Clifford代数C(Λ)的E(n)-模代数结构

郑 烨

(江苏食品药品职业技术学院 基础部,江苏 淮安 223003)



Clifford代数C(Λ)的E(n)-模代数结构

郑 烨

(江苏食品药品职业技术学院 基础部,江苏 淮安 223003)

对于域k上任一个m×m矩阵Λ∈Symm(k)定义了一个Clifford代数C(Λ)，C(Λ)同构于自由代数Fm(Γ)模去某个理想I的商代数.证明了I是Fm(Γ)的E(n)-子模，由此推出C(Λ)也是一个E(n)-模代数，它的E(n)-模作用由E(n)在Fm(Γ)上的作用导出，记这样的Clifford E(n) -模代数为C(Λ,Γ)，同时刻画了C(Λ,Γ)的相关结构.

Clifford代数；E(n)；模代数

1 预备知识

Hopf代数是代数学的一个重要分支,起源于代数拓扑和代数群理论,它在现代代数学中有着广泛的应用.模代数是Hopf代数中很重要的一个概念.设k是一个域，chark≠2，E(n)(n是一个正整数)是域k上的2n+1-维Hopf代数[1-2].

xixj+xjxi=αij，1≤i,j≤n

简记C(V,Q)为C(M)，M=(αij)n×n称为Clifford代数C(V)的对称矩阵.

设Λ=(λij)m×m∈Symm(k)是数域k上的m×m对称矩阵，则Λ确定一个Clifford代数C(Λ)，C(Λ)作为代数由x1,x2,…,xm生成，满足关系式：

xixj+xjxi=λij，i,j=1,2,…,m.

定理1[5]设Γ=(γij)n×m∈Mn×m(k)是域k上的n×m的矩阵，则Fm是一个左E(n)-模代数，其模作用由Γ确定如下：

g·xj=-xj，hi·xj=γij，1≤i≤n，1≤j≤m.

引理1[6]设A=(αij)∈Mm(k)，Fm(Γ)的代数自同态φA如上，则φA是E(n)-模同态当且仅当ΓA=Γ.

定理2[6]设A=(αij)∈Mn(k)，则φA是Fm(Γ)的E(n)-模代数自同构当且仅当A是可逆矩阵，且ΓA=Γ.

2 主要结论及其证明

定理3 设Λ=(λij)m×m∈Symm(k)是数域k上的m×m对称矩阵，Γ=(γij)m×m∈Mm×m(k)是n×m矩阵，则C(Λ)是一个左E(n)-模代数，记作C(Λ,Γ)其模作用由下式确定：

g·xj=-xj，hi·xj=γij，1≤i≤n，1≤j≤m.

和

其中l=1,2,…,n，故ker(f)是Fm(Γ)的一个E(n)-子模，从而C(Λ)是一个左E(n)-模代数，模作用为：g·xj=-xj，hi·xj=γij，1≤i≤n，1≤j≤m.证毕.

以下我们固定一个m×m对称矩阵Λ=(λij)和一个m×m矩阵Γ=(γij)，则自然同态f:Fm(Γ)→C(Λ)，xjаxj是一个E(n)-模代数同态.任取域k上的一个m×m矩阵A=(αij)，则A确定了Fm(Γ)唯一的一个代数自同态φA.此时C(Λ,Γ)的一个线性变换

ψA:C(Λ,Γ)→C(Λ,Γ)

称为由φA诱导的，如以下交换:

↓f ↓f

注意，若这样的ψA存在，必是由φA唯一确定的.

引理2 设A=(αij)∈Mm(k)，则φA可诱导出C(Λ,Γ)的一个代数自同态ψA的充分必要条件是ATΛA=Λ，此时

证明 众所周知φA能诱导出C(Λ,Γ)的一个代数自同态的充分必要条件是φA(ker(f))⊆ker(f).下面在Fm(Γ)中计算，对任意的1≤i,j≤m，有

φA(xixj+xjxi-λij)=

φA(xixj)+φA(xjxi)-φA(λij)=

φA(xi)φA(xj)+φA(xj)φA(xi)-λij=

因此

φAker(f)⊆ker(f)⟺φA(xixj+xjxi-λij)∈

ker(f),∀1≤i,j≤m

进一步地，若φA诱导的ψA存在，则对任意的1≤i≤m，有

ψA(xi)=ψA(f(xi))=(ψAf)(xi)=

设A=(αij)∈Mm(k)，且φA可诱导出C(Λ,Γ)的一个代数自同态ψA，由引理2和引理1可得出ψA是E(n)-模同态的充分必要条件是ΓA=Γ.进一步可以得到φA可诱导出C(Λ,Γ)的一个E(n)-模代数自同态ψA的充分必要条件是ATΛA=Λ且ΓA=Γ.

引理3 设A=(αij)∈Mm(k)，且φA可诱导出C(Λ,Γ)的一个代数自同态ψA，则ψA是代数自同构的的充分必要条件是A为可逆矩阵.

证明 由引理2和假设条件知ATΛA=Λ.

设A是可逆矩阵，则由定理2的证明知φA可逆且φA-1=φA-1.因为ATΛA=Λ，所以(A-1)TΛA-1=Λ，再由引理3知φA-1可诱导出C(Λ,Γ)的一个代数自同态ψA-1，进一步地还有ψAψA-1=ψA-1ψA=id，故ψA是C(Λ,Γ)的代数自同构.

反之，假设ψA是C(Λ,Γ)的代数自同构.令

V=span{x1,x2,…,xm}

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[4]PERTTIL.CliffordAlgebrasandSpinors[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress, 2001.

[5]郑烨.自由代数Fm的E(n)-模代数的证明[J].山东理工大学学报(自然科学版)，2014，28(6)：59-61.

[6]郑烨.自由代数Fm的E(n)-模代数结构的研究[J].山东师范大学学报(自然科学版)，2015(3)：63-64.

(编辑：郝秀清)

Research ofE(n)- module algebra structure of the Clifford algebraC(Λ)

ZHENG Ye

(Department of Basic Course,Jiangsu Food and Pharmaceutica Science College,Huai′an 223003,China)

For a m×m and matrix Λ∈Symm(k) of field k， we defines a Clifford algebraC(Λ)，whichisisomorphictoafreealgebraicFm(Γ)modeltheidealIquotient.Firstly,weprovedthatIisFm(Γ)E (n) -submodule,thenconcludedthatC(Λ)isanE (n) -modelalgebra,whoseE (n) -modelactionisderivedfromtheFm(Γ)-model,here,wedenoteCliffordE (n) -modelalgebrabyC(Λ,Γ).AtthesametimewedescribedtherelatedstructureofC(Λ,Γ).

Cliffordalgebra；E (n)；modelalgebra

2016-03-17

郑烨,女,zhengyee@126.com

1672-6197(2017)01-0076-03

O153.3

A