“分类假设法”解决相对问题

■贵州省桐梓县第二高级中学 侯光喜

“分类假设法”解决相对问题

■贵州省桐梓县第二高级中学 侯光喜

综观近几年的高考全国理综卷我们可以发现,2013年、2015年、2017年均有滑块—滑板模型的能力考查题出现。在此类问题中,二者的速度相同一定是个临界点,且速度相同后两物体的相对运动只有三种可能,即滑块相对滑板向左滑,滑块相对滑板向右滑,或二者相对静止。求解这类问题,我们可以采用“分类假设法”进行分析讨论。

第一类:滑块以一定的初速度滑上静止的滑板

如图1所示,质量为m的滑块以初速度v滑上质量为M的静止长木板,滑块与长木板间的动摩擦因数为μ1,长木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2,长木板足够长。

图1

分析:开始时滑块受到长木板对它的摩擦力f=μ1mg,长木板受到地面对它的摩擦力为f',且最大静摩擦力f'max=μ2g(M+m)。若f＜f'max,则长木板静止不动,滑块做减速运动,直至停止;若f＞f'max,则滑块做减速,长木板做初速度为零的加速运动,此后一定有二者速度相同时,当二者速度相同后两物体的运动只有三种情况。运用“分类假设法”逐一讨论如下:(1)假设滑块相对长木板向右滑,根据受力分析可以得出滑块的速度小于长木板的速度,即滑块相对长木板向左滑的结论,则假设不成立;(2)假设滑块相对长木板向左滑,根据受力分析可以得出滑块的速度大于长木板的速度,即滑块相对长木板向右滑的结论,则假设不成立;(3)根据以上分析可知,当二者速度相同后,滑块只能相对长木板静止,二者一起做减速运动直到停止。

例1一质量m=2kg的物块以水平初速度v0=9m/s滑上置于水平桌面上的长木板。长木板的质量M=1kg,长度l=8m,物块与长木板间的动摩擦因数μ1=0.4,长木板与桌面间的动摩擦因数μ2=0.1,取重力加速度g=10m/s2。在整个运动过程中,物块与长木板间产生的摩擦热为多少?

解:分别对物块与长木板进行受力分析,如图2所示。

图2

开始时,物块以加速度大小am=μ1g=4m/s2做减速运动,长木板以加速度大小做加速运动。假设二者达到相同速度v,所需时间为t,则v=v0-amt=aMt,解得t=1s,v=5m/s。在这一过程中,物块相对长木板的位移说明物块在二者速度相同前没有从长木板上掉下来,此后二者将相对静止一起减速运动直到停止。因此在整个过程中,物块与长木板间产生的摩擦热Q=μ1mgd=36J。

第二类:在运动的滑板上无初速度地释放滑块

如图3所示,一质量为M的长木板向右运动,当其速度为v时,无初速度地释放一质量为m的滑块到长木板右端,滑块与长木板间的动摩擦因数为μ1,长木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2,长木板足够长。

图3

分析:当滑块放到长木板上后,滑块做初速度为0,加速度大小a1=μ1g的加速运动,长木板做加速度大小减速运动直到二者速度相同。当二者速度相同后,两物体的相对运动仍然只有三种可能,同样运用“分类假设法”逐一讨论如下:(1)假设滑块相对长木板向左滑,根据受力分析可以得出滑块的速度大于长木板的速度,即滑块相对长木板向右滑的结论,则假设不成立;(2)假设滑块相对长木板向右滑,则长木板的受力可能为μ2(m+M)g＜μ1mg,μ2(m+M)g＞μ1mg,μ2(m+M)g=μ1mg,其中仅当μ1＜μ2时,滑块相对长木板向右滑的假设成立;(3)根据以上分析可知,当二者速度相同后,若μ1≥μ2,则滑块相对长木板静止一起做减速运动直到停止。

例2(2017年高考全国理综Ⅲ卷)如图4所示,两个滑块A和B的质量分别为mA=1kg和mB=5kg,放在静止于水平地面上的木板的两端,两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5。木板的质量m=4kg,与地面间的动摩擦因数μ2=0.1。某时刻A、B两滑块开始相向运动,初速度大小均为v0=3m/s。两滑块相遇时,滑块A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取g=10m/s2。求:

图4

(1)滑块B与木板相对静止时,木板的速度。

(2)A、B两滑块开始运动时,两者之间的距离。

解:(1)分别对A、B两滑块和木板进行受力分析,如图5所示。

图5

滑块A以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aA=5m/s2向右做减速运动,滑块B以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aB=5m/s2向左做减速运动,木板以加速度大小am=2.5m/s2向右从静止开始做加速运动。设从两滑块开始运动到滑块B与木板相对静止所需的时间为t,滑块B与木板相对静止时的速度为v,则v=v0-aAt=amt,解得t=0.4s,v=1m/s。

(2)当滑块B与木板的速度相同后,滑块B与木板的相对运动分为三种情况。

a.假设滑块B相对木板向右滑,受力分析如图5所示。滑块B向右做减速运动,木板向右做加速运动,与假设矛盾,故假设不成立。

b.假设滑块B相对木板向左滑,受力分析如图6所示。滑块B向右做加速运动,木板向右做减速运动,与假设矛盾,故假设不成立。

图6

c.因为上述两种情况不成立,所以滑块B只能相对木板静止。受力分析如图7所示。

图7

滑块A向右做减速运动直到速度为0后反向做加速运动,滑块B与木板一起向右做减速运动。设从滑块B与木板的速度相同到滑块A的速度减小为0所需时间为t',从滑块B与木板的速度相同到滑块A与木板恰好相对静止所需时间为t″,此时滑块A的速度为v',则0.2s,v'=v-at″=-1+aAt″,解得v'=0.5m/s,t″=0.3s。作出滑块A与滑块B的v-t图像如图8所示。因此两滑块开始运动时,两者之间的距离

图8

(责任编辑 张 巧)