多元均值不等式的构造策略

山东省寿光现代中学 张靖涵

多元均值不等式的构造策略

山东省寿光现代中学 张靖涵

均值不等式是求解最值、证明不等式的常用工具，其中“正”、“定”、“等”是该不等式应用的三个原则，而构造定值是应用的关键，特别对于存在多个变量的不等式问题，本文对多元均值不等式的构造策略举例探究如下。

策略一：整体性原则

例1 已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为________。

思路分析：本题所求表达式x+y刚好在条件中有所体现，所以考虑将x+y视为一个整体，将等式中的项往x+y的形式进行构造，y+2x+y=xy+x+(x+y)=x（y+1）+（x+y），而x（y+1）可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于x+y的不等式，解不等式即可。

【点评】本题含有两个变量x，y，直接应用均值不等式缺少“定值”这一重要条件，而将x+y视为一个整体，在此基础上应用均值不等式，将x（y+1）转化为x+y+1，从而将方程变形为关于x+y的不等式，解不等式即可。

策略二：拆分项的策略

思路分析：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子y，yz均含y，故考虑将分母中的y2拆分，与x2，z2搭配。

【点评】本题在拆分y2时还有一个细节：因为分子xy，yz的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中xy，yz也要相同，从而在拆分y2的时候要平均地进行拆分（因为x2，z2系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。

策略三：参数分离法

例3 已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有恒成立，则实数a的取值范围为________。

【点评】本题通过参数分离即可得到积为定值的模型，而难点在于求得x+y的取值范围，而已知关系式x+y+3=xy中既有x+y又有xy，故考虑均值定理转化为x+y的不等式，通过解不等式获得x+y的取值范围。

在上述问题中，要构造均值不等式，首先要从“定值”入手，其基本策略为：观察结构，合理变形，“定值”优先，巧借整体，化多元为一元，尤其要防范“等号”不成立带来的错误。