利用“隐性”轨迹解决相关问题

2017-08-17 02:30李书芳
文理导航 2017年23期
关键词:解题思路隐性轨迹

李书芳

【摘 要】高考对于轨迹的考察有两类:一类是“显性”轨迹问题,一类是“隐性轨迹”问题,而对于“隐性轨迹”问题学生不容易看透,这种轨迹问题涉及数学各个领域,借助于轨迹及轨迹方程可以大大简化解题过程,提高解题速度,达到事半功倍的效果。

【关键词】隐性;轨迹;解题思路;动态

利用已知条件求轨迹方程是解析几何主要研究的问题之一,而再利用轨迹方程解决相关的最值、范围问题也是高考的热点问题,特别是一些“隐性”轨迹问题,这类题目具有一定的隐蔽性,表面上看上去与求轨迹方程毫无关系,如果学生在解决相关范围、最值问题的时候偏离了方向,会给解题带来了很大的难度,从而陷入困境,无法突破。

从这几年的江苏数学高考试题来看,对轨迹方程的考察一直在延续,这充分利用了“动态”分析的思想,也体现了解析几何的特点,所以在高考复习中我们教师要重视这一类题型,弄清这类题型的特点和解题思路,提升学生处理这一类问题的能力。下面列举几例与隐性轨迹相关的一些问题:

1.与三角中有关的“隐性”轨迹问题

例1:(2008年江苏高考题)若AB=2,AC= BC,则S 的最大值为_____。

解:因为AB=2(定长),可以以AB所在的直线为轴,其中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由AC= BC可得

化简得(x-3) +y =8,即C在以(3,0)为圆心,2 为半径的圆上运动。又S = ·AB·|y |=|y |≤2 。

评注:本题可以通过三角形的面积公式及余弦定理解决,但运算比较繁琐,通过建立坐标系把几何问题代数化,通过代数的方法研究点C的特点(直接求出动点C的轨迹方程),从而利用动点C到AB的距离的最大值来求出面积的最大值,不但思路变得清晰,而且运算变得更加简洁。

例2:在△ABC中,已知AB=2,AC -BC =6则tanC的最大值为_____。

解:建立如图所示的直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(x,y)则[(x+1) +y ]-[(x-1) +y ]=6,化简得x= ,过点C作x轴垂线交x于点H,设CH=t(t>0),tanC=tan(∠ACH-∠BCH),因為tan∠ACH= ,tan∠BCH= 所以tanC= ≤ = ,“=”当且仅当t= 时取得,所以tanC的最大值为 。

评注:本题利用建立坐标系,把条件合理转化为求点C的轨迹问题,再结合基本不等式求出最大值。对于本题学生如果方法选择不好,那么运算量以及思路会有差异,比如学生会先求cosC= = ,那么下面解决就比较麻烦,我们可以利用基本不等式中的一个齐次的做法进行转化,cosC= = = ( + )≥ ,进而求出tanC的最大值,问题也能得到解决,不过思维量较大,由此可见巧妙地利用轨迹方程可以简化运算过程。

例3:在△ABC中,若a +b +2c =8,则S 面积的最大值为____。

解:建立如图所示的直角坐标系,设B(c,0),C(x,y),由题意,得(x-c) +y +x +y +2c =8,化简得(x- ) +y = ,则S = ×AB|y |,S = ×AB ×y ≤ c × = [-5(c - ) + ≤ ,所以当c = 时,S 面积的最大值为 。

评注:本题可以采用余弦定理cosC= = ,消去c,再结合三角形面积公式,利用基本不等式转化为函数形式加以解决,但方法不容易想到,运算也比较复杂,利用求轨迹方程的方法,则使得思路及运算更加简单,不过这种思路带有一定的隐蔽性。

2.与集合有关的“隐性”轨迹问题

例4:已知集合A={(x,y)|x +y ≤4},集合B={(x,y)|-5

解:由题可得到,x =x-x ,y =y-y ,所以(x-x ) +(y-y ) ≤4,而集合B表示的是矩形区域(不包括边界),这样(x-x ) +(y-y ) ≤4所表示的点的轨迹是以(x ,y )为圆心,2为半径的圆及其内部,M={(x,y)|x=x +x ,y=y +y ,(x ,y )∈A,(x ,y )∈B}所表示的区域是4个半圆及矩形构成的图形,区域的面积为124+4π。

评注:本题通过转移代入法,得到集合M中的点的轨迹是(x ,y )为圆心,2为半径的圆及其内部,再通过集合B所表示的区域得到画出集合M所表示的区域。不仅考察了对集合描述法的理解,还考察了圆的相关性质。

3.与解析几何本身有关的“隐性”轨迹问题

例5:已知圆C:(x-2a) +(y-a-3) =4上总存在两个点到原点距离为1,则实数a的取值范围是_______。

解:到原点距离为1的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,圆O方程为x +y =1,由题意得,圆C与圆O两圆相交,则1< <3,解得-

评注:本题的切入点是对“到原点距离为1”这句话的理解,找到到原点距离为1的点的轨迹,然后结合条件圆C上存在两个点,这样便转化为两圆相交问题。

例6:已知圆C:x +y -6x+5=0,点A、B在圆上,且AB=2 ,则| A+ B|的最大值为______。

解:由题意,圆心C到直线AB的距离为1,而AB又是圆C的弦,所以直线AB是以C点为圆心,1为半径的圆的切线,因为点P为线段AB的中点,则点P的轨迹在以C点为圆心,1为半径的圆,| A+ B|=2| P|,OP∈[2,4],所以| A+ B|的最大值为8。

评注:本题先找出将 A+ B转化为2 P,找到P点的轨迹,进而求出点P与点O的距离的最大值,本题对于向量模的问题学生也容易想到平方,那么会给解题带来很大的难度,甚至无法解题。

例7:已知圆C:x +(y-1) =5A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M,若OA=OM,则直线AB的斜率为____。

解法一:因为OA=OM,所以点M在x轴上方,又∠AMC=∠AOC=90 ,所以A,O,C,M四点共圆,圆方程为x(x+2)+y(y-1)=0,而直线AB可以看成是圆O与圆x(x+2)+y(y-1)=0的公共直线,则直线AB为两圆公共弦所在直线,两圆相减得2x-y+4=0,则直线AB的斜率为2。

解法二:因为A,O,C,M四点共圆,所以sin∠BAO= ,也可以通过这个方法解决。

评注:本题学生的解法会偏注于代数方法,设出直线AB的方程y=k(x+2),得到直线CM的方程y=- x+1两直线联立得M点坐标,再通过0M=2求出,这样运算量要大些,那么通过几何法发现点B虽然是动点,但直线AB可以看出公共弦,以两圆公共弦作为背景加以解题,大大地减少了运算。

4.与立体几何有关的“隐性”轨迹问题

例10:已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为3,点P在正方体的内部,且PA=3,当点P运动时形成的区域把正方体截成的两部分体积之比为____________。

解:点A为定点,且PA=3,所以点P的轨迹是以点A为球心,3为半径的球(在正方体内部的部分),由于交于A点处的三面角的各个面都是直角,所以在正方体内部的那部分是整个球球的 ,则体积为V = × ×3 = ,剩余部分体积V =27- ,所以体积比为 。

例11:两根直立的旗杆相距14米,高分別是6米和8米,地面上的点P到两根旗杆顶的仰角相等,则点P在地面上围成的区域的面积为_________。

解:设A,B两旗杆的高分别为h ,h ,则h =6,h =8,以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(-7,0),B(7,0),设P(X,Y)到两根旗杆的仰角为α,β,

所以 ,∴ = ,即 = ,则 = ,化简得(x+25) +y =576,所以点P在地面上形成的轨迹是圆,围成的区域面积为576π。

评注:空间图形的某些轨迹问题,通常会把空间图形的中的部分元素转化到平面中,利用平面求轨迹的方法加以解决,这类轨迹问题通常会是直线、圆以及圆锥曲线。

5.与函数有关的“隐性”轨迹问题

例8:函数f(x)= (0≤x≤2π)的值域是_______。

解:由于f(x)= ,设P(1-cosx,1-sinx),点P的轨迹方程(x-1) +(y-1) =1,根据三角函数的定义,f(x)=-sin∠POX,当点P变化时,∠POX的范围为[0, ],所以f(x)的值域为[-1,0]。

例9:函数f(x)= (0≤x≤2π)的值域为_________。

解:令y=f (x= = 设P(-4cosx,cos x),则y= 表示的几何意义是两点P(-4cosx,cos x)与A(5,1)连线的斜率,而点P的轨迹为y= (0≤y≤1)的一段,当直线AP与抛物线相切时,y取最大值,当AP平行x轴时,y取最小值,所以0≤y≤ ,即- ≤f(x)≤ 。

评注:以上两例分别采用构造三角函数的定义和斜率几何意义,找到点的运动轨迹,利用点的轨迹方程,从而解决比较复杂的值域问题。

现行的《普通高中数学课程标准(实验)》对轨迹问题没有过高的要求,但在近几年的高考中不少题目看似与轨迹无关,题目中也没有明显地指向求轨迹或轨迹方程,可谓是“明修栈道,暗度陈仓”。这类“隐性”轨迹问题渗透在数学的很多领域,与数学知识密切相关,学生在处理这类问题时,往往会偏离解题方向,导致运算量和思维量偏大,究其主要原因是学生在处理这一类问题时,向轨迹转化的意识不强,没有动态分析的思想指引,思考问题的视野不够开阔,教师在平时教学中要有意无意地涉及到这类问题,充分挖掘“隐性”轨迹及轨迹方程,这样会大大简化解题过程,提高解题速度,达到事半功倍的效果。虽然对于轨迹这一类问题不能深挖,但我们必须要重视轨迹问题的基本方法、基本题型,让学生在处理这类题型时能有一定的转化意识,形成基本的轨迹思想。

【参考文献】

[1]吴新建.解析几何复习应重视轨迹思想的渗透[J].中学数学月刊,2015(3):39-41

猜你喜欢
解题思路隐性轨迹
让“隐性课程”会说话
浅谈求轨迹方程中的增解与漏解
无从知晓
捕捉物体运动轨迹
高中生物学中的隐性定理
初中数学解题教学的创新方法初探
高中数学解题思路探讨
论高中物理电路知识的学习方法及解题思路
利用“隐性”圆,巧解一类题
米歇尔.奥巴马与第一夫人的隐性影响