柔性圆柱涡激振动流体力系数识别及其特性1)

徐万海马烨璇 罗浩 栾英森

(天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072)

流体力学

柔性圆柱涡激振动流体力系数识别及其特性1)

徐万海2)马烨璇 罗浩 栾英森

(天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072)

涡激振动是诱发海洋立管、浮式平台系泊缆和海底悬跨管道等柔性圆柱结构疲劳损伤的重要因素.目前，海洋工程中用于柔性圆柱涡激振动预报的流体力系数主要来源刚性圆柱横流向受迫振动的实验数据，存在一定缺陷和误差.本文综合考虑横流向与顺流向振动耦合作用，建立了柔性圆柱涡激振动流体力模型，运用有限元法和最小二乘法确定升力系数、脉动阻力系数和附加质量系数.为了准确识别柔性圆柱涡激振动流体力系数，设计并开展了拖曳水池模型实验，实验用柔性圆柱模型的质量比为1.82，长径比为195.5.通过与刚性圆柱流体力系数对比，深入分析了柔性圆柱流体力系数的特性.结果表明：柔性圆柱在一阶模态控制区，流体力系数随约化速度变化趋势与刚性圆柱大致相似；二阶模态控制区，升力系数和脉动阻力系数显著增大；附加质量系数在响应频率较低时与振动位移的相关性增强；当响应频率较低时，振动位移较大区域为能量耗散区，当响应频率较高时，振动位移较大区域为能量输入区.

柔性圆柱，涡激振动，升力系数，阻力系数，附加质量系数

引言

海流流经海洋立管与浮式平台系泊缆等柔性圆柱结构时，会出现交替的漩涡脱落，诱使结构在平行于来流方向(顺流向，in-line，IL)和垂直于来流方向(横流向，cross-fl w，CF)发生振动，结构振动又反作用于流场，这种典型的流--固耦合现象常被称为“涡激振动(vortex-induced vibration，VIV)”.涡激振动是引起海洋细长柔性结构疲劳损伤的重要因素，长期以来已得到人们广泛关注[14].目前，海洋工程中柔性圆柱VIV计算主要依靠VIVA和SHEAR7等经验模型，利用刚性圆柱受迫振动实验中获取的流体力，预报结构响应.Chaplin等[5]根据柔性圆柱涡激振动实验结果对多种经验模型(VIVA,VIVANA,VICoMo,SHEAR7和ABAVIV)进行校核发现,模型预报结果与实验存在一定误差.Jauvtis和W illiamson[6]的研究表明：小质量比圆柱结构顺流向VIV会对横流向产生显著影响，CF与IL之间的振动耦合效应不可忽视.Wu等[7]研究了柔性圆柱VIV横流向与顺流向的耦合机制发现,流体力系数受CF和IL位移之间相位影响.此外，刚性圆柱VIV发生时，结构不产生变形，不同截面位置的流体力大致相同，而柔性圆柱长径比(长度与直径的比值)较大，漩涡脱落形式和流体力沿轴向不规则变化，VIV具有典型的三维特征，流体力空间分布仍有待进一步研究.这也是现阶段VIV预报模型误差的主要来源之一.

关于圆柱VIV流体力特性，国内外已开展部分研究工作.Gopalkrishnan[8]通过刚性圆柱横流向受迫振动实验，测量VIV流体力，绘制平均阻力系数、附加质量系数和升力系数云图发现,升力系数与振动位移和响应频率密切相关.附加质量系数与响应频率相关性很强，与振动位移相关性较弱.Aronsen[9]测量了刚性圆柱纯顺流向受迫振动的流体力，绘制了IL脉动阻力系数、附加质量系数云图.Wu[10]根据VIV实验获得的振动位移数据，分别采用有限元法、状态空间法和直接反分析法计算圆柱结构的流体力.Huarte和Bearman[11]开展了阶梯来流条件下柔性圆柱VIV实验，采用有限元法计算平均阻力系数发现,平均阻力系数与CF位移同时达到峰值.Song等[12]采用直接积分的方式计算了长径比为263的柔性圆柱VIV流体力发现,升力系数和脉动阻力系数不仅与响应频率和位移有关，还与CF和IL振动之间的相位有关，相关规律与刚性圆柱受迫振动实验存在较大差异.

关于VIV流体力的研究中大多忽略了CF和IL之间的相互作用.基于此方面的不足，本文建立了柔性圆柱涡激振动流体力模型，考虑CF与IL方向的耦合，通过开展室内模型实验，测量柔性圆柱VIV的弯曲应变，运用模态分析法重构位移信息，计算结构CF和IL方向的流体力，并深入探讨柔性圆柱VIV流体力系数特性.

1 理论分析

1.1 流体力识别公式

由于圆柱的相对运动，阻力FD和升力FL与顺流向(x轴)及横流向(y轴)并不完全一致[13]，而是存在如图1所示的夹角θ，其中U为来流速度，顺流向和横流向流体力Fx和Fy可表示为

图1 圆柱截面受力示意图Fig.1 Diagram of forceson a cylinder cross-section

其中,Cax和Cay代表顺流向和横流向的附加质量系数，ρ为流体密度，D为圆柱直径分别对应IL与CF方向的位移、速度及加速度.由于圆柱结构两个方向的运动速度˙y和˙x远远小于来流速度U，即合速度可简化为根据分别为升力系数和阻力系数)，进一步化简式(1)和式(2).由于VIV具有自激励自限制特性，响应位移较小，IL和CF方向的振动可舍去2，等非线性项，IL方程中包含的项与CF方程中含有的项亦可忽略[1516]，于是

柔性圆柱结构振动采用欧拉--伯努利梁模型

其中,EI为结构弯曲刚度，T为轴向力，Cx和Cy为IL和CF方向的结构阻尼，m为结构单位长度质量，x′′与y′′,x′′′′与y′′′′分别为顺流向与横流向位移(x和y)对轴向坐标z的二阶与四阶偏导数.x和y可由实验测量的应变或加速度间接获得，,,,可根据振动位移计算.

阻力系数CD可写成CD=CD0+D，CD0为拖曳平衡位置对应的阻力系数即平均阻力系数，D为脉动阻力系数[12,15].IL位移x可表示为x=x0+，x0为IL平均位移，为IL脉动位移.式(5)可进一步化简为

IL平均拖曳力使柔性圆柱产生平均位移x0，由式(7)可得

上式用来确定平均阻力系数CD0.对于IL脉动位移，由式(7)可知

对于CF方向，式(6)可化简为

需要指出的是，在式(11)和式(12)的推导过程中，考虑了平均阻力项系数影响.

柔性圆柱涡激振动控制方程(5)和式(6)可转化为如下有限元形式

式中，M为质量矩阵，C为结构阻尼矩阵，KE为结构弯曲刚度矩阵，KP为由轴向力产生的刚度矩阵.结构阻尼矩阵C采用瑞利阻尼形式，即

α和β为常系数

式中，ωk与ξk,ωj与ξj分别为k与j阶模态的圆频率和阻尼比，可通过空气中自由衰减测试获得.

用fx表示IL方向与加速度同相位的附加质量力和与速度同相位的脉动阻力的合力，fy表示CF方向附加质量力和升力(与速度同相位的项)的合力，

由于平均阻力系数CD0已知，因此fx和fy可根据式(19)和式(20)获得

采用最小二乘法计算升力系数、脉动阻力系数和附加质量系数，具体推导过程参见Aronsen[9]和Song等[12]的研究工作

其中

1.2 模态分解法

模态分解法是柔性圆柱结构VIV实验数据处理常用的一种方法[1618]，假定结构振动位移能够表达成一系列固有模态线性叠加，根据不同离散点的应变信息，可求得结构的位移信息.本文运用模态分解法将柔性圆柱VIV实验中得到的应变转化为位移.分别对CF和IL方向的位移进行模态分解.为简化起见，仅以CF位移为例.IL位移确定与CF方向类似，不再赘述.结构位移可写为

其中,z为轴向坐标，t为时间，wn(t)为权重系数，n为结构的模态阶次，S为确定结构位移所需的模态数目，φn(z)为模态函数，两端简支边界条件的φn(z)可表示为

曲率与应变具有如下关系

式中，ε为测量获得的应变，R为结构半径，L为结构长度.振动位移可采用S个模态叠加表示

其中,M为应变片的测点数目，采用最小二乘法获得模态权重系数

将式(28)中的权重系数结果代入式(21)，即可重构结构位移信息.

2 实验设计

为了验证上述流体力系数识别方法正确性与合理性，在天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,利用长为137.0m，宽为7.0m，深为3.3m拖曳水池开展室内模型实验.图2为实验装置示意图.

柔性圆柱模型内层为钢管，钢管表面等间距布置5个测点，从左至右依次标记为G1,G2,G3,G4和G5，每个测点设置两组应变片，分别测量CF和IL方向的应变信息，钢管外侧附有热塑管，保护测量导线和应变片，并保证模型外部光滑.实际海洋工程中，海洋立管与浮式平台系泊缆等柔性圆柱结构质量比常介于1.0与10.0之间[6]，甚至低于3.0[19].结构的长径比一般较大，通常超过100[20].根据现有的实验条件，为了尽可能模拟实际海洋工程中柔性圆柱结构的VIV，最终制作了质量比为1.82，长径比为195.5的柔性圆柱模型.表1为主要模型参数.圆柱一端通过万向联轴节固定于如图2所示的实验装置，另一端通过钢丝绳连接弹簧、张紧器和张力传感器，通过调整张紧器改变轴向力，张力传感器用来实时记录模型轴向力变化.模型两端设置导流板，消除端部边界效应，整个钢架固定在拖曳水池上方拖车，圆柱模型置于拖曳水池自由表面1.0m深处，拖车匀速拖动圆柱模型模拟均匀来流条件.拖车速度范围为0.20～1.00m/s，间隔为0.10m/s.本实验的雷诺数Re介于4000和20000之间.采样频率为50Hz，采样持续时间为40s.

图2 实验布置示意图Fig.2 Schematic of theexperimentalset-up

表1 圆柱模型参数Table1 Physicalproperty for the cylindermodel in experiment

分别在空气中和静水中开展自由衰减实验，测量不同轴向力工况下圆柱模型顺流向和横流向固有频率f1,如表2所示.

3 结果分析

3.1 升力系数和阻力系数

图3和图4为柔性圆柱CF和IL振动位移均方根随约化速度(Vr=U/f1D)的变化情况.可以看出，CF振动在5.0＜Vr＜10.0时激发一阶模态，Vr＞15.0时激发二阶模态.IL振动激发一阶模态时对应5.0＜Vr＜10.0，二阶模态对应Vr＞10.0.图5和图6为升力系数和脉动阻力系数随Vr变化规律.可以看出，升力系数和脉动阻力系数分别与CF和IL位移保持相同变化趋势，在一阶模态控制区，先增大后减小；进入二阶模态控制区，升力系数和脉动阻力系数急剧增大.激发二阶模态时的响应位移与一阶模态的响应位移处于相同水平，但升力系数和脉动阻力系数却显著增大，原因是升力系数和脉动阻力系数不仅与位移有关，而且与响应频率密切相关.实验中一阶模态的控制频率约为2.5Hz，而二阶模态的控制频率远远高于一阶模态，约为8.5Hz.

表2 圆柱模型静水中固有频率Table 2 Natural frequency of the cylindermodel in stillwater

图3 横流向最大位移均方根随约化速度变化规律Fig.3 Max RMSCF dimensionlessdisplacementvs reduced velocity

图4 顺流向最大位移均方根随约化速度变化规律Fig.4 Max RMS IL dimensionless displacementvs reduced velocity

图5 升力系数随约化速度变化规律Fig.5 Liftcoe ffi cientvs reduced velocity

图6脉动阻力系数随约化速度变化规律Fig.6 Varying drag coe ffi cientvs reduced velocity

图7 对比了Gopalkrishnan[8],Sarpkaya等[21]及Moe和Wu[22]的升力系数.需要指出上述实验数据是通过刚性圆柱受迫振动实验(受迫振动位移为y/D=0.5)获得.刚性圆柱的升力系数在VrSt(St为斯特罗哈数，St=fsD/U，fs为漩涡脱落频率)约为0.98时获得最大值.本文柔性圆柱VIV实验中的St=0.17，升力系数在Vr=6.3时取得最大值，此时的VrSt=1.07与刚性圆柱较接近.关于圆柱顺流向VIV流体力系数的研究较少，已有的研究大多集中在1.0＜Vr＜4.0的纯顺流向VIV区域.Vr＞4.0时CF和IL的振动同时激发，柔性圆柱的脉动阻力系数随Vr的变化趋势与升力系数相同，同样在Vr=6.3时取得极大值.由图5和图7可发现,与刚性圆柱相比，柔性圆柱的升力系数和脉动阻力系数值均偏大，原因可能为：(1)柔性圆柱长径比较大，VIV具有三维特性；(2)小质量比结构VIV横流向与顺流向之间的相互作用显著，刚性圆柱的流体力系数大多来自横流向受迫振动实验，忽略了两个方向耦合.

图7刚性圆柱升力系数Fig.7 Liftcoe ffi cientof rigid cylinders

图8 为平均阻力系数随Vr变化规律.柔性圆柱平均阻力系数位于0.0与3.0之间，整体均值1.72，大于静止圆柱水中的平均阻力系数1.2.一阶模态控制区内，平均阻力系数先增大后减小，Vr=7.8时获得峰值2.68，进入二阶模态控制区，平均阻力系数逐步增大，最大可达2.98.Jauvtis和Williamson[6]开展了刚性圆柱两自由度自由振动实验，平均阻力系数整体位于0.5与3.0之间，在Vr=7.5时取得最大值3.0.而Huarte和Bearman[11]的柔性圆柱VIV实验平均阻力系数位于1.0与4.0之间，在Vr=6.3的一阶模态控制区内取得极大值.进入二阶模态控制区，平均阻力系数先升高后降低，一阶与二阶模态控制区平均阻力系数最大值接近.由此可见，柔性圆柱平均阻力系数在一阶模态控制区与刚性圆柱的变化趋势基本相同，并位于同一量级.在二阶模态控制区，柔性圆柱平均阻力系数随Vr的变化与一阶模态控制区相似，本文的平均阻力系数在二阶模态控制区仅表现为升高部分，原因是本实验的来流速度最高为1.0m/s，预计来流速度继续增大,平均阻力系数将呈现下降趋势.

图8 平均阻力系数随约化速度变化规律Fig.8 Mean drag coe ffi cientvs reduced velocity

3.2 附加质量系数

图9和图10为柔性圆柱CF与IL附加质量系数随Vr变化规律.在一阶模态控制区，CF与IL的附加质量系数随Vr升高而降低.附加质量系数可改变结构的实际固有频率，其降低表明结构的固有频率随Vr升高，从而使结构维持“锁定”状态.Golpalkrishnan[8],Sarpkaya[23]，Vikestad等[24]和Chung[25]开展的刚性圆柱实验仅为一阶模态，CF附加质量系数随Vr升高而降低，变化趋势与柔性圆柱一阶控制模态时大致类似，附加质量系数最终降至-0.4～-0.8之间，如图11所示.柔性圆柱CF附加质量系数亦会降为负值，最小值为-0.44.在模态转化区域，柔性圆柱CF附加质量系数随Vr变化较为激烈，导致结构固有频率变化较大，进而诱发结构振动产生了激烈的模态竞争.在二阶模态控制区，柔性圆柱附加质量系数表现平稳，CF附加质量系数趋于1.3，IL附加质量系数趋于0.8.

图9 横流向附加质量系数随约化速度变化规律Fig.9 Addedmass coe ffi cientin CFdirection vs reduced velocity

图10 顺流向附加质量系数随约化速度变化规律Fig.10 Addedmasscoe ffi cientin IL direction vs reduced velocity

Khalak等[26]、Govardhan等[27]的研究表明：刚性圆柱在“锁定”状态中，CF附加质量系数最终将趋于“-0.54±0.02”.Sarpkaya[23]证明了CF附加质量系数对振动位移的变化很敏感，对于刚性圆柱受迫振动，振动位移不同,附加质量系数也不相同，如图11所示.柔性圆柱CF和IL附加质量系数在进入二阶模态控制区后趋于平稳，在此之前随Vr变化激烈.因此，柔性圆柱在响应频率较低时，附加质量系数和振动位移均具有一定的相关性，随着响应频率升高,进入二阶模态控制区附加质量系数与振动位移的相关性逐渐减弱.

根据附加质量系数计算结果和实验中测量得到的轴向力确定了VIV发生时圆柱的振动频率.图12和图13为CF与IL振动频率(fCF和fIL)的测量值与计算结果对比.其中纵轴为频率与静水中一阶固有频率f1的比值.在一阶和二阶模态控制区的“锁定”状态下，实验结果与计算结果吻合较好.

图11 刚性圆柱横流向附加质量系数Fig.11 Addedmass coe ffi cientsof rigid cylinders in CF direction

图12 横流向振动频率Fig.12 Response frequency in CF direction

图13 顺流向振动频率Fig.13 Response frequency in IL direction

3.3 流体力轴向分布

以轴向力T=100N，约化速度Vr=6.3和16.8为例，绘制柔性圆柱一阶和二阶模态被激发时，振动位移均方根、升力系数和附加质量系数的轴向分布图，如图14和图15所示.可以看出，一阶模态时，升力系数在横流向位移最大处为负值，表明为限制振动位移的不断增大，升力起到了振动阻尼的作用，能量由结构转移到流体中，位移较大的区域为结构的能量耗散区，该现象亦证明了VIV的自限制特性.Wu等[2829]和Song等[12,30]获得的升力系数分布也具有类似特点.如图15所示，二阶模态下，横流向振动位移较大处，升力系数亦较大，即柔性圆柱在位移较大的区域能量仍由流体转移到结构，这部分区域仍为能量输入区.产生这一现象的原因在于二阶模态下，结构响应频率偏高，为维持此时的振动状态，流体向结构继续输入能量，响应频率较高时能量耗散区将转变为能量输入区.Wu等[28]计算发现，在某些位移较大区域升力系数亦较大，这些区域仍为能量输入区.脉动阻力系数的轴向分布与升力系数呈现相同特点.

由图14和图15中附加质量系数的轴向分布可看出，一阶模态下，附加质量系数沿轴向变化剧烈，而二阶模态下附加质量系数沿轴向变化趋于缓和.原因可能是，附加质量系数不仅与响应频率有关，还与振动位移有关.一阶模态时响应频率较低，此时附加质量系数与振动位移的相关性强，附加质量系数变化幅度大；二阶模态时响应频率较高，附加质量系数与振动位移的相关性变弱，附加质量系数变化幅度小.二阶模态下，振动位移的节点处，附加质量系数产生突变.一阶模态下，柔性圆柱两端点的附加质量系数较大，情形类似于二阶模态下位移节点处的突变，柔性圆柱端点处的位移为零，可看作位移的节点.Song等[12,30]的附加质量系数轴向分布也出现了位移节点突变的现象.IL附加质量系数空间分布与CF附加质量系数呈现类似规律.

图14 横流向位移、升力和附加质量系数轴向分布图(Vr=6.3)Fig.14 CFdisplacement,liftand addedmass coe ffi cientsalong cylinder axisw ith Vr=6.3

图15 横流向位移、升力和附加质量系数轴向分布图(Vr=16.8)Fig.15 CFdisplacement,liftand addedmass coe ffi cientsalong cylinder axisw ith Vr=16.8

图16 横流向流体力云图(Vr=6.3)Fig.16 Contour of flui forces in CFdirectionw ith Vr=6.3

图17横流向流体力云图(Vr=16.8)Fig.17 Contourof flui forces in CF directionw ith Vr=16.8

图16 和图17为柔性圆柱一阶模态和二阶模态时CF流体力合力云图.CF流体力随时间均呈现稳定的周期性变化，但沿轴向不均匀分布，流体力的轴向变化与图14和图15中对应升力系数类似.一阶模态控制区，G2,G3和G4测点处的流体力较大,而二阶模态控制区，仅G2和G4测点处流体力较大.二阶模态被激发时，流体力的频率和数值远高于一阶模态对应的情况.IL流体力合力小于CF流体力，但空间分布与CF流体力呈现相近特点.

4 结论

本文建立了考虑横流向和顺流向耦合作用的柔性圆柱VIV流体力模型，采用最小二乘法分解流体力为升力系数、脉动阻力系数和附加质量系数，研究了柔性圆柱流体力系数特性，并与刚性圆柱流体力变化规律进行了对比，得到如下结论：

(1)柔性圆柱升力系数和脉动阻力系数与刚性圆柱变化趋势相同.但在二阶模态控制区，柔性圆柱升力系数和脉动阻力系数显著增大.

(2)柔性圆柱在一阶模态控制区，附加质量系数随约化速度变化与刚性圆柱具有相同趋势.附加质量系数与响应频率和振动位移有关.低响应频率时，附加质量系数与位移相关性强，较高响应频率时，相关性减弱.在“锁定”区域，根据附加质量系数计算的圆柱固有频率与实验测量值吻合较好.

(3)柔性圆柱流体力系数沿轴向分布存在不均匀的特点.响应频率较低时，振动位移较大区域为能量耗散区，随着响应频率升高，振动位移较大区域仍有可能为能量输入区.

本文的研究工作完善了柔性圆柱VIV流体力计算理论体系，研究成果可为海洋工程中细长圆柱结构的设计提供必要理论支持.然而，本文研究仅限于来流与圆柱结构轴向垂直的特殊情形.实际工程中，特别是海洋工程中的悬链线立管和海洋浮式结构系泊缆线等结构轴向与来流并不垂直，存在一定倾斜角度，导致轴向二次流的存在，可见倾斜圆柱VIV相比于垂直圆柱更为复杂.因此，下一步拟定根据倾斜圆柱VIV实验，分析更为一般的倾斜圆柱VIV流体力特性.

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IDENTIFICATION AND CHARACTERISTICSOFHYDRODYNAM IC COEFFICIENTS FOR A FLEXIBLECYLINDER UNDERGOING VORTEX-INDUCED VIBRATION1)

XuWanhai2)Ma Yexuan Luo Hao Luan Yingsen
(State Key Laboratory ofHydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Vortex-induced vibrations(VIV)may cause serious fatigue damage on fl xible cylinder structures,such as marine risers,mooring linesof floatin platform and free spanning pipelines.Nowadays,in ocean engineering application,the hydrodynam ic coe ffi cients,used to predict the VIV of fl xible cylinders,aremainly acquired from the forced oscillationsof rigid cylinders in cross-fl w,whichmay account for the unexpected errors.Taking the coupling between cross-fl w(CF)and in-line(IL)vibrations into account,a flui forcemodel is proposed in this paper.Lift,impulse drag and addedmass coe ffi cients are obtained by the finit elementmethod and least squaremethod.A series of experimental tests of a fl xible cylinderw ith amass ratio of 1.82 and an aspect ratio of 195.5 are conducted in a tow ing tank to investigate thehydrodynam ic coe ffi cientson the fl xible cylinderundergoing VIV.Comparing to thehydrodynam ic characteristicsof rigid cylinders,thoseofa fl xible cylinderare furtherstudied.Under the first-orde mode,thehydrodynam ic coe ffi cientsof a fl xible cylinder share the same variation w ith those of rigid cylinders.A remarkable grow th on liftand impulsedrag coe ffi cientsisobserved under thesecond-ordermode.Theaddedmasscoe ffi cientsarestrongly related to thedisplacementas the frequency is low.The large displacement region is the energy dissipation regionw ith low frequency.While,the large displacement regionmay turn into theenergy input regionw ith high frequency.

fl xible cylinder,vortex-induced vibration,liftcoe ffi cient,drag coe ffi cient,addedmass coe ffi cient

TV312

A

10.6052/0459-1879-16-263

2016-09-19收稿，2017-05-11录用,2016-05-15网络版发表.

1)国家自然科学基金(51379144,51479135,51579175,51679167)，国家自然科学基金创新研究群体科学基金(51621092)和国家重点基础研究计划(973计划)(2014CB046801)资助项目.

2)徐万海,副教授，主要研究方向：流--固耦合.E-mail：xuwanhai@tju.edu.cn

徐万海,马烨璇,罗浩,栾英森.柔性圆柱涡激振动流体力系数识别及其特性.力学学报,2017,49(4)：818-827

XuWanhai,Ma Yexuan,Luo Hao,Luan Yingsen.Identificatio and characteristicsof hydrodynam ic coe ffi cients for a fl xible cylinder undergoing vortex-induced vibration.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：818-827