正、余弦定理的适用场合及解的个数讨论

芮科明

摘 要：正、余弦定理是解三角形的必备工具，什么场合用哪个定理，要视题目所给的条件而定。原则上，正弦定理适用于已知条件中有一组对边对角，余弦定理适用于已知条件中至少有两条边。三角形中已知条件为两边和其中一边的对角时，解的个数不确定，如果是使用正弦定理解题，则可以综合“三角形中角的正弦值的范围是大于0小于或等于1的数”及“大边对大角”来决定，如果是使用余弦定理解题，可由一元二次方程的正数解的个数来决定。

关键词：解三角形；正弦定理；余弦定理

普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5的导引对解三角形的地位和作用作了如下阐述：“三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系是最基本的数量关系，有着极其广泛的应用。”解三角形的理论依据和必不可少的工具当属正弦定理和余弦定理，它们揭示了三角形中边和角的本质的数量关系。

那么，到底什么场合该用正弦定理，什么场合该用余弦定理，满足要求的结果有几个？要回答这一系列问题，需从下面通过三点来展开讨论。

一、 正、余弦定理各自适用的场合

我们首先回到定理内容的本身来：

正弦定理：asinA=bsinB=csinC，余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC。

從对定理公式本身的观察不难发现，正弦定理适用的场合是已知条件中有一组对边对角，余弦定理适用的场合是已知条件中至少有两条边。

其次，具体来说，根据已知条件呈现的方式来看，基本上有四种类型：（一）已知两角及其夹边或已知两角及其中一角的对边，（二）已知两边及其夹角，（三）已知三边，（四）已知两边和其中一边的对角。

我们来逐一分析以上四种情况：对于（一），若已知两角及其夹边，根据三角形内角和定理可知，实际上已知第三个角和它的对边，若已知两角及其中一角的对边，则它们都具备一组对边对角的条件，故可以使用正弦定理来解决问题，对于（二）和（三），没有出现一组对边对角的已知条件，但都至少已知两边，因此可以使用余弦定理来解决问题，对于（四），已知条件中既有一组对边对角，又有两条边，因此两个定理都可以用来解决此类问题。

厘清不同类型的题目选择哪个定理后，再来考虑最终结果解的个数问题。

二、 不同题型解的个数讨论

由三角形全等的知识可知在上述（一）（二）（三）这三种情形下的三角形的形状大小是确定的，故解的结果是唯一的，对于类型（四）中的三角形，由于无法判定它的形状大小的确定性，故结果可能有无解、唯一解或两个解三种情况。

也就是说，只有当已知条件是两边和其中一边对角时，解的个数是不确定的，那么如何准确判断解的个数情况呢？下面通过一个例子来说明。

例1 在△ABC中，已知AB=2，∠A=45°，在BC边的长分别为2，233，12情况下，求相应角C。

解：由正弦定理得sinC=ABsinABC=1BC

（1） 当BC=2时，sinC=12；∵BC>AB，根据大边对大角，∴∠A>∠C，∴∠C=30°；

（2） 当BC=233时，sinC=32；∵BC

（3） 当BC=1时，sinC=1；有唯一解，∠C=90°；

（4） 当BC=12，sinC=2>1；∠C不存在，此种情况无解。

由此可见，在已知条件为两边和其中一边的对角（为了方便叙述，不妨假设已知角A，边a、b）的情况下，根据正弦定理算出sinB=bsinAa，若sinB>1，本题无解，若sinB=1，则B=90°，本题有唯一解，若0

前面说过，已知条件是两边和其中一边对角的情形也可以用余弦定理来解，此时解的个数又如何判断呢？下面看一个具体例子。

例2 在△ABC中，已知AB=2，∠A=45°，在BC边的长分别为2，233，1，12的情况下，求边AC。

解：设AC=x，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，代入数据并化简得：BC2=x2-2x+2，

若BC=2，代入得方程x2-2x-2=0，求得一个正数解AC=1+3；

若BC=233，代入得方程3x2-6x+2=0，求得两个正数解AC=3+33或AC=3-33；

若BC=1，代入得方程x2-2x+1=0，得唯一解AC=1；

若BC=12，代入得方程4x2-8x+7=0，由根的判别式知此方程无解。

与用正弦定理的解法相对应，可知用余弦定理解此类问题时，解的个数直接由化简后的一元二次方程的正数解的个数决定。

三、 总结梳理与实际应用

通过以上两点的讨论，为了清晰反映结论，把总结所得列表如下：

由正弦定理算出sinB=bsinAa，若sinB>1，则无解；若sinB=1，则B=90°，有唯一解；若0

由余弦定理得关于c的一元二次方程：

c2-（2bcosA）c+b2-a2=0，解的个数由该一元二次方程的正数根决定。

下面再通过一个具体例子来梳理一下所得结论的应用。

例3 在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）

A. a=60，c=48，B=100°

B. a=10，B=45°，A=70°

C. a=7，b=5，A=80°

D. a=14，b=16，A=45°

分析：选项A已知两边及其夹角，选项B已知两角及其中一角的对边，这两种情况显然不必计算即可确定它们都有唯一解，选项C、D都是已知两边a，b和边a的对角A，根据正弦定理asinA=bsinB得sinB=bsinAa，对于选项C，sinB=bsinAa=bsinAa=5sin80°7，

此时0b，根据大边对大角可知A>B，所以角B唯一，對于选项D，sinB=bsinAa=bsinAa=16sin45°14=427，此时0a，根据大边对大角可知B>A，所以角B可以为锐角也可以为钝角，综上所述，选项D符合。

例4 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（3-1） nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向距离A 2 nmile的C处的缉私船奉命以103 nmile/h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 nmile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析：设缉私船用x h在D处追上走私船，则有CD=103x，BD=10x，△ABC中，已知两边AB、AC及其夹角∠BAC，可用余弦定理解出BC，△BCD中，已知一组对边对角BC和∠CBD，可用正弦定理来解，另外也可把CD=103x，BD=10x先当作已知边用余弦定理来列出一个一元二次方程来解。

解：在△ABC中，∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°，

∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC

=（3-1）2+22-2·（3-1）·2·cos120°=6，

∴BC=6。

∵cos∠CBA=BC2+AB2-AC22BC·AB=6+（3-1）2-426（3-1）=22，

∴∠CBA=45°，即B在C正东方向。

∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理得：

sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=10xsin120°103x=12，

∴∠BCD=30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船。

另解：在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD，代入数据并化简得：100x2-56x-3=0，解得正根x=610，所以BD=6=BC，同样得到∠BCD=30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船。