数乘向量及其几何意义课堂教学的几点思考

邓杰

摘 要：2017年4月14日我校举办了2017年广西高中数学课堂教学研讨活动，活动以“数乘向量及其几何意义”为其中一个教学研讨内容，崇左市的几位老师关于该研讨内容为我们展示了5节精彩的课堂教学，课堂中老师们不仅很好的完成了既定的教学目标，还让学生们能很好的融进课堂，感受数学知识的产生与发展。

关键词：数乘向量 几何意义 课堂教学

近日反思了这几节课的精彩内容，以及课改专家们对这几节课的评价，我对“数乘向量及其几何意义”这节课的课堂教学形成了几点思考，具体如下：

一、课题引入

我市的高一下学期采用的数学教材是北师大版必修四，教材中的【实例分析】介绍了两个实例：① 闪电的声速和光速这两个向量的关系；② 一重物由高空自由落下，在1s和2s末的速度这两个向量的关系，这两个引例用的非常新颖和到位，我们应好好加以利用，原因如下：

闪电的声速v声和光速v光两个向量的关系为：v光=8.7×105 v声，1s末物体的速度v1和2s末物体的速度v2两个向量的关系为：v2=2v1.这说明在实际生活中存在共线且大小存在倍数关系的两个向量，从而引出定义实数与向量积的运算的必要性，体现数学知识来源于生活；由于闪电的光和声音是从闪电处往各个方向传播的，我們研究的声音向量和光传播向量仅仅比较的是闪电点指向我们观察者的两个向量，这培养了学生把实际问题转化为数学问题的能力，且培养了学生的表达严谨性，体现数学高于生活。

由于以上的原因，我们引入数乘向量及其几何意义的内容时，需特别强调课本中关系研究数乘向量必要性的一句话：“以上实例分析说明在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间存在倍数关系.因此，有必要定义实数与向量积的运算”。

二、新知讲解

让学上掌握数乘向量的定义及其几何意义是这节课重点内容，教学过程中我们可以让学生利用向量的加法和减法做出3a=a+a+a和-3a=-a-a-a所表示的有向线段，通过作图、观察，感受数乘向量的定义的产生过程，引导学生根据实例紧扣模与方向两个方面总结出数乘向量的定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；由（1）可知，λ=0时，λa=0.

在总结定义时，强调定义中包括0<|λ|<1的情况.

由定义可知因为数乘向量的几何意义主要包括两个方面：（1）向量λa与向量a这两个向量表示的有向线段的方向的变换关系；（2）λa将a表示的有向线段伸长或压缩|λ|倍.数乘向量的定义与几何意义是向量共线判定定理、性质定理和平面向量基本定理的推导依据，所以需要重点分析.

三、运算律的推导与记忆

给出问题：“实数与向量的积是否满足运算律：λ（a+b）=λa+λb？”同学们进行推导，在推导的过程中同学们会对数乘向量的几何意义有一个直观且更深刻的理解，为后续的平面向量基本定理的推导打下稳固的基础.如果同学们在推导过程中没考虑到和λ<0和λ=0两种情况，需要进行补充，培养学生的思维严谨性。其他的运算律可让学生课后进行推导，并且引导学生类比实数运算律对实数与向量的运算律进行记忆。学习过程中我们还应提及线性表示的概念。

接下来让学生做课本的例题1对实数与向量的运算律进行巩固，对照答案即可。

四、向量共线的判定定理

由于a与λa是共线向量，对于a（a≠0），b，如果b =λa（即b与λa是相等向量），则a与b是共线向量.

由此，我们得到向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b =λa，则向量b与非零向量a共线。

接下来我们可以抛出一个问题：“上面的判定定理反之是否成立？（即：“若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b =λa.”是否成立？）若成立，请证明；若不成立，请说明理由.”这能很好的吸引同学们的注意力，培养同学们的逆向思维、猜想和推理的能力.

同学们如果有合理的证法应给予展讲的机会，培养学生的表达能力，展讲中若有不严谨的地方加以引导，并对学生的展讲成果给予及时的评价。

定理可以这样证明：若已知向量b与非零向量a共线，则向量b的长度一定是向量a的长度的某个倍数，假设为λ（λ>0）倍，所以有：

（1）当向量b与非零向量a同向，实数λ与非零向量a的积λa与向量b方向相同且长度相等，则有b =λa；

（2）当向量b与非零向量a反向，实数-λ与非零向量a的积-λa与向量b方向相同且长度相等，则有b =-λa；

（3）当向量b =0，实数0与非零向量a的积为0a，则有b =0a=0；

其中λ，-λ，0均为实数，所以“若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b =λa.”

共线定理包括共线的判定定理和共线的性质定理，是充要条件，应提醒同学们进行对比记忆。判定定理一般用来证明两个向量共线，也可以用来证明三点共线等问题；而性质定理是证明平面向量基本定理的基础，起到承前启后的作用，还能用来解决很多向量的问题，如向量的线性表示，知共线求参数等问题，在高中数学向量知识中具有相当重要的地位。

所以对于两个定理我们应给予一些例题对知识进行巩固，例题可以选取人教版必修四89页的例6、例7，这两个例题分别考查了这两个定理的知识，还为平面向量基本定理的学习打下了基础。若时间允许还可选取北师大版必修四82页的例3，这个例题可以作为一个结论进行延伸学习，解决一些共线问题，采用这个结论能取得意想不到的效果，该结论为：“A、B、C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得”。

以上就是数乘向量及其几何意义这节教学设计的一些思路，设计思路主要是根据教学大纲的要求，在本节课的学习中需让学生能体会数学来源于生活高于生活，学会如何把生活中的数学问题数学语言化，体会定义定理的产生过程，尝试去总结定义、定理，在作图、推理的过程中提升数形结合的能力，培养严谨的数学思维。

参考文献

[1]陈传熙. 注重过程揭示背景提升素养——谈谈“向量的数乘运算及其几何意义”的教学设计[J]. 数学通报， 2016， 55（5）：39-42.endprint