是等差数列也不是等比数列

D．可能是等差数列，也可能是等比数列

2．已知数列an＝n2－tn＋2在（n≥2，n∈N＊）上是递增数列，则实数t的取值范围是 （ ）

A．［－5，5］ B．（－5，＋∞）

C．（－∞，5） D．（－5，5）

4．已知等比数列｛an｝中，a2＝1，则S3的取值范围是（ ）

A．（－∞，－1］ B．［3，∞）

C．（－∞，－1］∪［3，∞）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

5．已知数列｛an｝的前n项和Sn＝n（n－40），则下列判断中正确的是 （ ）

A．a19＞0，a21＜0 B．a20＞0，a21＜0

C．a19＜0，a21＞0 D．a19＜0，a20＞0

6．Sn是数列｛an｝的前n项和，若Sn＝3n－2，则an＝（ ）

7．已知等比数列｛an｝为递增数列．若a1＞0，且2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列｛an｝的公比q＝ （ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

9．若数列｛an｝的前n项和，则数列｛nan｝中数值最小的项是第（ ）项．

A．5 B．4

C．3 D．2

10．已知等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，已知2S5、S10、S20－S10构成等比数列，则S5、S15、S10构成的数列是 （ ）

A．等差数列

B．等比数列

C．既不是等差数列也不是等比数列

D．公比q≠1时构成等差数列，q＝1时不构成等差数列

二、填空题

12．已知数列｛an｝，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2（n≥3，），则an＝________．

13．已知数列｛an｝中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________．

15．已知数列｛an｝满足：），an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值个数为_______．

18．已知等差数列｛an｝的前m项，前2m项，前3m项的和分别为Sm，S2m，S3m，若Sm＝30，S2m＝90，则S3m＝________．

19．在等差数列｛an｝中，an＝3n－31，记bn＝｜an｜，则数列｛bn｝的前30项和为_______．

20．设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和，则q的取值范围是_______．

【参考答案与提示】

1．D 【解析】由Sn－Sn－1＝（a－1）an－1（n≥2），当a≠1时，｛an｝是等比数列，当a＝1时，｛an｝是等差数列，故选D．

【易错警示】忽视a＝1时，｛an｝是等差数列，错选B．

2．C 【解析】依题意a2＜a3，即4－2t＋2＜9－3t＋2，故t＜5．

【易错警示】不注意n的取值范围，用a1＜a2列不等式求实数t的取值范围．

当n≥2时，

【易错警示】使用公式an＝Sn－Sn－1时如果不注意n≥2，会错选A．

①当q＞0时S3≥3当且仅当q＝1时取等号；

②当q＜0时S3≤－1当且仅当q＝－1时取等号．

所以S3的取值范围为（－∞，－1］∪［3，＋∞）．

【易错警示】忽视q＞0或q＜0中一种情况，致使答案不全面．

5．C 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－39；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n（n－40）－（n－1）（n－41）＝2n－41．将n＝1代入满足上式．综上有an＝2n－41．所以a19＝2×19－41＝－3＜0，a20＝2×20－41＝－1＜0，a21＝2×21－41＝1＞0．故选C．

【易错警示】求an去括号时出错．

【易错警示】当n≥2时求出an后不注意验证a1是否满足条件．

又数列｛an｝为递增数列，且a1＞0，所以q＝2．【易错警示】忽视数列｛an｝为递增数列．

1＋q3＝9，所以q＝2．

所以前5项和

9．C 【解析】因为Sn＝n2－10n），所以｛an｝为等差数列，an＝2n－11，所以nan＝2n2－11n＝2，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n＝3，第3项是数列｛nan｝中数值最小的项．

【易错警示】求最小值时忽视n为正整数．

10．D 【解析】应用分类讨论求解：

①当q＝1时，S5＝5a1，S15＝15a1，S10＝10a1，

此时S5＋S10＝15a1，2S15＝30a1，

所以S5＋S10≠2S15，

所以S5、S15、S10不构成等差数列．

②当q≠1时，依题意，2S5、S10、S20－S10构成等比数列，所以

所以S5、S15、S10构成等差数列．

所以an＝3＋2（n－3）＝2n－3．

当n＝2时，a2＝2×2－3＝1也适合，

【易错警示】不注意题目中n的取值范围，结论错写成an＝2n－3．

13．an＝2n＋1－3【解析】设递推公式an＋1＝ 2an＋3可以转化为an＋1－t＝2（an－t），即an＋1＝2an－t，则t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2（an＋3），所以2．所以｛an＋3｝是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，则an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3．

【易错警示】不能通过an＋1＝2an＋3这一条件构造等比数列｛an＋3｝．

14．5【解析】由等差数列的前n项和及等差中项，可得

【易错警示】分段函数的单调性判断出错，以致列出的不等式组不全面．

【易错警示】a3、a5的取值注意不要漏掉一种情况．

18．180【解析】设数列的公差为d，

所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m是公差为m2d的等差数列，

所以2（S2m－Sm）＝Sm＋S3m－S2m．

即2×（90－30）＝30＋S3m－90，所以S3m＝180．

【易错警示】不会利用等差数列的性质判断Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，

【易错警示】忽视绝对值的意义，认为bn＝an．

（作者单位：江苏省赣榆县海头高级中学，江苏省启东市吕四中学）