让思维可见 让学习发生课堂教学感悟系列

张玉平

[摘 要]为了让数学课堂能够体现数学的思维价值，为了让学习真正发生，教师要将静态的教材变成动态的操作，从而切实提升学生的思维层次，让学生逐步接近数学的本质。以“认识射线、直线和角”的教学片段为例，通过借助核心问题引领教学全过程，让学生的思维产生激烈的碰撞，在碰撞中生成新思想、新方法，乃至新思维。

[关键词]数学教学；数学思维；数学问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）23-0023-03

数学概念是组成数学思维的基本要素，是数学基础知识的核心，概念教学一直都是小学数学教学的难点。概念对于学生来说过于抽象，对学生的思维层次要求较高。因此，教师要通过提问，引领学生认清数学概念，促使学生生成新思维。

【片段一】

师（出示课题：射线和角）：之前已经学习了角，你们认识射线吗？谁能举一个生活中的例子来说明？

生1：舞台顶部的灯往台上照射的光线。

师：生1很快就想到灯射出去的光线，非常棒！现在我们来看一张城市夜景图。（出示教材上例1的图片）

师（出示卡片：数学问题1）：这些灯射出的光线都可以看作射线。请读一读、想一想，你能不能把这些光线画下来？

（学生操作；教师巡视并收集学生的作品）

师：图1是刘浩画的，请刘浩来说说他画的是什么。

生2：我画的是射向天空的光束。

师：刘浩把射向天空的光束画了下来，他观察得很仔细。

师：再看裘思涵的作品（如图2）。

生3：我在下面画了一条横线代表地平线，向上的线代表射向天空的射线。

师：比较刘浩和裘思涵的作品，你们有什么话要说？

生4：裘思涵用横线代表地平线，就表示射线要从一个地方射出来，而刘浩的就看不出来是从什么地方射出来的。

生5：我觉得裘思涵画的更简洁。

师：对，你们都能用数学的眼光看世界和用数学的方法表达自己的看法。

师：现在请看岳诗琪的作品（如图3）。请大家猜猜她是怎么想的。

生6：岳诗琪在下面画了一个端点。

师：答对了！现在请岳诗琪说说她是怎么想到这样画射线的。

生7：我把线出发的地方用小圆点表示，由这一点射出可以射得很远。

师：你为什么只画一段？

生7：因为它是可以无限延伸的，所以另一端就没有端点了。

师：这就是数学上所说的射线。射线有什么特点？

生7：都可以用一个端点和一条无限延长的线表示，可以向任何方向射出。

师：我们真的要感谢岳诗琪，不，是岳老师。她把射线画得这么准，又解释得这么清楚。当然，也要感谢刘浩和裘思涵，他们让我们对射线认识得更深刻。

【自悟：在欧几里得的《几何原本》或希尔伯特的《几何基础》中，“点”“线”这些概念是没有定义的。在《几何基础》中，“点”“直线”的概念是通过公理体系并由概念之间的相互关系来感性定义的。我们也知道，公理体系是一些约定为真的命题的集合，这种对命题“真”的约定来自于学生对命题与现实世界的相关性的感悟。因此，要让学生感悟这一命题，必须让学生感悟命题与现实世界的联系，感悟“点”和“线”的定义及两者之间的关系。“点”是数学抽象的产物，既可以表示大的物体，也可以表示小的物体，如篮球、汽车、地球等都可以用点来表示。因此，数学研究中所有的点都是一样的，“点没有部分（大小）”；点的运动可以形成各种各样的线，如将人、篮球、汽车、地球等看成点，它们运动的轨迹不论宽窄，都可以看作线。因此，“线只有长度，没有宽度”。点没有维度，也不占据任何空间，如果二维中存在一个平面，一维中存在一条直线，那么点就是一个零维的物体。所以，小学教材都是以描述性的语言来定义此类概念的，射线也是如此。

苏教版教材通过给出一个很好的生活实例来引出射线——射向天空的光线。这比教师用激光笔或手电筒在教室里演示更为直观，有利于学生的认识与想象。我在听课当中曾遇到这样的尴尬场景：教师打开手电筒射向教室外，学生认为光线被树挡住了，教师提醒学生不要看树，学生又认为光线被前面的楼挡住了，总也不相信这光线可以看成是射线。而本节课出示的城市夜景图中，光线都射向天空，符合射线的三个要素：发光源—— 一个端点；射向天空——无限长；光线——直的，方向是多向的。这时，教师出示第一个问题（本节课我用了三张卡片，也就是三个数学问题，用红色粉笔特别标注出来，目的就是让学生学会用数学的眼光看待世界万物，学会用数学的语言来描述世界万物）“这些灯射出的光线都可以看作射线。请读一读、想一想，你能不能把这些光线画下来？”学生根据自己的理解去表示，这个过程也是学生思维展示的过程，更是学生自主探索及学习的过程。对于学生作品的选择，教师是带有目的性的，刘浩的作品就是停留在直观的层面，在他的眼中，光线是由多条线组成的，所有光束就有了粗细之分，但这不是数学概念上的射线，所以教师就把刘浩的作品安排在第一个展示。裘思涵画出了地平线——知道射线要有起点，射向天空的光线不是用光束来表示，而是只用一条线——知道数学的表达。如何让学生把地平线归纳为“點”？岳诗琪就做到了。对此，教师没有直接肯定，而是让学生思考：岳诗琪为什么这么画？如何才是更好的表达？有了之前两位学生作品的对比，学生的思维会转到射线的本质这个方向，学生对射线的理解也一步步走向深刻。】

【片段二】

师：黑板上有两个点A和B。A是在直尺的10cm处，B是在直尺的40cm处。现在老师的粉笔从A点平移到B点，黑板上会出现什么？

生1：一条线段。

师：这条线段有多长？

生2：30厘米。

师：我们给这条线段起一个名，叫作线段AB，当然也能叫作线段BA，也就是说线段AB长30厘米。你能不能把这条线段变成一条射线？

生3：可以，把一个端点去掉就行。

师：不管是把一个端点去掉，还是把其中的一个端点无限延长，都表示射线有一个端点，而另一端是无限长的（如图5）。

师：这就是一条射线，我们把它叫作射线AB。还有第二种读法吗？

生4没有，因为如果是射线BA的话，A是一个端点，过不去。

生5：如果是射线BA，说明端点应该是B。

师：图6中的线段AB变成了什么？为什么？

生6：变成了直线，因为两边都没有端点，两边都可以无限延长。

师：如何读这条直线？

生6：直线AB或直线BA。

师：给大家30秒时间想一想线段、射线、直线有什么不同的地方，然后用1分钟时间与同桌交流。

师：可以从哪些方面去比较呢？

生7：从它们的出发点和结束点来考虑。

师：对，一个是从端点上比，还有一个是从长度上比。还有吗？

生8：射线是从一边射出去的，而直线的两边是无限延长的。

师：生8是从方向上进行对比。还有吗？（教师用手指向黑板上的板书）

生9：从名字上，比如线段AB。

师：也就是从读法上进行对比。今天的家庭作业是画一张表，要求在表中填写从长度、端点、方向和读法四个方面去比较线段、射线和直线的不同。现在我们来看一个生活中的场景（如图7）。

师：小明从家到学校有3条路可以走。一般情况下，你认为他会选择第几条路？为什么？

生10：选择第②条，因为第②条最近。

师：从数学的角度思考问题时，我们可以把具体情境去掉。小明家用A点表示，学校用B点表示，得到图8。

师（出示卡片：数学问题2）：连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。测量A、B两点间的距离应该选哪一条？

生11：应该是第②条。

师：线段AB的长度就是A、B两点间的距离。测量出线段AB长为30cm，现在可以怎么说？

生12：A、B两点间的距离是30厘米。

【自悟：通過“点动成线”帮助学生正确感悟“点”“线”之间的关系，尽管这里探究的是初中的知识，但通过教师的语言描述，加上实际的操作，学生是能够理解的。

比较几个版本的教材，只有北师大版的教材介绍了线的表示方法，不过对于直线，则只介绍了一条直线可以用两个大写字母表示，如“直线AB或BA”，没有介绍直线也可以用一个小写字母表示，例如直线l、直线a。其实，学生掌握了这些知识，更利于用线的知识进行阅读与交流，对后续的学习有促进作用。因此，“如何表示线”虽然不是课程标准中明确需要学生掌握的一个内容，教师在课堂上还是进行了详尽的讲解，采用了教师教和学生自主悟两种方式显然是有利于学生认识和学习的。

对于两点间的距离的认识，教师是从生活原型出发，让学生根据自己的的生活经验得到“从家到学校，走中间的直线是最近的”，便于学生感悟“过两点只能画一条直线”，然后再抽象到数学的点线图，从而得到从A点到B点有且只有一条直线。其中，线段长度就是“两点间的距离”，从“线段AB长30cm”到“A、B两点间的距离是30cm”，并不仅仅是读法上的不同，更是思维上的、认识上的提升，对于这一点，要让学生充分体验和感受。】

【片段三】

师：请大家认真听老师的要求，想想老师描绘的是一幅什么样的图，然后把它画下来。

师：先画一条射线OA，再画一条射线OB。

（展示学生的作品，如图9）

师：你是怎样想的？

生1：因为老师要求画两条射线。

师：画两条射线是没错，但你是否听清这两条射线都有一个共同的字母O？

生1（恍然大悟）：我明白了！

（再次展示学生的作品，如图10-1，10-2，10-3）

师：这是我们已经学过的角。

师（出示卡片：数学问题3）从一点引出的两条射线可以组成角。你能说出角的顶点和两条边吗？

生2：角的顶点是O，两条边就是射线OA和OB。

师：角有特定的表示符号和读法，如图10-1中的角可以记作∠1，读作“角一”。谁能表示图10-2和10-3中的角？

师：不用考虑角的大小和朝向，因为表示角的符号是不变的。

【自悟：教材中的例2是从“以一点为端点，画两条射线”来引出角，但这个要求对于学生来说低了一点，只是操作层面的，所以教师将其改成“听—想—画”，让学生有一个思考的过程，也就是对信息的加工过程。一开始，大多数学生是画两条单独的射线，并没有注意到信息中的重复字母“O”。当然，从严格意义上来说，画两条单独的射线也没错，但这里是想通过这样的活动更好地促进学生思考。因此，当教师提醒学生字母“O”时，学生都会恍然大悟。

对于角的符号“∠”，教师的板书一定要规范。苏教版教材给出的“∠”的角度大概是45°，而人教版教材给出的“∠”的角度大概是50°。所以教师板书时要尽量和教材上的一致，不能太大也不能太小。

从学生家庭作业的反馈情况来看，全班47人，只有1人画了空白的表格；40人都能从方向、长度和端点三个方面比较线段、射线、直线的不同，6人还从读法上进行比较。】

总之，在教学中，核心问题的提出是建构有效教学的根本，有了核心问题的引领，学生的思维才能产生碰撞，碰撞出矛盾，碰撞出智慧的火花，学生也就在碰撞中从解决问题一步步生成新思想、新方法，乃至新思维。

（责编 金 铃）