一类广义KdV方程的行波解

王小娇, 谢莹莹, 汪大召, 朱世辉

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

一类广义KdV方程的行波解

王小娇, 谢莹莹, 汪大召, 朱世辉*

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

研究一类广义KdV方程,包含了经典的KdV方程、mKdV方程和Camassa-Holm方程,并利用tanh函数方法,得到了此类广义KdV方程的新行波解.

tanh函数方法; 广义KdV方程; 行波解

非线性发展方程作为描述复杂物理现象的数学模型,其研究涉及数学、物理、生物、工程等现代科学中各个领域,而方程的精确解又使得物理现象得到进一步的科学解释,因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的精确解一直是大家关注的问题.为了寻找非线性发展方程的精确解,专家学者已发现了许多求解方法,例如painleve截尾展开法[1]、齐次平衡方法[2]、双曲函数法[3]、sine-cosine方法[4]、Jacobi椭圆函数展开法[5],以及作为Jacobi椭圆函数展开法一般化的F-展开法[6]、改进的展开法[7],利用这些方法得到非线性发展方程中许多丰富的精确解.

本文运用tanh函数方法,研究了如下广义非线性KdV方程

ut+(aun-bu2n)ux+λutxx+

[uk(um)xx]x=0,

(1)

其中,a、b、λ是常数.显然,当n=1,a≠0,b=0,λ=0,k=0,m=1时,方程(1)即为著名的KdV方程,它描述了在重力的影响下,波在浅水表面单向自由传播的过程,其中u(x,t)为传播过程中波的高度,x为传播方向上波的相对位置比例,t为相对时间比例.与这个方程类似,当n=1,a=0,b≠0,λ=0,k=0,m=1时,方程(1)变为mKdV方程.当λ=0,k=0,m=1时,方程(1)变为广义KdV方程.以上这些方程具有一定的物理意义,许多学者对它们进行了深入的研究,如文献[8]讨论了KdV方程的可积性,并说明了此方程是可积的.文献[9]指出mKdV方程是描述弱色散现象的近似模型,并研究了方程的孤波解、代数解等.

当n=1,a=3,b=0,λ=-α,k=m=1时,方程变为Camassa-Holm方程,它主要描述由于引力影响,该波在浅水表面上的单向传播现象,其中u(x,t)表示在t≥0时,波在x方向上的传播速度.多年来,此方程得到了广泛关注,并对此方程的解构造进行了大量研究,获得了很多结果.文献[10]论述了此方程的原始起源,文献[11-12]论述了此方程新的起源,文献[10,13]讨论了此方程的可积性,说明了此方程是完全可积的,文献[14-15]获得了此方程丰富的较全面的精确解,文献[16-17]通过不同方法得到了C-H方程的显示行波解.另外,不难发现,当n=1,a=4,b=0,λ=-1,k=m=1时,方程为Degasperis-Procesi方程.此方程的精确解问题也已经有大量的研究[18-19],其中,文献[19]用色散方法得出了该方程的尖孤波解.

本文获得了方程(1)在m、k取不同值时对应方程的新行波解,大大丰富了此方程的解系,为专家学者在某些问题研究上提供了帮助.

1 方法介绍

这里先描述一下tanh函数方法的一般过程,以如下偏微分方程为例

p(u,ux,ut,uxx,uxxx,…)=0,

(2)

p是关于u,ux,ut,uxx,uxxx,…的多项式.

引入变换

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct.

(3)

将(3)式代入(2)式,得到一个关于u(ξ)的常微分方程

p(u,uξ,uξξ,uξξξ,…)=0.

(4)

引进一个新的变量

Y=tanh(μξ),ξ=x-ct,

(5)

得到

(6)

应用以下级数展开

(7)

其中,ak是待定常数(k=0,1,2,…,M),M通过平衡给定方程(4)中的最高阶导数项和非线性项来确定,将(6)和(7)式代入(4)式中,那么常微分方程(4)的左边可化为关于Y的多项式,合并Y的相同幂次,令每一项的系数为零,得到一个关于ak(k=0,1,2,…,M)和μ、c的代数方程组,利用代入消元法求解这个方程组,将这些结果代入(7)式,得到偏微分方程(2)含有多个参数的行波解的一般形式.

2 应用

引入如下行波变换

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct.

(8)

将(8)式代入(1)式得到

cλuξξξ+[uk(um)ξξ]ξ=0.

(9)

积分(9)式得

cλu″+uk(um)″=0.

(10)

平衡(10)式中的uk(um)与u2n+1得到

(2n+1)M=kM+mM+2,

(11)

所以

当方程(1)中m、k取不同值时,寻求对应方程的行波解,分以下几种情况来讨论.

情况2.1当m=k=0时,方程变为

ut+(aun-bu2n)ux+λutxx=0.

(12)

此时

(13)

令

u=v1/n,

(14)

将(14)式及m=k=0代入(10)式得到

-cn2(2n+1)(n+1)v2+an2(2n+1)v3-

bn2(n+1)v4-cλn(n+1)(2n+1)vv″+

cλ(n2-1)(2n+1)(v′)2=0.

(15)

平衡v4、vv″得到M=1,假设(15)式具有如下形式解

v(ξ)=a0+a1Y.

(16)

将(16)式代入(15)式合并Y的相同幂次,并令每一项系数为零,得到关于a0、a1、c、μ、a、b、n的一个代数方程组:

-2cn2(2n+1)(n+1)+3an2(2n+1)a0-

-cn2(2n+1)(n+1)+3an2(2n+1)a0-

2cλ(n2-1)(2n+1)μ2=0,

2cλn(2n+1)(n+1)a0μ2=0,

cλ(n2-1)(2n+1)μ2=0.

(17)

利用代入消元法求解方程组(17)得到:

(18)

于是

(19)

(20)

由(14)式得到广义KdV方程精确解行波解如下:

(21)

(22)

情况2.2当m=0,k=1时,方程变为

ut+(aun-bu2n)ux+λutxx=0.

(23)

此方程完全与情况2.1相同,所以对应的解为:

(24)

(25)

实际上,当m=0,k取任意值时,方程(1)都变为

ut+(aun-bu2n)ux+λutxx=0.

(26)

所以,当m=0,k取任意值时,方程的解都为:

(27)

(28)

情况2.3当m=1,k=0时,方程变为

ut+(aun-bu2n)ux+λutxx+uxxx=0.

(29)

此时

(30)

令

u=v1/n,

(31)

将(31)式及m=1,k=0代入(10)式可得

(1-c)n2(n+1)v2(2n+1)+

an2(2n+1)v3-bn2(n+1)v4+

(1-cλ)n(n+1)(2n+1)vv″+

(1-cλ)(n2-1)(2n+1)(v′)2=0.

(32)

平衡v4和vv″得到M=1,假设(32)式具有如下形式解

v(ξ)=a0+a1Y.

(33)

将(33)式代入(32)式合并Y的相同幂次,并令每一项系数为零,得到关于a0、a1、c、μ、a、b、n的一个代数方程组:

-2cn2(2n+1)(n+1)+

2(1-cλ)n(2n+1)(n+1)μ2=0,

-cn2(2n+1)(n+1)+3an2(2n+1)a0-

2(1-cλ)(n2-1)(2n+1)μ2=0,

2(1-cλ)n(2n+1)(n+1)a0μ2=0,

(1-cλ)(1-n2)(2n+1)μ2=0.

(34)

利用代入消元法求解方程组(34)得到:

μ=±a{[2(2n+1)(3n2-2n-2)+

3n2(2n+1)2(n-2)]/[4b(n+1)×

(3n+2)2(n-2)+a(2n+1)×

(3n2-2n-2)λ]}1/2,

(35)

于是

tanh(a{[2(2n+1)(3n2-2n-2)+

3n2(2n+1)2(n-2)]/[4b(n+1)×

(3n+2)2(n-2)+a(2n+1)×

(3n2-2n-2)λ]}1/2×

(36)

coth(a{[2(2n+1)(3n2-2n-2)+

3n2(2n+1)2(n-2)]/[4b(n+1)(3n+2)2×

(n-2)+a(2n+1)(3n2-2n-2)λ]}1/2×

(37)

由(31)式得到广义KdV方程精确解行波解如下:

tanh(a{[2(2n+1)(3n2-2n-2)+

3n2(2n+1)2(n-2)]/[4b(n+1)(3n+2)2×

(n-2)+a(2n+1)(3n2-2n-2)λ]}1/2×

(38)

coth(a{[2(2n+1)(3n2-2n-2)+

3n2(2n+1)2(n-2)]/[4b(n+1)(3n+2)2×

(n-2)+a(2n+1)(3n2-2n-2)λ]}1/2×

(39)

情况2.4当m=1/2,k=1/2时,方程变为

ut+(aun-bu2n)ux+

λutxx+[u1/2(u1/2)xx]x=0.

(40)

令

u=v1/n,

(41)

将(41)式及m=1/2,k=1/2代入(10)式可得

-4cn2(n+1)v2(2n+1)+

4an2(2n+1)v3-4bn2(n+1)v4+

2n(n+1)(2n+1)(1-2cλ)vv″+

(1+n)(2n+1)[(1-2n)-

4cλ(1-n)](v′)2=0.

(42)

平衡v4和vv″得到M=1,假设(42)式具有如下形式解

v(ξ)=a0+a1Y.

(43)

将(43)式代入(42)式合并Y的相同幂次,并令每一项系数为零,得到关于a0、a1、c、μ、a、b、n的一个代数方程组:

-2cn2(2n+1)(n+1)+

(n+1)(2n+1)(1-2cλ)μ2=0,

-2cn2(2n+1)(n+1)+

(1+n)(2n+1)[(1-2n)-4cλ(1-n)]μ2-

2n(n+1)(2n+1)(1-2cλ)μ2=0,

(n+1)(2n+1)(1-2cλ))a0μ2=0,

(2n+1)[(1-2n)-4cλ(1-n)]μ2+

2n(2n+1)(1-2cλ)μ2=0.

(44)

利用代入消元法求解方程组(44)得到:

μ=±{[5bn2(n+1)+

b(1-2n)(n+1)]/[(2n+1)(n-5)-

12a2(2n+1)(1-n)λ]}1/2,

(45)

于是

tanh({[5bn2(n+1)+

b(1-2n)(n+1)]/[(2n+1)(n-5)-

12a2(2n+1)(1-n)λ]}1/2[x-

(46)

coth({[5bn2(n+1)+

b(1-2n)(n+1)]/[(2n+1)(n-5)-

12a2(2n+1)(1-n)λ]}1/2×

(47)

由(41)式得到广义KdV方程精确解行波解如下:

tanh({[5bn2(n+1)+

b(1-2n)(n+1)]/[(2n+1)(n-5)-

12a2(2n+1)(1-n)λ]}1/2[x-

(48)

coth({[5bn2(n+1)+

b(1-2n)(n+1)]/[(2n+1)(n-5)-

12a2(2n+1)(1-n)λ]}1/2[x-

(49)

3 结束语

本文把tanh函数方法应用于广义KdV方程,成功获得了广义KdV方程一系列的含多个参数的精确行波解,这些精确解丰富了广义KdV方程精确解的解系,有助于物理上对方程的研究.

[1] 张解放,陈芳跃. 截断展开法和广义变系数KdV方程[J]. 物理学报,2001,50(9):1648-1650.

[2] WANG M L, ZHOU Y B, LI Z B. Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J]. Phys Lett,1996,A216(1):67-75.

[3] 郭冠平,张解放. 关于双曲函数方法求孤波解的注记[J]. 物理学报,2002,51(6):1159-1162.

[4] YAN C T. A simple transformation for nonlinear waves[J]. Phys Lett,1996,A224(1/2):77-84.

[5] 向以华,石义霞. (2+1)维色散长波方程的扩展椭圆函数有理展开解法[J]. 数学杂志,2009,29(2):206-210.

[6] 曹瑞. 改进的F-展开方法和耦合Klein-Gordon方程的精确解[J]. 兰州大学学报(自然科学版),2007,43(6):112-116.

[7] 曹瑞. 一类广义Zakharov方程的精确行波解[J]. 数学杂志,2013,33(5):837-843.

[8] MCKEAN H P. Integrable Sustems and Algebraic Curves Global Analysis Lecture Notes in Matheatics[M]. Berlin:Springer-Verlag,1979:83-200.

[9] PELINOVSKY D, GRIMSHAW R. An asymptotic approach to solitary wave inatability and critical collapse in long-wave KdV-type evolution equations[J]. Physcia,1996,D98(1):139-155.

[10] CAMASSA R, HOLM D. An integrable shallow water equation with peaked solitions[J]. Phys Rev Lett,1993,71(11):1661-1664.

[11] DULLIN H R, GOTTWALD G A, HOLM D D. An integrable shallow water equation with linear and nonlinear dispersion[J]. Phys Rev Lett,2001,87(19):4501-4504.

[12] JOHNSON R S. Camassa-Holm equation Korteweg-de Vries and related models for water waves[J]. Fluid Mech,2002,457(455):63-82.

[13] BEALS R, SATTINGER D, SZMIGIELSKI J. Acoustic scattering and the extended Korteweg-de Vries hierarchy[J]. Adv Math,1998,140(2):190-206.

[14] ANN I. Global existence of solutions and breaking wave for shallow wave equations:a geometric approath[J]. Fourier(Grenoble),2000,50(2):321-362.

[15] CONSTANTIN A, ESCHER J. Global existence and blow-up for a shallow water equation[J]. Ann Scuola Norm Sup Pisa,1988,26(2):303-328.

[16] LIU Z R, QIAN T F. Peakons and their bifurcation in a generalized Camassa-Holm equation[J]. Int J Bifurcation Chaos,2001,11(3):781-792.

[17] LIU Z R, QIAN T F. Peakons of the Camassa-Holm equation[J]. Appl Math Model,2002,26(3):473-480.

[18] VAKHNENKO V O, PARKES E J. Periodic and solitary-wave solutions of the Degasperis-Procesi equation[J]. Chaos Solitons and Fractals,2004,20(5):1059-1073.

[19] LUNDMARK H, SZMIGIELSKI J. Multi-peakon solutions of the Degasperis-Procesi equation[J]. Inverse Problems,2003,19(6):1241-1245.

[20] DOOLEY A L. More on ocean rogues[J]. Society of Maritime Arbitrators Inc,2006,38(1):13-15.

[21] OSBORNE A R. The random and deterministic dynamics of “rogue waves” in unidirectional deep-water wave trains[J]. Marine Structures,2001,14(3):275-293.

[22] OSBORNE A R, MIGUEL O, MARINA S. The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave trains[J]. Phys Lett,2000,A275(5/6):386-393.

[23] WANG M L. Solitary wave solutions for variant Boussinesq equaions[J]. Phys Lett,1995,A199:169-172.

[24] WANG Y Y, HE J S, LI Y S. Soliton and rogue wave solution of the new nonau-tonomous nonlinear Schrödinger equation[J]. Commun Theory Phys,2011,56(6):995-1004.

[25] YAN Z Y. Nonautonomous “rogue” in the inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation with variable coefficients[J]. Phys Lett,2010,A374(4):672-679.

Travelling Wave Solution of the Generalized KdV Equation

WANG Xiaojiao, XIE Yingying, WANG Dazhao, ZHU Shihui

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper, we study a class of generalized KdV equations including the classical KdV equation, mKdV equation and Camassa-Holm equation. By using tanh function method, we obtain some new travelling wave solutions of the generalized KdV equation.

generalized KdV equation; tanh function method; travelling wave solution

2016-09-02

国家自然科学基金(11501395)和四川省杰出青年基金(2014JQ0039)

*通信作者简介：朱世辉(1983—),男,副教授,主要从事非线性方程爆破解动力学性质的研究,E-mail:shihuizhumath@163.com

O175.29

A

1001-8395(2017)05-0600-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.006

2010MSC：35C07; 35Q40

(编辑 李德华)