复变函数方法的两个应用研究

张洁萍

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)

复变函数方法的两个应用研究

张洁萍

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)

复变函数中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供了一种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域中有着广泛的应用。本文总结讨论了复变函数方法在定积分求解和断裂参量J积分计算中的应用研究，体现了复变函数知识的重要性。要求教师在讲授复变函数知识的过程中，不仅要向学生讲述该学科的基础知识，还应帮助学生建立起该学科与学生所学专业的联系，提升学生的综合应用能力。

复变方法；定积分计算；J积分计算；应用

复变函数方法作为一种强有力的工具，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，例如：数学、力学、电子等多个领域的研究中，有很多复杂的计算就是以复变函数为工具来解决的[1-5]。但是不少学生在了解此方法后仍心存困惑，会产生诸如有什么应用之类的问题，本文通过举例说明了复变方法在一类特殊定积分求解和断裂参量J积分计算中的巧妙应用，从而增强学生的学习兴趣和提高学习主动性。

1 复变方法计算f(cosθ,sinθ)dθ类型定积分

求解方法[1]是先作变量代换，再化成围线积分进行求解，求解过程如下：

解 令z=eiθ

通过以上例题可以看出此方法不仅可以简化某些定积分的计算过程，甚至可以求解一类求不出原函数的定积分问题。

2 复变方法计算断裂参量J积分

复变函数法是断裂力学中求解一个二维弹性断裂问题模型分析解的最有效的方法之一。这是因为用复变函数方法求解可以充分利用复解析函数在边界上的已知解，再借助柯西积分公式确定出弹性区域内部的值。J积分是断裂力学中经常用到的一个断裂参量，有如下表达式：

(1)

其中b11,b12,b22,b66是弹性主方向的柔度系数，σx,σy是正应力，τxy是剪应力。

下面以正交异性纤维增强复合材料板I型裂纹尖端附近的J积分计算[2]为例探讨复变方法在J积分计算中的应用。

由zj平面的柯西-黎曼方程和求导公式可得如下公式：

(2)

其中：

zj=xj+iyj(j=1,2)

μj=αj+iβj(j=1,2)

(3)

由复变函数的定义和性质易知下式成立：

(4)

(5)

将(2)～(5)式代入(1)式得到J积分的复形式：

最后借助柯西积分公式得到J积分的计算公式：

3 结语

复变函数中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域中有着广泛的应用。本文主要总结了复变方法的两个重要应用，首先介绍了复变方法在求解一类定积分中的应用，其次介绍了复变方法在求解断裂参量中的应用，体现了复变函数知识的重要性，这就要求教师在讲授复变函数知识的过程中，不仅要向学生讲述该学科的基础知识，还应帮助学生建立起该学科与学生所学专业的联系，提升学生的综合应用能力。

[1] 周明儒.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 杨维阳，李俊林，张雪霞.复合材料断裂复变方法[M].北京：科学出版社，2005.

[3] Li Junlin，Wang Xiaoli. Stress filed near the interface end of antiplane of orthotropic bimaterials[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2009，30(9)：1153-1159.

[4] 钟玉泉.复变函数论(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 高来志，张文学.求解线性方程组的行列式计算消元法[J].洛阳师范学院学报，2016，35(8)：16-22.

Two applications of the complex function method

ZHANG Jie-ping

(School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Datong University, Datong 037009, China)

Many theories and methods in complex function not only provide an important analytical tool for many branches of mathematics, but also have a wide range of applications in other natural sciences and various engineering fields. In this paper, we discuss the application of complex variable function method in definite integral solution and fracture parameter J integral calculation, which reflects the importance of complex variable function knowledge. Teachers are required to teach students the basic knowledge of the discipline, but also to help students to establish the links between discipline and the major, so as to enhance the comprehensive application ability of students.

Complex function method; Calculation of definite integral; Calculation of fracture parameter J-integral; Application

O143

： A

： 1674-8646(2017)16-0038-02

2017-06-20

国家自然科学基金(11547108)；山西大同大学科学基金项目(2016K5)

张洁萍(1982-)，女，讲师，硕士研究生。