高等数学中多元积分的总结

赛琳伟

摘 要 高等数学中的多元积分既是重点又是难点。学生容易将这些积分搞混。这些积分之间有很强的联系，本文总结了这些积分的几何和物理意义以及它们之间的联系和区别。、详细介绍了每种积分的所有计算方法，并配有代表性的例题。有助于学生复习和加强理解这一部分的内容。

关键词 多元积分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式

中图分类号：0172 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.09.025

The Summary of Multivariate Integrals in Advanced Mathematics

SAI Linwei

（Hohai University， Changzhou， Jiangsu 213022 ）

Abstract Multivariate integrals are important and hard to learn in advanced mathematics. Students are liable to confuse them. Here we summarize these integrals， include the geometry and physics meaning， the relation and different between them. We also give all the calculation methods of each integral couple with several representational examples. It is helpful for students to learn and review the content of multivariate integrals.

Keywords multivariate integrals， Green's theorem， Gauss's theorem， Stockes' theorem

高等數学上册学了一元积分，下册又学了6种积分，分别是二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分。连续学了6种积分，学生可能会搞混它们之间的关系。而它们既是本课程的重点，也是难点。这些积分之间有很强的关联，搞清楚它们之间的联系和区别，才能更好地掌握这部分知识。这里做一下总结，有助于学生深刻理解它们之间的关系。

首先要明白积分的意义，包括几何意义和物理意义。从几何意义上讲，一元积分就是函数到x坐标轴的面积；二重积分就是函数到xy坐标面的体积；三重积分表示四维测度；第一类曲线积分可以认为是准线为积分曲线，母线平行于z轴的柱面的面积；第一类曲面积分表示体积，但底面已经弯曲到了三维，高实际上在第四维。如果被积函数为1，则各种积分均表示被积区域的大小。具体来讲，一元积分表示线段长度；二重积分表示积分区域的面积；三重积分表示积分区域的体积；第一类曲线积分表示积分曲线的长度；第一类曲面积分表示积分曲面的面积。从物理意义上讲，第二类曲线积分表示变力做功；第二类曲面积分表示通量。如果被积函数为密度，则一元积分表示杆的质量；二重积分表示薄片的质量；三重积分表示物体的质量；第一类曲线积分表示弯曲杆的质量；第一类曲面积分表示弯曲薄片的质量。另外，第一类曲线积分可以认为是坐标轴弯曲的一元积分；第一类曲面积分可以认为是坐标面弯曲的二重积分。

图1为各种积分之间的关系图。

4种曲线和曲面积分或直接能变为一元积分，或能转变为二重和三重积分，而二重和三重积分又能变为一元积分，最终都与一元积分建立了联系。4种曲线和曲面积分之间的关联：两种曲面积分之间通过方向余弦建立了联系，两种曲线积分之间也有类似联系。二元的第二类曲线积分通过Green公式跟二重积分之间有联系，三元的第二类曲线积分则通过Stockes公式跟第二类曲面积分建立了联系。Stockes公式是Green公式的直接推广。第二类曲面积分又跟三重积分之间有联系。最终，这7种积分之间建立了如图所示的复杂关系。学生通过这张图，并结合这些积分的定义和计算方式，就能清晰地理解它们之间的关系和区别。

从计算上来说，这些积分最终都是化为一元积分进行计算。计算的关键是看积分区域，与被积函数关系不大。二重积分通过累次积分化为一元积分，根据积分区域是X型或Y型决定先对x积分或先对y积分，当积分区域和被积函数容易用极坐标表示的时候考虑使用极坐标，例如包含x2+y2通常是使用极坐标的标志。使用极坐标基本都是先对r积分再对q积分。无论直角坐标还是极坐标。三重积分计算法方法比二重积分多。首先可以通过化为二重积分来计算，它分为两种办法：化为先一重再二重或先二重再一重。如果将积分区域比喻为土豆，前者可以理解为将土豆切成薯条，后者可以理解为将土豆切为薯片。先二后一的积分方法仅适用于被积函数只包含一个变量的情况，且截面面积容易计算（见例1的法1）。通常被积函数不包含谁就先对谁进行积分，因为此时积分表示被积区域的大小，容易计算。三重积分也可以通过柱坐标或球极坐标直接化为累次积分来计算。利用柱坐标计算的时候，先对z积分，然后对r积分，最后对 积分（见例1的法2）。该方法等效于先一后二的积分法，在计算外面二重积分的时候利用极坐标。球极坐标适用范围较小，关键是确定的范围（见例1的法3）。无论二重积分还是三重积分，化为累次积分的时候都是先写外面的积分上下限，再写里面的积分上下限。

例1：求三重积分

其中积分区域 为x2+y2+z2≤4z与x2+y2≤z2围成的封闭区域。

解：积分区域为球心在（0，0，2）的球面与圆锥围成的区域。

法1：被积函数不含x和y，先对x和y积分。endprint

x2+y2+z2=4z与x2+y2=z2联立解得z=2。积分区域上半部分为半球面，记为 1；下半部分为圆锥，记为 2。

法2：用柱坐标。r最大为2；在下面z=r，在上面Z=2+

法3：用球坐标。又因为很容易知道从0积到圆锥母线上，即=/4。r从0积到球面上。

第一类曲线积分和第一类曲面积分只需记住它们的微分就好了。第一类曲线积分的计算只需记住ds分别在显式函数、参数方程和极坐标下的表达式即可，然后第一类曲线积分就可以变为一元积分。如果积分曲线很容易写成y是x的显式函数（或x是y的显式函数），则ds=；如果积分曲线表示为x和y是参数t的参数方程的形式更方便，则ds=；如果积分曲线是极坐标的形式，则ds=。第一类曲面积分的计算类似，若积分曲面方程z是x和y的函数，则ds=，之后是将积分区域投影到xy面，再将被积函数中的z利用积分曲面方程变为x和y，就能将第二类曲面积分转为二重积分。

第二类曲线积分的计算方法很多，可以直接计算，也可以通过切向量的方向余弦转化为第一类曲线积分。对于二元的第二类曲线积分，如果积分曲线是封闭的，或者很容易补成封闭的，则应该考虑使用Green公式，如果是三元的第二类曲线积分，就考虑使用Stockes公式。利用Stockes公式计算时，以积分曲线为边界的曲面是任意的，通常就取积分曲线所在的平面。第二类曲面积分的计算方法也有好几种，最基本的是转化为二重积分（例2法1），可以通过3步做到：得到投影区域（以xy平面为例），将被积函数中的z用曲面方程代入，根据曲面法向与z轴正向的夹角决定积分符号。dydz、dzdx和dxdy这3个坐标面的积分可以相互转化。以dxdy为例，dydz=-zxdxdy、dzdx=-zxdxdy（例2法2）。如果积分曲面的法向容易计算，例如是常向量，则应优先考虑将其转化为第一类曲面积分（例2法3）。如果积分曲面是封闭的，或者很容易补成封闭曲面，则优先考虑使用Gauss公式（例2法4），将其转化成三重积分计算。这往往也是最简单的方法。

例2：计算第二类曲面积分

其中 为A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）构成的三角形的下侧。

法1：直接计算。积分区域关于x，y，z对称

法2：曲面x+y+z=1的单位法向量

为常向量。

法3：dydz=-zxdxdy=dzdx，dzdx=-zxdxdy=dxdy

（投影三角形的面积）

法4：利用Gauss公式。补充 1面为OAB面，方向朝z轴正方向； 2面为OAC面，方向朝y轴正方向； 3面为OBC面，方向朝x轴正方向。则 + 1+ 2+ 3为封闭曲面，方向朝内，记其围成的封闭区域为 。

同理

利用对称性来计算这些积分能起到事半功倍的效果。对于一元积分来说，积分区域首先要关于原点对称，其次被积函数是奇函数则积分为0，被积函数是偶函数则积分大小为右半边积分的2倍。多元积分也是如此，对谁积分，就考虑积分区域对于积分变量有没有对称性，暂不参与的积分变量视为常数。

例3：设 是球面x2+y2+z2=a2，求第一类曲面积分

解：积分区域 关于xy平面对称，而被积函数z是奇函数

所以积分为0。

利用积分对称性可以直接得出积分为0或将积分区域减小。另一种情况是利用对称性将积分補全反而更简单。

例4：设 是球面x2+y2+z2=a2，求第一类曲面积分

解：积分区域 关于x，y和z均对称

注意第二类曲面积分中曲面的方向也包含符号，如果将例4改成第二类曲面积分，则大不一样。

例5：设 是球面x2+y2+z2=a2的外侧，求第二类曲面积分

解：积分区域关于x y对称，且被积函数非负。但上半球面的曲面法向朝上，故上半球面积分为正；下半球面的曲面法向朝下，故下半球面积分为负。所以上下两个半球面上的积分绝对值相同，符号相反，积分为0。

同理，例3改成第二类曲面积分也不一样。此时上半球面，被积函数为正，曲面法向朝上，所以积分为正；下半球面被积函数为负，曲面法向朝下，最终积分也为正！原积分为上半球面积分的2倍。

总之，记住每种积分的意义是最重要的。根据上面总结的计算方法，每种方法结合一道例题巩固，那么它们的计算也不是难事。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014：135-249.

[2] 赵莉.多元积分的计算与相互关系[J].张家口职业技术学院报，2001（14）.

[3] 许汪涛.谈谈多元积分的学习[J].山西师范大学继续教育学报，2002（19）.endprint