椭圆柱与椭圆锥几何性质的探究

董红卫

摘 要 将圆锥体与圆柱体的底面变换为椭圆，那么椭圆锥的体积还会是其等底等高椭圆柱体积的三分之一吗？椭圆柱与椭圆锥的侧面展开图的面积又是多少？通过定积分计算中的微元法可以证明椭圆锥的体积是其等底等高椭圆柱体积的三分之一，接下来讨论了椭圆柱与椭圆锥侧面展开图面积的相关性质。

关键词 椭圆柱 椭圆锥 体积 面积

中图分类号：018 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.09.023

The Geometric Properties of Elliptic Column and Elliptical Cone

DONG Hongwei

（Yili Secondary Vocational Normal School， Yining， Xinjiang 835000）

Abstract By changing the base of a cone and a cylinder into an ellipse， then the volume of the ellipse cone is 1/3 of the volume of its high elliptical column such as the bottom What is the area of the unfolded side of an elliptic column and an elliptic cone By means of the infinitesimal method in definite integral calculation， it can be proved that the volume of elliptical cone is 1/3 of the volume of its high volume elliptical cylinder. Then， the properties of the area of the ellipse and ellipse cone are discussed.

Keywords elliptic cylinder； elliptic cone； volume； area

微积分初步已经成为高中数学的选修内容，这就为我们广大师生探究某些趣味数学知识提供了一个有力工具。下面我们就运用微积分的知识探究椭圆柱与椭圆锥的相关几何性质。首先给出椭圆柱与椭圆锥的定义。

定义1：如图1，向量 垂直于椭圆，椭圆 沿向量 平移后所得到的图形称为椭圆柱。 其中椭圆、椭圆称为椭圆柱的底面。

定义2：如图2，向量 垂直于椭圆，点与椭圆 上的点的连线所形成的侧面与 椭圆围成的几何体称为椭圆锥。 其中 椭圆称为椭圆锥的底面，称为椭圆锥的顶点。

图1 图2

受到等底等高圆柱的体积与圆锥体积关系的启发，我们可以猜想下面的性质：

性质1：椭圆锥的体积等于同底等高椭圆柱体积的三分之一。

证明：设底面椭圆的面积为，高为，于是椭圆柱的体积。

下面求椭圆锥的体积。由于椭圆锥不是旋转体，微积分中旋转体的体积公式对此失效。这里我们使用微元法，以椭圆锥的顶点为原点， 为轴，如图3。用去截椭圆锥所得椭圆截面的面积为（），于是可得：

图3

由微元法可得：椭圆锥的体积

，于是，即椭圆锥的体积等于同底等高椭圆柱体积的三分之一。

尽管不是所有的椭圆都相似，但由上面的性质我们很容易得到：等底等高的椭圆锥的体积都相等。

定义3：用平行于椭圆锥底面的截面去截椭圆锥后，余下的台体部分称为椭圆台。

性质2：设椭圆台的上底面为，下底面为

，高为，则椭圆台的体积

。

证明：由图4可得：椭圆台的高，由性质1的证明过程我们可以得到圆台的体积

由，得式子

=

于是性质2成立。

接下来讨论椭圆锥侧面积的相关问题，由于椭圆锥不是旋转体，其侧面展开图又不是扇形，这就给椭圆锥侧面积的计算带来极大的困难。椭圆锥的侧面积至今尚无精确值的计算方法，在这里我们给出一个椭圆锥侧面积的取值范围。

性质3：设椭圆锥的侧面积为，则：

为了方便大家理解，我们先来证明：

设椭圆锥底面的方程为：，由图5可得这个椭圆外切于以短轴为直径的圆，称为；同时这个椭圆内切于以长轴为直径的圆，称为，这样我们就可以得出椭圆锥的侧面面积在以为 底面的圆锥与以为底面的同高圆锥的侧面面积之间。

相仿的可以得到。 于是有：。

通过上面的过程你会发现，这个估计的范围误差比较大，原因是底面周长有缩放、参数又有缩放，就造成了整体缩放的范围较大。为了减小这个缩放，使得不等式的估计范围缩小。我们可以用截面周长的真实值来代替圆的周长作为积分微元。于是得到：

化简得：

通过上面的分析计算我们得到了的一个更合理的取值范围，而椭圆锥的侧面积的精确值更接近哪个值，则取决于底面椭圆的离心率，当离心率接近于1时，接近于；当离心率接近于0时，接近于， 更具体的定量关系，有兴趣的读者可以做进一步的探究。

参考文献

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