二阶椭圆问题基于Morley元离散的内点惩罚间断有限元方法

汤 凯，黄学海，王文庆

(1.温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2.温州商学院，浙江温州 325035)

二阶椭圆问题基于Morley元离散的内点惩罚间断有限元方法

汤 凯1，黄学海1，王文庆2

(1.温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2.温州商学院，浙江温州 325035)

本文在离散的二阶椭圆边界值问题的基础上，通过引进内点惩罚项，构造了基于Morley元离散的内点惩罚间断有限元方法，并对此离散方法进行了先验误差分析.

二阶椭圆问题；内点惩罚间断有限元方法；Morley元；收敛性；误差估计

Morley元是六十年代出现的一种非协调元，它的形函数是完整的二次多项式，节点参数是单元顶点上的三个函数值及三边中点上的法向导数值.1975年，Lascaux和Lesaint[1]第一次用严格的数学方法证明了Morley元的收敛性，并假设真解在H4空间.后人证明，Morley元空间不能直接应用于二阶问题，而在本文中，原问题是二阶问题，我们对原问题进行了一些处理，经过处理后，原问题利用Morley元方法得到了很好的解决，并证明了经过这些处理后离散问题的收敛性.

1 预备知识

设Ω是二维凸多边形区域，边界Γ=∂Ω.考虑下面边界值问题：

现在定义跳跃函数[2]：在边界e上，对

定义 Morley元[3].给定一个三角元K，它的三个顶点记为对边记为分别为三角元K和边界Ej的长度，则Morley可以定义成

1）K是一个三角元；

2 方法描述

其中η充分大.于是离散变分问题可以写成：

定义网格依赖范数：

3 误差估计

其中u是（1）的解，uh是（6）的解，C表示一个不依赖于网格大小，只依赖于网格形状的正则性的常数，且C在以下不同地方出现时可以代表不同的值.

命题1 存在一个不依赖于h的正常数M＞0，使得

此外，存在不依赖于h的正常数α使得

由逆迹不等式[4]及不等式知：

将（9）式代入（8）式中，得：

由（10）式和（11）式，得：

证毕.

引理[2]设于是有：

证明：由φ的正则性知，在单元间的边界上，∇φ⋅n是连续的，即

根据跳跃的定义，得：

下面证明问题的收敛性.

由命题1知：

设wI是Vh中的插值，所以有误差估计：成立，所以

由命题1知，

证毕.

[1] Lascaux P, Lesaint P. Some nonconforming finite elements for the plate bending problem [J]. RAIRO Anal Numer,1975, 9: 9-53.

[2] Brezzi F, Manzini G, Marini D, et al. Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems [J]. Numer Meth Part D E, 2000, 16(4): 365-378.

[3] Wang M, Xu J C, Hu Y C. Modified Morley element method for a fourth-order elliptic singular perturbation problem[J]. J Comput Math, 2006, 24(2): 113-120.

[4] Brenner S C, Owens L, Sung L Y. A weakly over penalized symmetric interior penalty method [J]. Electron T Numer Ana, 2008, 30(11): 107-127

[5] Ciarlet P G. The finite element method for elliptic problems [M]. Amsterdam: North-Holland publishing company,1980: 138-139.

(编辑：王一芳)

Interior Point Penalty Discontinuous FEM Based on Morley Element Discretization for Second-order Elliptic Problems

TANG kai1, HUANG Xuehai1, WANG Wenqing2
(1. College of Mathematics and Information Sciences, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035;2. Wenzhou Business College, Wenzhou, China 325035)

The interior-point penalty discontinuous FEM is constructed based on Morley element discretization through the introduction of the interior point penalty term on the basis of the discrete second-order elliptic boundary value problem. The priori error analysis on this discrete method is proceeded in this paper.

Second-order Elliptic Problem; Interior Point Penalty Discontinuous FEM (Finite Element Method); Morley Element; Convergence; Error Estimation

O175

A

1674-3563(2017)04-0007-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-10-20

汤凯(1991- )，男，安徽蚌埠人，硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统