最小二乘法的原理以及在数学建模课程教学中的作用

郑小洋+++魏正元

【摘要】在数学建模课程的教学中，人口模型、汽车刹车距离模型以及传染病模型等均涉及用最小二乘法对模型的参数作估计[1]，足见最小二乘法在数学建模课程教学中的特殊地位和作用。本文以一个简单的实例阐述最小二乘法的原理以及MATLAB的程序实现，这样可以帮助学生理解和掌握最小二乘法在其他数学模型中的参数估计。

【关键词】最小二乘法 ； 数学模型 ； 参数估计

【基金项目】重庆理工大学教研项目，高等数学实验课程教学改革及探讨，编号：2013YB33。重庆市教委科研项目，对流扩散方程的小波算法以及应用研究，编号：KJ130818。

【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）15-0002-01

在大学数学建模课程中，一般没有单独的讲解最小二乘法的原理以及MATLAB程序实现，但有些学生对这一方法并没有掌握好，从而影响到学生对数学模型中的参数估计的理解以及应用。因此，有必要在课程教学的开始，增设最小二乘法的原理及MATLAB程序实现的教学，以便学生能清楚、准确地理解和掌握课程中与最小二乘法相关的数学模型，从而可以提高学生综合应用知识解决实际问题的能力。

1.最小二乘法的原理

在解决实际情况以及科学研究中，经常会处理这样的问题：给定两个变量x，y的实验数据，如何从中找出这两个变量之间的函数关系的近似解析表达式（也称为经验公式），使得能对x与y之间的除了实验数据外的对应情况作出某种判断。在数学建模中表现为：依据对问题所作的分析，通过数学建模或者通过整理归纳实验数据，能够判定出x与y之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式，即数学模型（通常带有参数）。解决这类问题的原则通常是：使拟合函数在x处的值与实验数值y的偏差平方和最小，即取得最小值。这种在方差意义下对实验数据实现最佳拟合的方法称为“最小二乘法”。

非线性带参数的模型一般可记为：

（2）的实质是：求多元函数（自变量为参数？兹）的多元函数最小值问题。若f对参数？兹连续可微，则可利用微分法建立正规方程组，从而求解出最优的参数。具体的分析为：根据多元函数取得极值的必要条件，将Q（？兹）分别对参数？兹j求偏导，并令其为 0，则得p+1个方程

该方程组的解就是最小二乘法估计参数的最优值。为了容易理解这个方法，此处以一个简单的实例讨论f为线性、自变量为一元的情况。

2.实例分析

例 已知某种药品在生产过程中的失败率y与某种化学成分x有关，表1记载了药厂生产中y与相应的x的几次数值。

这里的任务是依据这组数据找出能反映y与x关系的一个近似公式。通过散点图，可以看到变化趋势接近一条直线，故可以假设y=ax+b来近似表达这一关系。以最小二乘法估计这个问题的最优参数a，b的具体计算为：

方程（5），（6）就是关于参数a，b的线性方程组，可以比较容易地求得最优参数。

当然，许多实际问题并非这么简单，通常函数f为非线性的。比如，数学建模课程中的人口模型、汽车刹车距离模型、传染病模型等。这些问题一般是：通过对实际问题的分析处理、建立模型，最后归结为一带参数的非线性模型，需要结合已知的数据估计出参数。有的非线性问题可以通过适当的变换转化为线性问题处理，有些不能转化的，可以先将f对参数作一次Talor展开，通过逐次线性逼近的方式估计最优参数，这些内容可以指导学生课外参阅相应的参考资料自学。另外，MATLAB软件就最小二乘法编写了一些函数，这些内容让人觉得计算非常方便。

3.最小二乘法的程序实现

这里简单阐述MATLAB的最小二乘法估计参数的函数。注意MATLAB函数ployfit主要是解决多项式模型的系数的最优估计。本文的实例就是一次多项式的系数的最小二乘估计，程序为：

xk=[3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2]； yk=[1.00 0.9 0.9 0.81 0.6 0.56 0.35]；

P=polyfit（xk，yk，1） % P为返回的多项式系数

y=polyval（P，xk）； % 計算多项式模型的值

plot（xk，yk，'o'，xk，y，'？鄢'）； xlabel（'化学成分'）； ylabel（'失败率'）； title（'实验数据以及模型估计数据'）

Legend（'实验数据'，'模型估计数据'）

计算结果：P=-1.0464 4.8125；即a=-1.0464，b=4.8125。

从图1知，尽管实验数据和模型估计数据相差比较多，但这是最小二乘意义下的最优估计值，而误差大的原因是：这个实际问题假设为一次多项式模型。要提高估计精度，就需要改进该模型。另外，MATLAB函数lsqcurvefit可以完成非线性模型的参数估计，在数学模型的参数估计中可以指导学生学习和应用该函数以及课外学习该函数的算法。从而提升学生的数学理论知识以及应用计算软件解决实际问题的能力。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003.

作者简介： 郑小洋（1972-），男，副教授，计算数学博士。主要研究领域：偏微分方程的小波数值解法。endprint