嵌入式模型在周期性生长问题中的应用

王振华，张为元，闫丽宏

(咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000)

【现代应用技术研究】

嵌入式模型在周期性生长问题中的应用

王振华，张为元，闫丽宏

(咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000)

研究了野生小麦在发芽、成长、成熟的整个过程中数量的变化规律，并利用嵌入式方法把描述短期内连续变化的微分方程，嵌入到描述长期变化的差分方程中建立了小麦数量的嵌入式模型。在模型求解过程中，把贝努利方程的解离散化，利用差分方程平衡点的稳定性定理，揭示了小麦数量周期性变化的规律，讨论了平衡点趋于稳定、分岔和混沌的条件。

嵌入式模型；周期收敛；平衡点稳定性

0 引言

生活中许多东西都是按一定规律呈周期变化的，比如海洋中鱼的数量、再生资源的周期性收获、周期性排放污染物对环境的影响等。本文以秦岭中的野生小麦为例，研究了植物的周期性生长问题。由于野生小麦种子生长在山中，温度、水分、日照时间以及土壤质量完全由环境决定，所以它们没有优越的生长条件，一部分麦种无法长出来，随着时间的推移，一部分长出来的小麦也会因为恶劣的生存条件而被淘汰，剩下的则会生产出新的种子。在新种子成熟的过程中，有一部分会被动物吃掉，幸存下来的种子成熟之后会掉在土里，于是第二个周期又开始了。

表1 模型符号说明

在本文中我们用到嵌入式模型(模型符号见表1)，它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变，这个模型正好能描述小麦变化的全过程。嵌入式模型的一般式[1-3]为

为了把生产种子这个过程和种子被利用及被环境淘汰的过程分离出来，我们设n

1 嵌入式模型的建立与求解

模型1 假设:(1)y(ta)与xn成正比；(2)单位时间内y(t)减少的比例与xn成正比；(3)xn+1与y(tb)成正比。根据假设条件可以列出如下方程

y(ta)=αxn,

(1)

其中：n

y=ce-(β+θ)xnt。

令t=ta,y=y(ta), 则y(ta)=ce-(β+θ)xnta, 解得c=y(ta)e(β+θ)xnta, 从而

y(t)=y(ta)e(β+θ)xntae-(β+θ)xnt=y(ta)e(β+θ)xn(ta-t)，

(4)

从而

y(tb)=y(ta)e(β+θ)xn(ta-tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta)。

将(1)(4)式代入(3)式得

xn+1=γαxne-(β+θ)xn(tb-ta)。

令p=γα,q=(β+θ)(tb-ta),则

xn+1=pxne-qxn,(n=0,1,2,…)

(5)

我们用递推的方法求方程(5)的数值解。

y(tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta),

q=(β+θ)(tb-ta)=ln5≈1.6。

若γ分别取0.3×10-1，0.6×10-1，0.9×10-1，1.2×10-1，1.5×10-1代入(5)式可以得到p=γα=3,6,9,12,15，将p,q,x0代入(5)式用递推的方法可以得到xn。

根据表2中的数据我们可以看出，对于p=3,xn趋向稳态值0.682，即初始值的68%；对于p=6，xn趋向稳态值1.113，即初始值的111%；对于p=9，xn交替地趋向0.683和2.047；对于p=12和p=15,则没有规律。

模型2 假设:(1)y(tα)与xn成正比；(2)单位时间内y(t)减少的比例与xn+θy成正比；(3)xn+1与y(tb)成正比。根据上述假设条件则可以列出如下方程

表2 小麦数量的周期变化规律

续表2

y(ta)=αxn,

(6)

再令P(t)=βxn,Q(t)=βθ, 于是当t=ta时，

解得

(9)

将(6)式代入(9)式得到

于是

(10)

将(10)式代入(8)式得到

(11)

令p=γα，q=β(tb-ta)，则(11)式简化为

xn+1=。 (12)

我们用递推的方法求方程(12)的数值解。

于是

-αθ+(1+αθ)eβxn(tb-ta)=10。

把α,θ代入得eq≈1.1,q≈0.1, 若γ分别取0.3×10-2，0.6×10-2，1.2×10-2，1.5×10-2，1.8×10-2，那么p=αγ=3,6,9,15,18，将p,q,x0代入(12)式可以递推地计算出xn。

由表3中的数据可知，对于p=3，xn趋向于稳态值0.218，即初始值的21%；对于p=6，xn趋向于稳态值0.535，即初始值的53%；对于p=9，xn趋向于稳态值0.843，即初始值的84%；对于p=15，xn趋向于稳态值1.431，即初始值的143%；对于p=18,xn趋向于稳态值1.713，即初始值的171%。

2 平衡点及稳定性分析

定义1 如果对于某x0，有f(n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f(k)(x0)≠x0，则称x0为f的一个n倍周期点。[4]

定义2 如果一个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓扑发生突然的变化，这种变化称为分岔。[5]

定义3 对一个确定性动力系统施加确定性的输入，则该系统的输出一定是确定的，但对于非线性系统，则可能出现一种貌似随机、无规律的运动，人们称之为混沌。混沌现象不存在n倍周期点。[6]

差分方程的平衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一致的，例如:一阶线性常系数差分方程[7]

xk+1+axk=b,(k=0,1, …)

(13)

可以用变量代换将方程(12)的平衡点稳定性问题转换为

xk+1+axk=0

(14)

的平衡点x*=0的稳定性问题，而对于方程(14)，因为其解可表示为

xk=(-a)kx0,(k=1,2,…)

(15)

所以当且仅当

|a|<1

(16)

时方程(14)的平衡点是稳定的，从而方程(13)的平衡点也是稳定的。

一阶非线性差分方程

xk+1=f(xk)

(17)

的平衡点x*由代数方程x=f(x)解出。为分析x*的稳定性，将方程(17)的右端在x*点作Taylor展开，只取一次项，(17)式近似为

xk+1=f′(x*)(xk-x*)+f(x*) 。

(18)

(18)式是(17)式的近似线性方程，x*也是(18)式的平衡点。[8]关于线性方程(18)的稳定平衡点的讨论已由(13)-(16)式给出，而当|f′(x*)|≠1时方程(17)与(18)平衡点的稳定性相同。于是当|f′(x*)|<1时，对于(17)式，x*是稳定的；当|f′(x*)|>1时，对于(17)式，x*是不稳定的。

现在，根据差分方程平衡点及稳定性的定义，差分方程(5)的平衡点x*满足x*=px*e-qx*, 解得

(19)

差分方程(5)的平衡点x*稳定的条件为

|f′(x*)|<1，f(x*)=px*e-qx*,

|f′(x*)|=|pe-qx*+px*e-qx*(-q)|=|1-lnp|。

所以当-1<1-lnp<1，即1e2时，x*不稳定。由以上结果可以发现xn是否稳定只取决于p而与q无关，根据以上分析，当p=3和p=6 时，xn最终会稳定下来，当p=9时，xn是2倍周期稳定的，系统出现分岔现象。当p=12和p=15时，xn很难找出什么规律，系统出现混沌现象。这个结果与我们前面的数值计算结果是一致的。

为了进一步研究p>7.389时xn的变化情况，应该考察方程

xn+2=f(xn+1)=f(2)(xn)。

(20)

其中：f的具体形式由方程(5)给定。所以x1*，x2*是方程(20)的稳定平衡点的必要条件为|(f(2)(x))′|x=x1*,x2*<1。即当2<λ<2.526 5时上面条件成立。由λ=lnp知2

现在，我们来讨论差分方程(12)的平衡点及其稳定性。

解得

(21)

将(21)式代入(22)式得

3 结语

嵌入式模型还适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象以外，再生资源的周期性收获，人们对周期性注入药物的反应、周期性排放污染物的环境变化等都可以用这种模型研究。

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【责任编辑牛怀岗】

Abstract: This paper discusses the number change rule of wild wheat in the process of germination, growth and maturity. Furthermore, and it establishes the embedded model of wheat number by putting the differential equation, which describes a continuous change in a short term, into the discrete difference equations with a long-term variation. Finally, the stability of the equilibrium points are discussed. In the process of solving the embedded model, this paper discretizes the solution of the Bernoulli equation using the stability theorem of Equilibrium points for the difference equation, and reveals the periodic variation of wheat quantity, and also the conditions of equilibrium, bifurcation and chaos are discussed

Keywords:embedded model; periodic convergence; equilibrium points stability

TheApplicationofEmbeddedModelforCyclicalGrowthProblems

WANG Zhen-hua, ZHANG Wei-yuan, YAN Li-hong

(School of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China)

O175.08

A

1009-5128(2017)20-0047-07

国家自然科学基金项目：Cayley-Klein几何及相应的相似几何中的曲线运动(11526174)；陕西省自然科学基金项目：分布参数时滞复杂神经网络的同步控制研究(2015JM1015)；陕西省教育厅专项科研项目：基于脉冲控制的分部参数复杂神经网络同步分析(17JK0824)

2017-03-02

王振华(1974—)，男，陕西咸阳人，咸阳师范学院数学与信息科学学院讲师，理学硕士，主要从事系统分析与控制研究。