空间向量的线性运算

王艳丽

[摘 要] 空间向量是从平面向量扩展到空间向量，所以，在学习空间向量概念时，可以完全类比平面向量的概念及其运算规律。

[关 键 词] 空间向量；线性运算；平面向量

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）05-0065-01

要学习空间向量知识，需要牢固掌握平面向量的概念和運算规律，空间向量是从平面向量扩展而来的。在学习中可以完全类比平面向量的运算规律。

一、掌握空间向量的有关概念

（一）掌握空间向量的有关概念

要学好空间向量知识，首先要掌握其全部概念。如，空间向量的定义及注意问题，空间向量的长度（模），零向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念及注意问题，两个向量夹角的概念及规定，空间向量数乘概念，实数与空间向量积的定义，向量积的定义等。

（二）掌握空间向量线性运算的公式

要掌握空间向量加减法的运算公式及规定，加法的结合律、交换律及注意问题；实数与空间向量积的运算律，包括结合律、两个分配律；空间向量积的运算律等。

（三）掌握空间向量有关法则和定理

掌握向量加减法的三角形法则、平行四边形法则；共线向量定理、共面向量定理；空间向量共线和垂直的判定定理等。

二、空间向量及其线性运算的重点问题指导

（一）空间向量加减法的运算

空间向量加减法可运用平行四边形法则或三角形法则运算。（1）多个首尾相接向量的和，就等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，所以求空间向量之和时，能通过平移向量使这些向量变成首尾相接的向量；（2）多个向量如果首尾相接构成封闭图形，这些向量之和为零向量；（3）平行四边形法则在空间向量中仍然成立。

（二）共线向量定理的应用

共线向量定理可用于：判定两条直线平行；证明三点共线。在证明两条直线平行时，要先从每条直线上取有向线段表示向量，然后再用向量线性运算证明两个向量共线，由此证明两条直线平行。证明三点共线时，一般不用图形，直接运用向量的线性运算，切记所表示向量要有一个公共点。

（三）运用向量求线段长度

在求线段长度时，可把线段用向量来表示，从而把问题转化为求向量的模。求解此类问题时，通常要先选择基底，要用基向量表示所求向量，再使用|■|2=■2公式求解。在选择基底时，要注意三个基向量两两之间的夹角是确定的或是已知的或是可以求出来的。在求向量的模时可用两种方法：一是不建立坐标系，直接用向量计算；二是建立坐标系，用距离公式求线段的长度。

（四）运用空间向量求异面直线的夹角

求异面直线所夹的角度，可通过计算两个直线的方向向量的夹角来求，在进行计算时可用基向量表示，也可运用坐标运算方式进行。在求异面直线所成角时，要注意异面直线所成角和向量之间夹角是不完全相同的：假如两个向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成角就是两个向量夹角；假如两个向量夹角为钝角时，则异同直线所成角为两个向量夹角的补角。

三、空间向量及其线性运算应用

（一）空间向量的线性运算

例1.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，假设■=■，■=■，■=■，用向量■、■、■来表示向量■、■。

■

例1图

解题：在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴■=■+■=■+■=■+■。又∵四边形ACC′A′是平行四边形，∴■=■+■=■+■+■=■+■+■。

总结：利用已知向量来表示其他向量时，要利用向量的加减法的三角形法则、或平行四边形法则，以及向量加法的结合律、交换律，并使用数形结合的思路来解题。

（二）共线向量定理的运用

例2.假设向量■、■在平面上不共线，已知■=2■+k■，■=■+3■，■=2■-■，如果A、B、D这三点共线，求k的值是多少？

解题：根据题目可知：■=■-■=（2■-■）-（■+3■）=■-4■，∵A、B、D三点共线，由共线向量定理可得：■=-■，∴k=-8。

（三）用空间向量的数量积求线段的长度

例3.已知DA⊥平面ABC，∠ABC=120°，DA=AB=BC=6，求线段DC的长度。

解题：∵■=■+■+■，∴■2=■2+■2+■2+2■·■=36+36+36+2×36cos60°=144。∴|DC|=12。

■

（四）用空间向量的数量积求异面直线所成的角

例4.已知在空间四面体P-BAC中PA=8、AB=6、AC=4、BC=5、∠PAC=45°、∠PAB=60°。

求异面直线PA和BC所夹角的余弦值。

解题：∵■=■-■，∴■·■=■·■-■·■=|■|·

|■|·cos<|■|，|■|>-|■|·|■|·cos<|■|，|■|>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16■。

∴cos<|■|，|■|>=■=■=■。 ∴PA和BC夹角余弦值是■。

總之，空间向量及线性运算，需要理解概念，掌握运算公式的运用要求，才能正确解决问题。

参考文献：

[1]龚华梅.“空间向量与立体几何”学习中典型错误及归因研究[D].西南大学，2011.

[2]王东云.平面向量的单元教学设计[D].天水师范学院，2015.