一种伺服机构模拟负载台多弹簧钢板统一设计方法

郭爱民，张 涛,2，刘维玮，肖 凯，姚世东

（1. 中国运载火箭技术研究院研究发展中心，北京，100076；2. 西北工业大学机电学院，西安，710072）

一种伺服机构模拟负载台多弹簧钢板统一设计方法

郭爱民1，张 涛1,2，刘维玮1，肖 凯1，姚世东1

（1. 中国运载火箭技术研究院研究发展中心，北京，100076；2. 西北工业大学机电学院，西安，710072）

弹簧钢板是航天伺服机构负载台的重要组成部分，决定了负载台的负载特性。提出了一种伺服机构模拟负载台多弹簧钢板统一设计方法。相较传统方法，该方法可用于多钢板设计并拓展了其设计域。首先，以弹性力学矩形截面杆扭转的解析解为基础，定义了钢板扭转模型并提出修正系数的指数衰减函数形式的近似表达式；其次，提出多弹簧钢板设计的优化模型并给出确定优化初值的方法，该优化模型使目标函数和约束函数在全设计域二阶连续可微；最后，提出简化的钢板负载特性有限元校核方法，该方法可对不同宽厚比钢板扭转进行有限元建模和分析。分析结果表明：用工程案例对伺服机构模拟负载台多弹簧钢板统一设计方法进行检验，有效性得以验证。

伺服机构；负载台；弹簧钢板；负载特性；优化；有限元

0 引 言

弹簧钢板式负载台具有结构简单、成本低、加载无延时、操作方便等特点，目前广泛应用于模拟飞行器飞行过程中舵面气动载荷的施加。典型的弹簧钢板式负载台结构如图1所示[1]。弹簧钢板是弹簧钢板式负载台的关键零件，其材料性质和几何尺寸直接决定了负载台的负载特性。文献[2]提出以材料力学公式定义目标函数、以DOE+SQP为优化策略、以ANSYS作为校核工具的伺服机构负载台弹簧钢板设计优化方法。该方法较好地适应了航天器负载台钢板设计的需要，使负载台满足扭角大、力矩梯度高、线性度好等负载特性要求，目前已在工程中得到广泛应用。但在工程应用中发现了该方法的局限性，主要体现在：a）设计域不足：该方法在应用狭长矩形截面杆扭转公式时，限定了宽厚比大于10，使宽厚比在1和10之间的设计空间不能得到利用，人为地减小了设计域，可能会因方法原因增加负载台尺寸；b）不适用于多钢板设计。新型负载台要求能提供多种负载，而且负载差异可达10倍，这就需要在负载台设计过程中同时确定多块钢板尺寸。

工程上常把弹簧钢板扭转简化为矩形截面杆扭转问题。材料力学中一般给出包含修正系数的简化公式，并以表格形式给出修正系数[3]。工程应用中，修正系数可用插值方法或拟合方法进行近似处理。插值方法能保证函数的连续但是不能保证函数的可微。文献[4]给出宽厚比小于10的矩形截面杆扭转的幂函数分段表达式，该方法由于进行了分段处理，不能保证全局可微。以序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）为代表的经典优化方法具有收敛速度快、精度高等特点，但同时要求目标函数和约束函数二阶连续可微[5]，以及提供的优化初值较准确。插值方法和分段拟合方法都不满足目标函数和约束函数二阶连续可微的要求。弹性力学中用艾里应力函数方法给出矩形截面杆扭转的双曲函数表示的无穷级数形式解析解[6]。文献[7]给出了矩形截面杆扭转的三角函数表示的无穷级数形式解析解。

本文以弹性力学矩形截面杆扭转表达式为基础，定义了钢板扭转模型并提出了修正系数的指数衰减函数形式的近似表达式，进而给出了多钢板设计的优化模型，并使目标函数和约束函数在全设计域二阶连续可微，解决了传统设计方法设计域不足、不适用于多钢板设计问题。最后给出了简化的有限元校核方法和工程案例。

1 钢板扭转模型

1.1 扭转模型的弹性力学表达式

弹簧钢板的受力示意如图2所示，矩形截面杆扭转的最大剪应力maxτ、扭矩T、扭矩误差δT、长宽比l_h、宽厚比 h_b、钢的剪切模量G按下列公式计算：

其中：

式中 E为钢的弹性模量；ν为泊松比；h，b分别为钢板的宽度和厚度并满足_1hb≥；L为钢板的长度；0Φ为钢板的设计扭角；0T为设计扭矩； ， 为和钢板横截面宽厚比相关的修正系数。

1.2 修正系数的指数衰减函数拟合

由于修正系数-宽厚比曲线都是单调且有渐近线，可用指数衰减函数对 ，β进行拟合，拟合方法参见文献[8]。式（6）、式（7）中m的上限取19 999，得到了级数前10 000项的和作为 ， 的基准数据，如表1所示。根据计算结果，m的上限取21就可达到相对误差小于 10-6的精度，为此钢板设计中可以取级数的前 11项。拟合结果如式（10）、式（11）所示，拟合结果的相关系数平方如表2所示。由表2可以看出，其值都在0.98以上。曲线拟合和原始数据对比如图3所示。图3中B，D分别为 的级数解和拟合数值，C，E分别为 的级数解和拟合数值。

表1 α，β的基准数据

表2 曲线拟合的相关系数平方R2

2 多钢板设计的优化模型

2.1 优化模型的定义

受负载台安装接口限制，同时为了适应多负载的需要，同一负载台配备的多块钢板宽度一般取相同值，并通过更换不同厚度钢板和调节钢板长度实现不同负载的模拟。根据式（1）～（8）可定义钢板扭转模型，其输入为h，bi，Li，Φ0，T0，E和 ；输出为Ti，δTi，τmaxi，h_bi和 l_hi。剪应力的大小决定了弹簧钢板的强度和寿命，因此把最大剪应力最小作为优化目标。优化方法一般选用SQP。优化问题的定义如下：

优化目标：

约束条件：

式中 n为钢板数；maxL ，maxb 和maxh 的值受安装空间的限制；minb 的值受钢板尺寸规格限制； _lh较小，可能引起钢板负载特性的非线性；min_lh 的值一般取在8～12之间，按弹性力学假设，min_hb 取1。

2.2 优化的初值

由于经典优化方法对初值的要求较高，所以优化的初值应较精确地给出。令δ Ti= 0，则由式（4）、式（8）可得：

由表1可知，在宽厚比大于2时，βα≈1，根据式（9）可近似认为可以利用此规律直接取钢板长度上限 Lmax、长宽比下限 l _hmin，可得钢板长度和宽度的初值由式（1）、式（3）、式（11）和式（19）得钢板长度和宽度到钢板厚度的非线性方程，解此方程可得钢板厚度的初值 bi0。

3 负载特性的有限元简化建模

文献[2]用实体单元模拟压块，用实体壳单元模拟钢板。在宽厚比较小时，钢板用壳单元模拟会导致误差较大。在钢板设计中发现，钢板端部的应力小于中部，因此对端部压块的建模可以省略。本文在ANSYS中建立钢板的三维几何模型，用实体186单元划分钢板，并且宽度方向有10层单元，厚度方向有2层单元。负载台设计中，为了消除钢板扭转过程中的附加轴向力，一般让上压块和钢板之间有一定的间隙，从而释放了轴向自由度[1]。为此，有限元模型中，左端面定义位移约束，右端面定义圆柱副，并在圆柱副上施加轴向角位移。约束和载荷定义如图4所示。

为了能反映钢板扭转几何非线性的影响，在求解设置中打开大变形选项，并设置求解步数为10。

4 钢板设计工程案例

4.1 弹簧钢板尺寸的优化设计

某伺服负载台负载特性要求如表 3所示。须对 2块钢板尺寸进行设计，定义设计变量及约束的上下限如表4所示。材料特性如表5所示。2块钢板的设计初值都按2.2节方法得到经过优化，得到各参数的值，如表6所示。

表3 负载台负载特性要求

表4 设计变量及约束的上下限

表5 60Si2MnA材料特性

密度/(kg·m-3) 7900弹性模量/Pa 2.06×1011泊松比 0.3

表6 优化得到的钢板参数结果

4.2 弹簧钢板负载特性的有限元校核

在ANSYS中，钢板材料选用60Si2MnA，其材料特性如表4所示。单元尺寸取12 mm，共得到单元2 000个，节点11 885个。在圆柱副Z方向施加幅值为35°的角位移。求解得到的钢板 2的剪切应力、变形结果如图5、6所示。由式（4）和ANSYS分别得到的钢板负载曲线如图7所示，其中C为钢板1公式解，D为钢板1有限元解，E为钢板2公式解，F为钢板2有限元解。ANSYS和弹性力学公式解的最大扭矩和剪切应力的对比如表7所示。

表7 公式和ANSYS计算得到的结果对比

由表7和图6可以看出，2条负载曲线有较好的一致性，线性度也较好，ANSYS得到的结果比公式解明显偏大，且随着扭角的增大这种趋势越明显。其中钢板2的误差均在5%以内；钢板1最大负载误差接近7%，最大剪应力误差接近15%。两者误差产生的原因是 ANSYS考虑了几何非线性的影响，公式解则未考虑。实例表明，公式解负载特性的误差能控制在 10%以内，也说明本文提出以解析解为基础的统一设计方法误差可控，有效性得到验证。

5 结 论

本文以弹性力学矩形截面杆扭转的解析表达式为基础，定义了钢板扭转模型并提出了修正系数的指数衰减函数形式的近似表达式，进而给出了多钢板设计的优化模型和有限元校核方法。工程案例表明，本文提出的伺服机构模拟负载台多弹簧钢板统一设计方法能很好地满足伺服机构负载台多块弹簧钢板同时设计的需求，可以在钢板宽厚比大于1的全设计域得到设计结果。同时，由于弹性力学矩形截面杆扭转的解析表达式未考虑几何非线性的影响，导致利用公式得到的优化设计结果和有限元结果有10%以内的误差，但是以解析解为基础的统一设计方法具有方便、快速、便于设计的优势。另外，工程上考虑到材料性能偏差和尺寸公差的影响，也具有一定的误差，钢板的厚度一般取优化值作为尺寸公差上限，并通过调整弹簧钢板夹持长度（如图1压块位置）对负载特性进行试验标定，以达到负载台负载特性满足表3所示指标要求的目的。

[1] 周蓓, 黄玉平, 蔡昱. 一种弹簧钢板式舵机负载模拟系统结构设计[J].机械工程师, 2015 (7): 103-105.

[2] 郭爱民, 赵国平, 黄玉平. 伺服机构负载台弹簧钢板设计优化[J]. 导弹与航天运载技术, 2011 (3): 47-50.

[3] 单辉祖. 材料力学(Ⅰ)第3版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

[4] 潘致顺. 矩形截面杆扭转时应力和转角的近似计算法[J]. 机床与液压,2001(4): 121.

[5] 赵瑞安, 吴方. 非线性最优化理论和方法[M]. 杭州: 浙江科学技术出版社, 1992.

[6] 徐芝纶. 弹性力学（上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[7] Jan F, et al. Torsion of a non-circular bar[J]. Engineering Mechanics, 2012,19(1): 45-60.

[8] 熊峻江, 郭爱民, 邱华勇. 疲劳裂纹扩展曲线的正交多项式与三参数指数函数拟合法[J]. 应用力学学报, 2002 (2): 110-112.

A Uniform Design Method of Spring Steel Multi-plates of the Torque-loading Simulator for a Servo System

Guo Ai-min1, Zhang Tao1,2, Liu Wei-wei1, Xiao Kai1, Yao Shi-dong1
(1. R&D Center, China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076;2. School of Mechanic Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an, 710072)

The spring steel plate is an important part of the torque-loading simulator of the spacecraft servo system and it determines the loading features. In this paper, it is presented that a uniform design method of spring steel multi-plates of the torque-loading simulator for a Servo system. Compared with traditional methods, it can be used for design of the spring steel multi-plates at one time and the design domain is expanded. Firstly, based on strain-stress analysis of torsion of a rectangular bar of elasticity, the torsion equations of steel plate are proposed and correction coefficients are fitted by functions of exponential decay.Secondly, the optimization model of the multi- plates is built and the method to determine the initial value of optimization is proposed,which enables objective and constraint functions to be continuous and to have continuous first and second derivatives in the global design domain simultaneously. Thirdly, the simplified Finite Element (FE) verification method for loading features of the steel plate is established to build FE models of the steel plate with different ratio of width and thickness. Fourthly, the validity of the uniform design method of spring steel multi-plates is verified by an engineering case. In the end of the paper, the applications of the uniform design me-thod are discussed.

Servo system; Torque-loading simulator; Spring steel plate; Loading features; Optimization; Finite element method

V415

A

1004-7182(2017)05-0062-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170515

2016-10-25；

2016-12-26

郭爱民（1976-），男，高级工程师，主要研究方向为飞行器结构强度设计