曲线加筋Kirchho ff-M ind lin板自由振动分析1)

刘璟泽姜东韩晓林费庆国

∗(东南大学工程力学系,南京210096)†(东南大学空天机械动力学研究所,南京211189)∗∗(南京林业大学机械电子工程学院,南京210037)

动力学与控制

曲线加筋Kirchho ff-M ind lin板自由振动分析1)

刘璟泽∗,†姜东†,∗∗韩晓林∗费庆国†,2)

∗(东南大学工程力学系,南京210096)†(东南大学空天机械动力学研究所,南京211189)∗∗(南京林业大学机械电子工程学院,南京210037)

相比传统加筋板，曲线加筋板能够更充分地发挥材料力学性能.在加筋板力学分析中，厚板通常采用Reissner-M indlin理论，然而当板厚较薄时易出现剪切自锁，离散的Kirchho ff-M indlin理论采用假设剪切应变场可避免该问题.针对曲线加筋Kirchho ff-M indlin板自由振动分析，采用离散的Kirchho ff-M indlin三角形单元和Timoshenko曲梁单元分别模拟板和加强筋，根据板的位移插值函数及筋板交界面的位移协调条件，建立基于板单元位移自由度的有限元方程.为了验证方法的有效性和准确性，采用直线加筋薄板、曲线加筋薄板和厚板3种模型进行算例研究，通过收敛性和精度分析来选择合理的有限元网格密度.直线加筋薄板前20阶固有频率均与文献结果吻合良好；曲线加筋板算例中，本文方法满足收敛条件的板单元数目为2469，Nastran模型板单元数目为6243；本文所得曲线加筋板固有频率与Nastran计算结果最大误差为3.4%.研究结果表明，本文方法无需筋板单元共节点，可使用较少的有限元网格数量，并能够保证计算精度；在离散Kirchho ff-M indlin三角形板单元基础上构造Timoshenko梁单元可同时适用于曲线加筋薄板与厚板自由振动分析.

曲线加筋，Kirchho ff-M indlin板，自由振动分析

引言

加筋结构在同等重量条件下具有更加出色的力学性能，已广泛应用于航空航天、船舶、汽车等领域.传统的加筋板/壳多采用横向、纵向或按照特定角度铺设筋条，并不能最大限度地发挥材料性能.Kapania等[1]提出了曲线筋的概念，曲线加筋可有效考虑局部性能，更利于结构的优化设计.

在加筋板有限元建模中，当筋条形状发生改变时，为使筋板节点一致，必须对筋节点重新划分单元.为了克服这种困难，许多研究者提出在有限元分析中使用等参单元对筋板分别建模，然后利用板单元的节点近似表达筋单元节点.Mukhopadhyay等[2]进行了偏心加筋板的自由振动分析.通过有限元方法中的插值函数，利用筋板接触面的位移协调条件，使得筋的位移和几何坐标可以用板的形式表达.因此，加强筋可以被布置在板单元内的任意位置，无需沿着板的节点线布置.Ghosh和Biswal[3-4]使用四节点矩形单元模拟板单元，加强筋单元刚度矩阵用筋节点所在的四节点板单元来表达.Kumar和Mukhopadhyay[5]使用梁单元对加强筋来建模.梁单元的节点位移和坐标被其所在板的壳单元节点位移和坐标插值得到.此模型被广泛应用于加筋板结构的静力分析[67]，屈曲分析[810]，自由振动分析和瞬态动力学分析[11-15].

关于加强筋的建模方法，经历了一段时期的发展，早期线性插值函数被用来模拟加强筋，但事实证明它会导致较大的位移、应力误差[16]，随后，科研工作者采取增加节点自由度、增加插值函数的阶数来提高模拟精度[17].近来，人们多采用3节点梁单元，对加强筋进行建模[1820].

为了对加筋板的板单元建模，基于Kirchho ff薄板理论，Barik等[21]结合四节点矩形平面应力单元和板弯曲单元进行了加筋板的静力、自由振动和前屈曲分析.基于Reissner-M indlin厚板理论，Mukheriee和Mukhoadhyay[22]使用等参单元进行加筋板自由振动和屈曲分析.Holopainen[23]应用混合插值弯曲板单元进行加筋板的自由振动分析，可以有效避免剪切锁死，且具有较好收敛性.Nguyen-Thoi等[24]基于平滑离散剪切间隙方法，将板单元和膜元结合，并使用厚梁单元模拟筋条进行了加筋板的自由振动分析.章向明等[2526]构造了用于复合材料偏心加筋板、壳结构大变形分析的板、壳单元，此模型将肋骨连同板、壳视为一个单元，即偏心加筋板、壳单元，同时考虑了几何非线性和剪切变形.张志峰等[27]基于精细三角形M indlin板单元构造了21个自由度三角形复合材料加筋板、壳单元，并将其应用于加筋板、壳结构振动、屈曲的分析.

Katili[28]基于Reissner-M indlin板理论和假设剪切应变场提出了一种离散的Kirchho ff-M indlin三角形弯曲板单元DKMT，这种单元同时适用于厚板与薄板分析，可以避免剪切锁死和零能模式.

本文使用DKMT单元作为板单元，采用网格划分工具DistMesh[29]生成板的有限元网格，铁木辛柯梁单元作为筋单元，利用三阶B-Spline曲线对加强筋进行几何建模.筋板单元无需共节点，加强筋可以在板内任意布置.本文首先进行了收敛性研究，将直线加筋板频率结果与文献结果进行对比验证，得出了收敛的有限元模型；其次分别分析了薄板和厚板情况下的曲线加筋板固有频率和振型，并与Nastran分析结果进行对比.

1 离散K irchho ff-M ind lin三角形单元

1.1 位移场

离散Kirchho ff-M indlin三角形单元(discreteKirchho ff-M indlin triangular,DKMT)是一种包含横剪切效应的弯曲板单元,结合文献[30]中对板单元内挠度场定义，单元内任意一点挠度和法线转角可以表达为

其中，Np,1=λ，Np,2=ξ，Np,3=η，Pk表示一组高阶函数，P4=4λξ，P5=4ξη，P6=4λη，λ=1-ξ-η.wp,i是1,2,3节点的挠度，βpx,i和βpy,i是1,2,3节点的转角，∆βsk是中点4,5,6的转角.Ck和Sk是三角形边与x轴所成角度的余弦和正弦值.单元如图1所示.

图1 离散的Kirchho ff-M indlin三角形单元Fig.1 Discrete Kirchho ff-M indlin triangularelement

1.2 本构关系

弯曲应变为

将式(1)代入式(2)，得

剪应变可以表示为

式中，up为三角形单元三个角节点位移，∆βsk为三个边中点切向转角，∆βsk与up之间有如下转换关系

式(3)～式(5)中，Bbβ,Bb∆β,Bs∆β和An表达式见参考文献[28].

对于线弹性、各向同性均匀的平板，弯矩本构方程为

剪力本构方程为

其中，Db=Eh3/12(1-v2)，Dsh=kGh，E是杨氏模量，h是平板厚度，v是泊松比，k=5/6是剪切修正系数，G是剪切模量.

1.3 单元的刚度矩阵与质量矩阵

弯曲刚度矩阵为

其中

剪切刚度矩阵为

其中

则采用两点高斯积分得到板单元的刚度矩阵为

单元的质量矩阵Mp采用集中质量矩阵，单元的每个结点上集中1/3的质量.

2 曲线加强筋理论

假设曲线加强筋具有均匀截面，由均质、各向同性、线弹性材料制成，如图2所示.利用三节点等参梁单元模拟加强筋，其坐标可由节点坐标和插值函数表示为

加强筋的弹性常数矩阵可以写为

其中，rs=(xs,ys)为加强筋在整体坐标系中的坐标；Ns,i是3节点等参曲梁单元的形函数.根据曲线筋的切线方向t、法线方向n、次法线方向b建立局部坐标系,任意点的位移场可由其单元节点位移和插值函数表示为

加强筋的质量矩阵可以写成

其中，usT={wb,βt,βn},us,i是局部坐标系下曲线筋单元第i个节点的位移.

线性应变可以表示为

其中,1/R表示加强筋曲率[14],Es是加强筋的弹性模量；Gs是加强筋的剪切模量；A是加强筋的横截面积；bs和hs分别是加强筋的截面宽度和高度；Ab表示b方向的剪切面积,Ab=KbA；Kb表示b方向的剪切强度因子；In和Ib表示加强筋横截面相应于n方向和b方向的二次转矩，In=bs/12+e2As，Ib=bs/12；Jt是加强筋截面的扭力常数，对于矩形加强筋，可以近似表示为Jt=hs/3.

3 加筋板有限元方程

图2 加强筋位移和局部坐标系Fig.2 Displacementand localcoordinate system for the curved sti ff eners

得到上述加强筋应变矩阵及弹性矩阵后，可通过数值积分计算加强筋刚度矩阵和质量矩阵，但此时的刚度矩阵和质量矩阵仍由加强筋的位移来表示，为建立加筋板的有限元方程，需采用板的节点位移来表示加强筋的位移.分析流程如图3所示.

在筋板接触位置，筋与板的坐标和位移都应是相同的，板单元内的坐标和位移可采用板单元节点插值表示，在整体坐标系下，第i个筋节点的坐标可由板节点坐标表示为

图3 曲线加筋板模态分析流程Fig.3 Flow chartofmodalanalysis for curvilinearly sti ff ened plates

加强筋在局部坐标系下和整体坐标系下的位移可以通过转换矩阵实现转换

其中，usgT={ws,βsx,βsy}为加强筋在整体坐标系下的位移.转换矩阵为

加强筋在整体坐标系下的位移可用筋节点位移插值表示为

则整体坐标系下第i个筋节点的位移可由板节点位移表示为

根据式(5)可知边中点切向转角与板三个角节点位移之间的关系，将式(5)和式(22)代入式(21)可得

则加强筋内的位移场就可由板单元的节点位移来表示

至此，筋和板节点位移自由度转化完成，并可以得到由板的位移自由度表示的加强筋的刚度矩阵，则加强筋的单元刚度矩阵可以表示为

加强筋的单元质量矩阵可以表示为

Js是筋单元的雅克比矩阵,行列式的值为

建立曲线加筋板的自由振动分析有限元方程如下

其中,Kp和Ks分别是板和筋的刚度矩阵，通过两点高斯积分求得；Mp和Ms分别是板和筋的质量矩阵，Mp由集中质量矩阵求得，Ms通过两点高斯积分求得；ω是固有频率；d是板的节点位移自由度向量.

4 曲线筋参数化建模

Zhao等[10]提出一种曲线筋参数化建模方法，在参数化空间中，曲线筋的位置、曲率和筋条数目用于参数化加强筋的形状.利用三阶B-Spline曲线来生成曲线筋的形状曲线，起始点A和结束点B位于自然空间上的边缘，用于参数化曲线筋的位置，控制点C用来控制曲线筋的曲率.初始控制点C0是线段AB中点，d是垂直于向量AB的单位向量，控制点C的位置可以按曲率设计步长α沿方向d移动C0得到.曲线加强筋的参数化表达方式如图4所示.边界参数与点自然坐标的关系如表1所示.

图4 曲线加强筋的参数化表达方式Fig.4 Parametric expression of curvilinear sti ff ener

表1 边界参数c和点自坐标(ξ,η)的关系Table1 The relationship between the perimeterparameterε and the pointnatural coordinates(ξ,η)

5 数值算例

5.1 直线加筋板自由振动分析

考虑一四周固支的直线加筋板，如图5所示，加强筋偏心布置，材料参数E=68.9GPa，v=0.3，ρ=2670 kg/m3，进行自由振动分析.Olson等[31]对此模型进行了自由振动实验以及有限元分析，Holopainen[23]应用一种混合插值弯曲板单元对此模型进行自由振动分析，Nguyen-Thoi等[24]基于平滑离散剪切间隙方法，将板单元和膜元结合，并使用厚梁单元模拟筋条对此模型进行了自由振动分析.

图5 双筋直线加筋板几何模型Fig.5 Geometry of sti ff ened platew ith two straightsti ff eners

首先进行收敛性研究，计算无筋板固有频率随网格密度变化，从表2结果可知,当板网格密度为32×32时，板的自由振动频率开始收敛.保持板网格密度为32×32，研究直线加筋板固有频率随筋单元数目变化的收敛性，直线加筋板固有频率结果如表3所示.由表3可知，当筋单元数目为15时，加筋板固有频率开始收敛.由此可见，板单元网格密度采用32×32，每条加强筋单元数目采用15时，对此模型进行自由振动分析结果是收敛的.

表2 无筋板固有频率随网格密度变化Table 2 Natural frequencies change foran unsti ff ened plate w ith the panelmesh densityHz

表3 不同筋单元数目下加筋板(32×32)固有频率Table 3 Natural frequencies change for the sti ff ened plate(32×32)w ith di ff erentsti ff enerelementsnumber Hz

为了验证本方法的准确性，将本文计算所得数值结果与参考文献[23-24,31]中的试验及仿真结果进行对比.对比结果参见表4和图6.由对比结果可知，本方法求得的固有频率和文献结果吻合较好，本方法的精确性得到了验证.

5.2 曲线加筋板自由振动分析

5.2.1 收敛性及准确性验证

考虑一中心带孔曲线加筋板，模型如图7所示，材料参数E=69GPa，v=0.3，ρ=2823 kg/m3，曲线筋的位置和曲率参数分别为∆ε=0.0625，α=0.5,方板边长a=2m，厚度为t，孔半径为r=0.4m，曲线筋截面如图2所示，采用偏心加强筋，截面高度hs=0.1908m，宽度bs=0.0191m.边界条件为四周简支.

表4 直线加筋板固有频率Table 4 Natural frequenciesof the linearly sti ff ened plate Hz

图6 直线加筋板固有频率对比Fig.6 Comparison ofnatural frequencies for the linearly sti ff ened plate

图7 曲线加筋板有限元模型Fig.7 Finiteelementmodel for the curvilinearly sti ff ened plate

使用网格划分工具DistMesh划分板有限元网格，选择固定网格密度函数，通过调节参数h0来控制板单元网格划分[30].使用三阶B-Spline曲线来生成曲线筋的形状曲线，为保证筋条交汇处位移协调，在筋条交汇处建立节点，如图8所示.

图8 筋条交汇处有限元模型Fig.8 Finiteelementmodelof intersection of sti ff eners

首先进行收敛性验证，选择板厚t=0.02m，通过调节参数h0获得5种不同密度网格，如图9所示.对不加筋板进行自由振动分析，5种不同密度板单元网格下板的固有频率结果如表5所示.结果表明，当h0=0.04时，板的固有频率开始收敛.保持板单元网格为h0=0.04时不变，网格数为2469，考察了不同数目筋单元对曲线加筋板的频率结果的影响.

图9 板单元网格划分Fig.9 Di ff erentmesh size for the plate

表5 无筋带孔板固有频率随板的网格尺寸变化(t=0.02m)Table 5 Natural frequencies change foran unsti ff ened plate w ith aholew ith the panelmesh size(t=0.02m)Hz

曲线加筋板固有频率随着每条筋单元数目变化结果如表6和图10所示.结果表明，当每条筋采用15个单元时，曲线加筋板频率结果开始收敛，因此采用h0=0.04时的板网格和每条筋15个三节点梁单元作为本例的有限元模型，其数值结果认为是本方法的可靠结果.

图10 曲线加筋板固有频率随每条筋单元数目变化Fig.10 Natural frequencies change for the curvilinearly sti ff ened platew ith di ff erentsti ff ener elementsnumber

为验证本方法的准确性，将数值结果与Nastran结果进行对比，结果如表6所示.在Nastran建模中，采用6243个CTRIA3板单元，每条曲线加强筋采用50个CBAR梁单元.对比结果显示误差较小，本文方法准确性得到了验证.

表6 曲线加筋板固有频率随筋单元数目变化(t=0.02m)Table 6 Natural frequencieschange for the curvilinearly sti ff ened platew ith the sti ff enerelementsnumber(t=0.02m)Hz

图10 曲线加筋板固有频率随每条筋单元数目变化(续)Fig.10 Natural frequencieschange for the curvilinearly sti ff ened platew ith di ff erentsti ff enerelementsnumber(continued)

5.2.2 振型分析结果

除了固有频率的验证，振型的验证也是必要的，振型的精确与否可以反映本文方法所求特征向量的准确性.利用图7模型，选择t=0.02m和t=0.2m两种板厚，两种情况下的前五阶振型及频率分别如图11和图12所示.从图11和图12可以看出,本文方法所获得振型及频率与Nastran结果吻合较好.

图11 曲线加筋板振型(t=0.02m)Fig.11 Mode shapesof the curvilinearly sti ff ened plate(t=0.02m)

图12 曲线加筋板振型(t=0.2m)Fig.12 Mode shapesof the curvilinearly sti ff ened plate(t=0.2m)

6 结论

本文以离散的Kirchho ff-M indlin三角形单元为板单元，Timoshenko梁单元为筋单元，建立了直线与曲线加筋板有限元模型，分别对双直筋加筋板与4条加强筋曲线加筋板进行模态分析，将计算结果与文献及Nastran仿真结果进行对比分析.得到如下结论：

(1)采用离散的Kirchho ff-M indlin三角形单元和Timoshenko梁单元分别为加筋板的板单元和梁单元，实现了一种曲线加筋板有限元分析方法.筋板单元无需共节点，当加强筋单元发生改变时，板网格无需进行改变.有限元分析结果表明,本文方法可同时适用于薄板和厚板情况下的曲线加筋板分析.

(2)通过收敛性研究表明,本文方法对于分析直线和曲线加筋板问题收敛性较好.通过与文献结果及Nastran结果对比表明,本文方法所得固有频率及特征向量精度较高，且本文方法可以采用比商业有限元软件更少的网格获得精度相近的结果.

(3)采用离散的Kirchho ff-M indin三角形单元模拟板单元进行加筋板分析时，板单元内挠度场可以通过单元角点挠度线性插值来表示，筋的位移自由度可以通过板的位移插值函数及筋板交界面的位移兼容条件，与板的位移自由度建立起映射关系，进而建立起基于板的位移自由度的结构有限元方程.

(4)可以通过改变曲线筋的数目、位置和曲率参数来得到不同的曲线加筋板模型进行分析，从而对曲线加筋板结构的力学性能进行改变，为曲线加筋板结构优化设计提供了基础.

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FREE VIBRATION ANALYSISOFCURVILINEARLY STIFFENED KIRCHHOFF-M INDLIN PLATES1)

Liu Jingze∗,†Jiang Dong†,∗∗Han Xiaolin∗FeiQingguo†,2)∗(DepartmentofEngineering Mechanics，SoutheastUniversity，Nanjing 210096，China)†(Institute ofAerospace Machinery and Dynamics，SoutheastUniversity，Nanjing 211189，China)∗∗(College ofMechanicaland Electronic Engineering，Nanjing Forestry University，Nanjing 210037，China)

Comparedw ith traditionalsti ff ened plates,curvilinearly sti ff ened plates can deliver themechanicalproperties ofmaterialsmoreadequately.Inmechanicalanalysisof sti ff ened thick plates,Reissner-M indlin theory isusually adopted.However,di ffi culties are encountered in connection w ith shear locking when the plate thickness approaches zero.In order to avoid the above problem,the discrete Kirchho ff-M indlin theory was investigated by employing the assumption of shear strain field An e ffi cient finit elementapproach for free vibration analysis of curvlinearly sti ff ened Kirchho ff-M indlin platesispresented in thispaper.ThediscreteKirchho ff-M indlin triangular(DKMT)elementand the Timoshenko curved beam element are employed formodeling the plate and the sti ff eners,respectively.The finit element equation is established through the displacement interpolation function of plate and the displacement compatibility conditions atthe plate-sti ff ener interfaces.In order to verify the e ffi ciency and accuracy of the presentmethod,linearly sti ff ened thin plateand curvilinearly sti ff ened thin and thick platesareused asnumericalexamples.The reasonable finit elementmesh density isselected by convergenceand accuracy analysis.The firs 20 natural frequenciesof the linearly sti ff ened plateare in good agreementw ith the literature.In the examplesof the curvilinearly sti ff ened plate,the number of plate elements satisfying the convergence condition is 2469,while the number in Nastranmodel is 6243.Themaximum error of the natural frequency between the presentmethod and Nastran is3.4%.Resultsshow thatpresentapproach can guarantee the accuracy of calculationw ith lessnumberofelements.Thepresentmethod can beapplied to the freevibration analysisof both sti ff ened thin and thick plates.

curvilinearly sti ff ener,Kirchho ff-M indlin plate,freevibration analysis

V214.3

A

10.6052/0459-1879-17-041

2017-02-16收稿，2017-05-27录用,2017-06-01网络版发表.

1)国家自然科学基金(11572086,11602112)及教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-11-0086)资助项目.

2)费庆国，教授，主要研究方向：动力学与控制.E-mail：qgFei@seu.edu.cn

刘璟泽,姜东,韩晓林,费庆国.曲线加筋Kirchho ff-M indlin板自由振动分析.力学学报,2017,49(4)：929-939

Liu Jingze,Jiang Dong,Han Xiaolin,FeiQingguo.Free vibration analysisof curvilinearly sti ff ened Kirchho ff-M indlin plates.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：929-939