一类等距结点上的2-周期三角插值

文晓霞，李风军

(宁夏大学 a.物理与电子电气工程学院；b.数学统计学院，银川 750021)

【自然科学基础理论研究】

文晓霞a，李风军b

(宁夏大学 a.物理与电子电气工程学院；b.数学统计学院，银川 750021)

δf(x)=δ1f(x)=f(x+h)-f(x-h),

(1)

若回答是肯定的，我们称插值问题是正则的。讨论插值问题正则的充分必要条件并给出该条件成立时插值基多项式的表达式。

1 主要结果

2 引理

(2)K2n(x2k+1)=0,(k=0,1,…,2n),当且仅当a0=0，aj-a2n+1-j=0，bj+b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

(2)K2n(x2k)=0,(k=0,1,…,2n),当且仅当a0=0，aj+a2n+1-j=0，bj-b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

K2v(x2k+1)=0,(k=0,1,…,2n-1),当且仅当aj-a2n+1-j=0，bj+b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

利用与文献[3]中类似的证法不难得到以下两个引理：

K2v(x2k)=0,(k=0,1,…,2n),当且仅当aj+a2n+1-j=0，bj-b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

3 定理的证明

t2n(x2k+1)=0,(k=0,1,…,2n-1)，

(2)

(3)

都只有0解。

对方程(2)应用引理1可得

a0=0，aj-a2n+1-j=0，bj+b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

(4)

因为p(0)=0，由文献[6]中的结果有：

结合上面的式子对方程(3) 应用引理2可得

将(4)式代入以上两式，可得方程组:

由克莱默法则：[10]aj=0,bj=0,(j=1,2,…,2n)当且仅当

由引理5有

(5)

因为p(0)=0，由文献[6]中的结果有：

再应用引理6有

结合(5)式有

应用引理4有：aj-a2n+1-j=0，bj+b2n+1-j=0，(j=1,2,…,n)。

(6)

因为p(0)=0，由文献[6]中的结果有：

再应用引理3可得：

(7)

4 结语

将本文的结论与文献[6]的结论对比不难发现：改变插值问题中结点组的位置后，插值解存在的充分必要条件并没有发生改变，但是插值解的表达式却完全不同了。

[1] Sharma A,Szabados J,Varga RS.2-periodic Lacunary Trigonometric Interpolation:the (0,m) case[C].Constructive Theory of Functions，1987:420-427.

[2] Sharma A,Szabados J,Varga RS.Some 2-Periodic Trigonometric Interpolation Problems on Equidistant Nodes[J].Analysis，1991,11(2-3):165-190.

[3] Sharma A,Sun Xiehua.A 2-periodic Trigonometric Interpolation Problem[J].Approximation Theory & Its Applications，1992,8(4):1-16.

[4] 文晓霞,候象乾.反周期函数的双周期(0,δm)插值[J].宁夏大学学报(自然科学版)，2004,25(1):8-10.

[5] 文晓霞.双周期(0,δM)插值及其逼近[J].宁夏大学学报(自然科学版)，2006,27(4):301-304.

[7] 何尚琴.反周期函数的2-周期(0,m)三角插值的收敛性[J].纯粹数学与应用数学，2007，23(4):513-518.

[9] 文晓霞，马守国.一类反周期函数插值算子的收敛性[J].渭南师范学院学报,2011,26(2)：33-35.

[10] 文晓霞.一类反周期函数的插值问题[J].宁夏大学学报(自然科学版)，2011,32(1):15-17.

[11] 同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

【责任编辑牛怀岗】

WEN Xiao-xiaa, LI Feng-junb

(a. School of Physics and Electronic-Electrical Engineering; b. School of Mathematics and Statistics, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

O174

A

1009-5128(2017)20-0031-05

国家自然科学基金项目:基于新型神经网络模型的图像挖掘及其在贺兰山岩画研究中的应用(61662060)

2017-06-13

文晓霞(1979—)，女，宁夏同心人，宁夏大学物理与电子电气工程学院副教授，主要从事函数逼近论研究。