实际年利率计算方法误差分析

阮孝政，吴明官，戴张磊

(1.正业勘测设计集团有限公司，哈尔滨 150090；2.黑龙江省水利水电勘测设计研究院，哈尔滨 150080)

科技成果

实际年利率计算方法误差分析

阮孝政1，吴明官2，戴张磊1

(1.正业勘测设计集团有限公司，哈尔滨 150090；2.黑龙江省水利水电勘测设计研究院，哈尔滨 150080)

在日常生活和工作存款或贷款时，经常遇到银行系统公布的利率(名义利率)和实际利率的换算等实际问题，而且往往出现多种计算结果，无论是弹性系数、名义年利率、物价上涨指数、实际年利率、等额本金还贷法和等额本息还贷法等，具体的计算公式中，都与增长率以及涉及到名义增长率、物价增长率和实际增长率的时候，均可以采用本次提出的通用公式。在国民经济各领域中凡是涉及到物价增长率、实际增长率和弹性系数的时候，均可以采用本次推导的通用公式。

弹性系数；名义年利率；物价上涨指数；实际年利率；计算方法；误差分析

1 问题的提出

在日常生活和工作存款或贷款时，经常遇到银行系统公布的利率(名义利率)和实际利率的换算等实际问题，而且往往出现多种计算结果，因此，产生诸多疑问。

为了解疑下面特介绍增长率、弹性系数、名义利率、物价指数、实际利率及相互关系、误差分析、等额还贷等内容。

2 增长率

在国民经济各领域中非常普遍地应用增长率的基本概念和增长率基本公式，如：银行常用的年利率、国内生产总值(GDP)增长率、工业产值增长率、工业用水量增长率、弹性系数等等。

根据增长率基本概念，把年增长率写成如下的公式：

i=dX/X1=(X2-X1)/X1=X2/X1-1

(1)

式中：X1、X2为分别为相邻两年的技术经济指标，即X1表示前一年的采用指标、X2表示本年度的采用指标。

3 弹性系数

弹性一词来源于材料力学中的弹性变形的概念，弹性系数指材料长度变形的百分比同所施加力变化的百分比的比率。后来弹性的概念被推广应用于社会经济领域，弹性系数被用来表示两个因素各自相对增长率之间的比率。在某一时期内能源消耗的增长率同工农业总产值的增长率的比率，就称为在该时期内能源消耗相对于工农业总产值的弹性系数；再如：工业用水量平均年增长率与工业产值平均年增长率的比值，表示为工业用水弹性系数。

总之，弹性系数(Elasticcoefficient)是一定时期内相互联系的两个经济指标增长速度的比率，它是衡量一个经济变量的增长幅度对另一个经济变量增长幅度的依存关系。

因为，Xt=X0(1+i)t，t=1、2、3……n-1、n。

所以：

i=(Xt/X0)(1/t)-1

(2)

因此，工业用水量平均年增长率i和工业产值平均年增长率k可以写成如下的公式：

i=(Wm/W0)(1/m)-1

(3)

k=(Gm/G0)(1/m)-1

(4)

根据上述的基本概念，工业用水弹性系数可以写成如下的公式：

a=i/k

(5)

把式(3)和式(4)代入到式(5)后得到弹性系数计算公式(6)。

a=((Wm/W0)(1/m)-1)/((Gm/G0)(1/m)-1)

(6)

式中：a为工业用水弹性系数；i为工业用水量平均年增长率；k为工业产值平均年增长率；W0、G0分别为基准年的工业用水量和工业产值；Wm、Gm分别为某水平年的工业用水量和工业产值；m为表示两个水平年之间的时间差(以年为单位)。

4 实际年利率计算公式

根据年增长率计算公式(1)，可以写成如下的名义年利率、物价年增长率和实际年利率公式：

i=dX/X1=(X2-X1)/X1=X2/X1-1

(7)

f=dY/Y1=(Y2-Y1)/Y1=Y2/Y1-1

(8)

j=dZ/Z1=(Z2-Z1)/Z1=Z2/Z1-1

(9)

式中：i、f、j分别为名义年利率(也就是银行公布的年利率)、物价年增长率(又称物价上涨指数或通货膨胀率)和实际年利率；X1、X2分别表示第1年本金、第2年考虑利息后的本利和；Y1、Y2分别表示第1年物价、第2年物价；Z1、Z2分别表示第1年本金、第2年考虑物价上涨因素和利息后的本利和(也就是受物价上涨影响的本利和)。

4.1 计算公式1

若Z2=X2/Y2，Z1=X1/Y1，

则Z2/Z1=(X2/Y2)/(X1/Y1)=(X2/Y2)(Y1/X1)，=(X2/X1)/(Y2/Y1)=(i+1)/(f+1)=j+1，因此：

j=(i+1)/(f+1)-1

(10)

公式(10)就是实际年利率j的常用计算公式。

4.2 计算公式2

名义年利率i是银行挂牌年利率，而实际年利率j则是名义年利率要扣除通货膨胀率f等其它因素后，能够表示实际购买能力的变化利率。因此，实际年利率j也可以采用如下的计算公式：

j=i-f

(11)

4.3 银行计息周期的影响

k=(1+r/t)t-1

(12)

式中：k表示常用的计息周期为1年时的年利率，一般称计算年利率，又称：实际年利率或有效年利率；r表示计息周期为(1/t)年时的年利率，又称：名义年利率；t为1年中复利计息次数(或计息周期数)。

e=2.718281828 … …，于是计算年利率的极限值为

J=er-1

(13)

因此，计算年利率的极限值J，又称连续年利率或称极限年利率。

5 误差分析

为了更进一步了解实际年利率计算公式(1)和公式(2)的差别，下面进行如下的误差分析。

5.1 实际年利率

j1=(i+1)/(f+1)-1=((i+1)-(f+1))/(f+1)=(i-f)/(f+1)，j2=i-f，σ=(j2-j1)/j1=j2/j1-1=(i-f)/((i-f)/(f+1))-1，=(i-f)(f+1)/(i-f)-1=f(相对误差)。

因此，当f=0时，σ=0，则j1=j2=i； 当f>0时，σ>0，则j2/j1-1>0，j2/j1>1,j2>j1；当f<0时，σ<0，则j2/j1-1<0，j2/j1<1,j2

从此可以看出，若物价上涨指数f较小(-5%≤f≤5%)时，则公式(1)和公式(2)计算的实际年利率误差较小；否则误差较大。

5.2 极限年利率

因为，极限年利率J=er-1，名义年利率r=(j+1)(f+1)-1或r=j+f，

所以，J1=er-1=EXP((j+1)(f+1)-1)-1或J2=er-1=EXP(j+f)-1。

C=(J1+1)/(J2+1)=EXP((j+1)(f+1)-1-(j+f))=EXP(jf)。

σ=(J1-J2)/J2=J1/J2-1=(C-1)/(1-EXP(-j-f))(相对误差)。

因此，当f=0时，C=EXP(jf)=1，则(J1+1)/(J2+1)=1，J1=J2=r，σ=0。当f≠0时，C=EXP(jf)>0，而且若jf<0，则(J1+1)/(J2+1)<1，J11，J1>J2，J1/J2>1，J1/J2-1>0，σ>0。

从此可以看出，实际年利率j≤5%的情况下，若物价上涨指数f在±20%范围内(-20%≤f≤20%)变化时，则公式(1)和公式(2)计算的极限年利率误差较小；否则误差较大。

5.3 分析与讨论

5.3.1 通货膨胀率选择

如何计算实际利率是一个长期有争议的问题，特别是在名义利率和通货膨胀率比较时间段的选择上，分歧较大。无论如何，笔者认为不能只以单个月份的通货膨胀率(即CPI)来衡量实际利率，一般应以前6个月或12个月均值来衡量实际利率较切合实际情况。如果一年期存款利率扣除利息税等后高于CPI，则可以认为实际利率为正值，否则为负值。

CPI是消费者物价指数，是英文缩写，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。一般说来，当CPI>3%的增幅时为通货膨胀，当CPI>5%时为严重的通货膨胀[1]。

5.3.2 中长期年利率分析

根据历年贷款基准利率汇总成果，统计分析结果，中长期贷款基准利率与短期贷款基准利率有一定的关系，因此，归纳了如下的换算关系式。

i=((1+r)n-1)/n

(14)

式中：i为中长期贷款年利率；r为短期贷款年利率；n为贷款期，a。

从中长期贷款年利率计算成果中可以看出，采用本公式计算的年利率，大多数相对误差的绝对值均<5%以下，仅供参考。

6 实际年利率与弹性系数的关系

上述已介绍的增长率与弹性系数的关系中可以看出，实际年利率与弹性系数之间也存在密切的函数关系，具体的计算公式如下：

6.1 关系式1

根据Xt=X0(1+i)t，t=1、2、3、4、5………n-1、n，可以写成如下的名义年利率i、物价上涨指数f、实际年利率j的计算公式 。

Xt/X0=(1+i)t,

Yt/Y0=(1+f)t,

Zt/Z0=(1+j)t,

若Zt=Xt/Yt，Z0=X0/Y0，

则Zt/Z0=(Xt/Yt)/(X0/Y0)

=(Xt/Yt)(Y0/X0)，

=(Xt/X0)/(Yt/Y0)

=(i+1)t/(f+1)t=(j+1)t，

因此，j=(i+1)/(f+1)-1,i=(j+1)(f+1)-1,

另外，根据弹性系数a的定义可以写成如下的计算公式：

a=i/f=((j+1)(f+1)-1)/f，这就是实际年利率与弹性系数的关系式1

6.2 关系式2

名义年利率i、物价上涨指数f、实际年利率j之间，若采用如下的计算公式j=i-f，则实际年利率j与弹性系数a的关系式2如下：

a=i/f=(j+f)/f=j/f+1

6.3 弹性系数误差分析

a1=i/f=((j+1)(f+1)-1)/f，a2=i/f=(j+f)/f，σ=(a1-a2)/a2=a1/a2-1=(((j+1)(f+1)-1)/f)/((j+f)/f)-1，=((j+1)(f+1)-1)/(j+f)-1=jf/(j+f)(相对误差)

当j取定值的情况下，根据洛必达法则对σ取极限后求得如下的极限值：

当f→±∞时，Limσ=Lim(jf)/Lim(j+f),=Lim(jf)′/Lim(j+f)′=j。

当f=0时，σ=0，则a1/a2-1=0，a1/a2=1，a1=a2=i=j。当f≠0时，σ=jf/(j+f)，若jf>0，σ>0，则a1/a2-1>0，a1/a2>1，a1>a2，否则a1

从此可以看出，若实际年利率j较小(-5%≤j≤5%)时，则公式(1)和公式(2)计算的弹性系数误差较小；否则误差较大。

7 等额还贷方法

还房贷对于每个普通家庭来说并不陌生，因为只要不是有太多的闲钱，都会选择在买房时向银行申请贷款。一般有9种房贷还款方式，如：分阶段性还款法(适合年轻人)，等额本金还款法(适合收入高人群)，等额本息还款法(适合收入稳定人群)，按季按月还息一次性还本付息法(适合从事经营活动人群)，转按揭，按月调息，双周供省利息(适用于工作和收入稳定的人群)，提前还贷缩短期限，公积金转账还贷等。那么，最省钱的还款方式成为还贷最被关注的问题。

当前，无论是公积金贷款还是商业银行贷款，常用的还款方式只有两种：即等额本金和等额本息法。这两种还款方式的计算方法不同，贷款期限越长，利息差别越大。

7.1 等额本金还款法

等额本金还款法，它是指将本金分摊到每个月，同时付清上一还款日至本还款日之间利息的还款方式，因此，又可以称为单利付息法。为了便于计算和分析，下面简单介绍单利法等额本金还贷利息总额计算公式。

X=F×i(m+1)/2，m=t×n，i=r/t

(15)

式中：X为还贷利息总额；F为贷款额度；r为年利率；i为计息周期内的利率(如：年、月、日利率)；m为计息总次数；n为还贷期限，a；t为每年的计息次数(如：t=1，一年一次；t=2，半年一次；t=12，每月一次；t=36，每旬一次；t=365，每日一次等)。

以贷款120万元，还贷期限30a为例。假设是某市的公积金贷款，按照当前五年期以上贷款基准年利率3.25%计算，每个月本金还款额为120万元÷360个月=3333元。第1个月的利息为：120万元×3.25%÷12=3250元，故第1个月还款额为3333+3250=6583元；第2个月的利息为：(120万元-3333元)×3.25%÷12=3241元，第2个月还款额为3333+3241=6574元。以此类推，此后每个月的还款额逐渐减少。等额本金还贷利息总额X=F×i(m+1)/2=120万元×3.25%/12×(12×30+1)/2=58.6625万元。

7.2 等额本息还款法

再来看什么是等额本息还款法，它比等额本金的算法更加复杂，最终结果保证每个月还款的“本+息”之和始终保持不变。

等额本息还款法：

A=F(r/t) (1+r/t)nt/((1+r/t)nt-1)

(16)

式中：A为每次等额本息还款额(常数)，其它符号同上。

仍以公积金贷款120万元，还贷期限30a，年利率3.25%，按等额本息还款法计算的每月还款额固定为5222.48元。

在等额本金情况下，如果贷款利率始终不变，贷款人30a需要支付的总利息为586625元；而在等额本息情况下，贷款人30a需要支付的总利息为680093元，足足比等额本金多付了93468元。

即使是公积金贷款，如果是利率更高的商业贷款，30a的利息可以差出几十万元也有可能。正因如此，如果贷款人不特意提出，银行一般默认的是等额本息还款法，理由显而易见——可以多收利息。

因此，借款人在贷款之前，根据自己的实际情况，应该详细分析研究各种还贷方式是非常必要的，否则在不知情的情况下，可能多支付不少的血汗钱。

7.3 几点建议

7.3.1 还款方式的选择

等额本息还款法虽然总利息多，但是优点在于每个月还款额度较为固定，额度不多不少，便于记忆，也便于缓解贷款者的还贷压力。

等额本金还款方式的优点在于整体支付的利息相对较少，但劣势在于前期还款压力较大。

由此可见，如果贷款人工作和收入稳定，还款能力较强，选择等额本金方式较好。如果贷款人还款能力稍弱，等额本金还款方式无疑陡增生活压力。对于部分收入不高的购房者来说，最好的方式就是先采用等额本息的还款方式，过了一段时间再变更为等额本金的还款方式。这样既能度过等额本金一开始的高额还款，还能省下一部分利息[2]。

但是，至于什么时候变更比较合适、银行是否允许变更还款方式，都要根据贷款人经济情况以及与银行签订的具体合同而定。

7.3.2 提前还款

随着二胎政策的放开，之前不少夫妻也准备换比较大的房子，而随着房产的再出售，很多购房人会提前结清房贷。如果想提前还房贷，会遇到的情况如下：

这时选择等额本息还款的人就会比较吃亏，因为他的还款结构中，先还的是利息，余下还有大量的本金没还。等额本金方式下，本金已经还掉了大部分，相应要还的贷款已经少了很多。所以，如果条件允许的话，等额本金是一个值得考虑的选择，虽然它可能造成一开始还贷压力较高。

一般来说，以下两类人群比较适合提前还款：

1)处于还款初期的借款人，因为利息支出通常集中在还款初期，借款人这时候提前还贷可节省利息。

2)借款人手头资金能够支付房贷剩余尾款，却不能满足其他方面资金需求时，选择提前还款是比较划算的。借款人可以将手中资金用于提前还贷结清贷款，然后用此套房产向银行申请抵押消费贷款，将抵押出来的钱款用于其他方面的资金需求来解决自身融资需求。

7.3.3 提前还贷需要满足的条件

提前还贷需要满足以下3个条件：

1)借款人想提前还贷，一般是在还款1a以后。

2)借款人如果要提前还贷，一般要在电话或书面申请后，携带自己的身份证、借款合同到银行办理审批手续。

3)如果结清贷款的话，一定不要忘记去解抵押这个环节。

8 结 语

无论是弹性系数、名义年利率、物价上涨指数、实际年利率、等额本金还贷法和等额本息还贷法等，具体的计算公式中，都与增长率有关。

8.1 实际增长率

在国民经济各领域中凡是涉及到名义增长率、物价增长率和实际增长率的时候，均可以采用如下的通用公式：

①(i+1)/(f+1)-1
②j=i-f

(17)

式中：j为所有技术经济指标的实际增长率;i为所有技术经济指标的名义增长率;f为表示所有技术经济指标计算过程中涉及到的物价上涨指数或物价增长率。

从公式①和公式②误差分析成果中可以看出，σ=j2/j1-1=f。若物价上涨指数f较小(-5%≤f≤5%)时，公式①和公式②计算成果误差较小，则两种方法均可以采用，否则建议只采用公式(1)为好。

8.2 弹性系数

在国民经济各领域中凡是涉及到物价增长率、实际增长率和弹性系数的时候，均可以采用如下的通用公式：

①a=((j+1)(f+1)-1)/f
②a=(j+f)/f=j/f+1

(18)

式中：a为弹性系数，其他符号同上。

从公式①和公式②误差分析成果中可以看出，σ=a1/a2-1=jf/(j+f)。当f→±∞时，Limσ=j。因此，若实际年利率j较小(-5%≤j≤5%)时，公式①和公式②计算成果误差较小，则两种方法均可以采用，否则建议只采用公式①为好。

[1]丁昌春,吴明官,姬忠光.等额还贷计算方法研讨[J].黑龙江水利科技,2012,40(04):34-37.

[2]吴明官.十二五水工程科技成果汇编[R].哈尔滨：黑龙江省水利水电勘测设计研究院,2015.

Analysis of Calculation Method Error on Actual Annual Rate

RUAN Xiao-zheng1;WU Ming-guan2and DAI Zhang-lei1

(1.Zhengye Investigation Design Group Limited Company, Harbin 150090, China; 2 Heilongjiang Provincial Water Conservancy & Hydroelectric Power Investigation, Design and Research Institute, Harbin 150080, China)

In normal lives and works, as deposit or loan, it is often to meet the actual conversion problems about interest rate (nominal interest rate) published by banks and actual interest rate, and also, it is frequent to obtain various calculated results. No matter the elastic coefficient, nominal annual interest rate, index of price inflation, actual annual interest rate or the constant amortization mortgage and the constant payment mortgage, are all relative with the increase rate in the detailed calculation formula. In the national economic field, all involved with nominal increase rate, price inflation rate, actual increase rate and the price inflation rate, actual rate and elastic coefficient may adopt the common formula derived in this paper.

elastic coefficient; nominal annual rate; index of price inflation; actual annual rate;calculation method; error analysis

1007-7596(2017)06-0001-05

2017-05-18

阮孝政(1982-)，男，河南淮阳人，工程师；吴明官(1955-)，男，黑龙江尚志人，教授级高工；戴张磊(1991-)，男，江苏海安人，助理工程师。

F014.44

B