浅谈数形结合思想方法

张建荣

(重庆市垫江县坪山小学校 重庆 408317)



浅谈数形结合思想方法

张建荣

(重庆市垫江县坪山小学校 重庆 408317)

数形结合由来已久，早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。

数与形是贯穿整个中学数学教材的两条主线,数与形的结合更是解题的重要方法。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”它包含“以形助数”和“以数助形”两个侧面。

下面主要从“以形助数”这个侧面在解题中的应用来进行研究，“以形助数”是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，借助图形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的。使抽象思维与形象思维结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有利于中学数学教学的发展。

运用数形结合方法研究解决有理数和方程、函数、不等式、三角函数、几何等数学问题，有利于沟通代数、三角与几何的联系，具有重要的意义。

1 数学课程中蕴涵着数形结合思想方法

数形结合思想方法是现行数学课程所渗透的重要思想方法之一。教材中的内容可以很好地培养和发展学生的数形结合思想，加强对现实生活的认识与理解，提高学生解决数学问题的能力。

在有理数的内容里，数轴是学生理解“相反意义的量”、“正数与负数”、“绝对值”等一些基本概念的数形结合的工具。数轴上的“点”与“数”对应的数形关系使“直线上的点”与“有理数”两个截然不同的概念得到了完美的统一，为我们解决有关数的问题提供了新的空间。一元一次方程的解可以用坐标系中直线和x轴的交点表示，一元二次方程的解可以用抛物线和x轴交点来讨论，这些方程的解与图象的点的数形结合思想方法在解题中有着明显的优势，关于高中数学课程中的数形结合思想的内容更是处处可见。当然教材并没有明确指出来，但是就这样才能潜移默化地影响学生的思维，无声无息地渗透到学生的大脑，与已有的思想方法融为一体，建立数形结合思想。教材中的数形结合思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可以从思想层面上指引思维进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观；教材中的数形结合思想方法的渗透还可以在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，迅速建立新旧概念之间的联系，提高数学认识能力，并由此提升已有的对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

2 数形结合思想方法的基本思路

数形结合思想方法的基本思路是，一方面根据数的结构特征，构造出与之相适用的集合图形后图象，然后利用图形的基本性质和直观明了的特点去处理解答数的问题；另一方面也可以依据几何图形的有关信息转化为相应的代数关系，利用代数关系的确定性和易于变形处理的特点讨论几何问题。下面就由数化形这个思想方法进行讨论。

在平时的课堂教学中，充分利用教材内容渗透数形结合思想，优化解题思路，提高数学创新意识，发展解题能力。数形结合思想不是一朝一夕就能领悟的，要在平时教学、练习中加强培养，鼓励自觉运用数与形的关系，课堂上加深对数学概念的几何意义的理解和学习，训练启发学生用数形结合思想指导自已的解题行为。要从具体的数学学习中提炼总结，形成数形结合思想，然后继续研究并应用于学习，逐步使这种思想方法具有一般意义和相对稳定的特征，最终成为学生思想和能力的一部分。

在数形结合思想方法的教学渗透中，有两个值得重视的问题。第一要用理性思维看待数形结合思想方法。任何一种思想方法都不是万能的，数形结合思想方法同样也不是万能的，学习中千万不可牵强附会，认为只要画个几何图形就是数形结合思想方法的体现。我们必须要求学生进入更高的理性思维阶段，充分运用辨证思维区分哪些适合数形结合思想方法，哪些不是数形结合思想方法，这样辨证的思考问题会更有利于数形结合思想的形成。第二是培养数形结合思想要有扎实的基础知识，真正掌握数形结合思想方法的精髓必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，那种只依赖于几个典型习题的理解就认为可以领会数形结合思想方法的做法，只能是一种舍本逐末的短视之举。为此要认真上好每一堂课，深入学习教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质，只有这样数形结合思想方法才能应运而生，才能不断深化提高。

3 数形结合思想解题的常用思维方法

“以形助数”的思想方法是数形结合思想的常用思维方法，它是根据题设条件通过数轴或坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，表示出数与式的本质特征。然后根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系。

总之，数形结合思想是中学数学思想中最基本，最重要的一种，是提高学生数学素养不可缺少的内容之一。中学数学就思想方法而言主要有方程和函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转换思想。数形结合思想是思想观。方法观中主要的一种。数学的进步与活力，总是依赖于具体对抽象的帮助，数形结合建立在数与形之间对应的基础上，而数轴和直角坐标系的建立使这种对应成为现实。引进坐标，建立数〔或数对〕与点、方程与曲线的联系，就可用几何形象来表现代数问题，用代数运算代替几何推理，使代数性质图示化，使抽象问题变得直观易懂。

G633

A

1672-5832(2017)07-0087-01