基于Gumbel极值I型分布下边坡稳定性二元指标体系研究

覃万里 李晓峰 陈将宏

(三峡大学 三峡库区地质灾害教育部重点实验室， 湖北 宜昌 443002)

基于Gumbel极值I型分布下边坡稳定性二元指标体系研究

覃万里 李晓峰 陈将宏

(三峡大学 三峡库区地质灾害教育部重点实验室， 湖北 宜昌 443002)

在边坡稳定性评价中，安全系数是常用的方法，但其不能考虑岩土参数实际存在的不确定性，而概率统计中的可靠度理论可对参数的不确定性进行模拟．为了更加准确地对边坡进行稳定性评价，可将安全系数与可靠性联合起来，对实际边坡的稳定性进行二元评价．设安全系数服从Gumbel极值I型分布，取一组步距一定的中值安全系数和变异系数，在边坡每个中值安全系数的不同变异系数下，计算得到破坏概率Pf的一个矩阵，进而算出可靠度，将中值安全系数与对应的可靠度相乘，得到边坡稳定性的二元评价指标．根据三峡库区某段滑坡的岩土体参数，用矩估计原理估算部分参数，得出参数的所有组合后，计算出所有的安全系数和破坏概率，用前面绘制出的边坡稳定性分区图检验，结果与实际工况相符，说明基于Gumbel极值I型分布下边坡稳定性判别可用于实际工程中．

边坡稳定性； 最大可能安全系数； Gumbel极值I型分布； 可靠性； 折减安全系数； 二元指标体系

0 引 言

将概率统计中的可靠性理论用于边坡稳定性评价中，可有效地解决岩土参数的不确定性问题，但如何将可靠性理论更好地与安全系数相结合，并更好地在工程实践中应用，是边坡进行稳定性评价中的关键问题．

现有的研究中，郑颖人等[1]基于极限平衡理论，考虑运动许可条件，提出一种局部最小安全系数来评价边坡稳定性．张文杰等[2]考虑边坡各种参数的空间变异性，通过蒙特卡罗随机抽样对垃圾填埋场边坡进行可靠性分析．研究表明，在对具有空间变异性的边坡进行可靠性分析时，首先必须弄清各种参数的概率分布特征以及变异规律．罗文强等[3]建立了安全系数与可靠性相耦合的二元评价体系，通过取参数的平均值，计算得到最大可能安全系数．然后基于安全系数服从正态分布的假定，计算得到边坡的破坏概率，进而得到可靠度，最后将两者相乘，由折减后的最大可能安全系数，得到边坡稳定性的二元评价指标．刘小强等[4]通过综合极限平衡法和可靠性理论，以传统边坡稳定性方法为基础，考虑实际边坡工程中安全系数与其临界值的相互关系，提出了一种基于随机二元指标的边坡稳定性分析及评价的新方法．桂勇等[5]考虑到边坡材料指标具有区间分布的不确定性，选取蒙特卡罗模拟法，抽取一组样本值，计算出随即安全系数，重复N次，计算出N个安全系数，根据稳定边坡的安全系数不能小于其临界值的特点，计算出破坏概率，进而提出了一种更加符合工程实际的边坡稳定二元评价体系．同时，将该二元评价体系融入Geo Studio软件，形成了一套完整而高效的边坡稳定二元指标分析方法．陈昌富等[6]基于简化Bishop极限平衡法，考虑了边坡岩土强度参数的时间和空间效应，用蒙特卡罗随机抽样法，搜索出了最危险滑动面位置及最小安全系数，但未对可靠性作进一步研究．赵建军等[7]采用因子分析法，选取了最重要的7个地质指标，分别分析了对边坡稳定性的影响大小，然后评价打分，并将得分进行归一化处理后，作为指标的权重值．张仕伦等[8]针对山区松散体边坡因复杂的内部结构与外界环境等影响因素，提出了基于模糊分析的松散体边坡稳定性评价模型．李侃等[9]将蒙特卡洛模拟岩土参数方法应用于边坡可靠性评价，由于参数的不确定性，所以先用Matlab统计分析出各个参数的分布类型，再模拟岩土体物理力学参数作为输入变量，可得边坡安全系数、可靠度和破坏概率．周圆兀等[10]对于滑面为沿岩基面的土质边坡和滑面为结构面的岩质边坡，采用不平衡推力法计算安全系数，将求安全系数转化为一个优化问题，并采用内点法和遗传算法来寻找安全系数．康海贵等[11]研究了岩土参数对边坡稳定性的两大评价体系(安全系数法与可靠指标法)的影响，将粘聚力与容重的比值归一为变量Hc，以纯黏性土，均质边坡不同坡角时的确定性模型为对象，深入研究了不同的确定性模型情况下，Hc的概率分布类型、均值变化与边坡稳定安全系数的关系及变异特征对边坡失效概率和可靠指标的影响作用等．李亮等[12]以Bishop的条分法来计算可靠度，把土层剖面当作随机场，考虑了土的抗剪强度指标c，φ的点变异性和空间变异性．

这些对于边坡稳定性的研究从评价体系的各个方面进行了探索，本文以基于Gumbel极值I型分布为假设，考虑了可靠度对中值安全系数的折减，根据折减后安全系数的极限状态，反推出临界变异系数和临界破坏概率，然后绘制出边坡稳定性分区图．

1 边坡稳定性二元指标体系

1.1 安全系数与破坏概率

传统边坡稳定性用安全系数表示，是一种偏向定性的稳定性分析方法，安全系数等于抗滑力矩(MR)与下滑力矩(MS)的比值，如式(1)所示．

式中，MR为抗滑力矩；MS为下滑力矩；且两者均为状态函数．X1，X2，…，Xm分别为容重，粘聚力，内摩擦角等计算参数，在实际的边坡中均具有一定的随机性，但又具有一定的分布规律，本文在极值分布的情况下进行研究．

安全系数由于岩土参数的离散性，所以存在一定的不确定性，但结合可靠度理论可有效的弥补这一缺点，假定粘聚力，内摩擦角等参数服从极值Ⅰ型分布，通过(2)式可求出破坏概率进而得出边坡的可靠性．

式中，λ为位置参数，α为尺度参数．

其中

式中，γ=0.577 215 664 9…为欧拉常数，u和σ分别为均值和标准差．

1.2 标准差估计

由上述计算破坏概率的公式，可以看出均值u和标准差σ有着至关重要的作用，而实际工程中边坡的安全系数，由于勘测的局限性，以及计算安全系数方法的不同，导致得出的安全系数样本小，从而无法通过式(5)计算得出可靠的均值和标准差．

当安全系数样本较小时，可以用式(6)来估计安全系数的标准差

估计变异系数的时候可以根据类比工程经验的方法，查阅相关历史文献后来确定出合理的值．

1.3 矩估计方法

矩估计原理简单、使用方便，使用时可以不知总体的分布，而且具有一定的优良性质，另一方面它只涉及总体的一些数字特征，并未用到总体的分布，因此矩估计实际上只集中了总体的部分信息，这样在估计小样本岩土参数时可以更加接近实际情况．

对式(1)中岩土参数的估计，一般在参数xi(i=1，2，…，m)的区间(xmin，xmax)上分别对称地取2个点，可以取均值uxi的正负一个标准差σxi，即

对于m个参数，可取2m个点，然后将2m个点进行两两组合，使每组中都包含有不同类型的参数．在2m个组合下，可求得2m个安全系数F．F的均值和标准差分别为

其中，

式中，ρ(i-1)i为变量xi-1与xi之间的相关系数．

ei(i=1，2，…，m)取值为：当xi=xi1时，ei=1；当xi=xi2时，ei=-1．

1.4 极值分布下二元指标体系的建立

设安全系数服从极值分布，取按一定步距排列的最大可能安全系数F0(由各个岩土参数的平均值代入式(1)计算得出，亦称中值安全系数或期望)和变异系数δF，然后由式(6)计算出安全系数的标准差，代入式(2)计算可得到破坏概率的一个矩阵，根据边坡最大可能安全系数以及不同变异系数下的可靠概率(1-Pf)共同度量边坡稳定性，不同安全系数和不同变异系数下的破坏概率计算值列于表1．

表1 极值分布下边坡的破坏概率

将表1中边坡的最大可能安全系数与可靠性相乘，考虑了边坡的可靠度对最大可能安全系数的折减，计算出了可靠的安全系数，记为F1，即

式中，F0表示最大可能安全系数，亦称中值安全系数或期望；Pf表示边坡破坏概率．

例如：F0=1.05，δF=0.02，Pf=0.0261，由(11)式计算可得F1=1.023．

当折减后的安全系数达到临界状态时，即折减的安全系数等于1，可以算出与上述最大可能安全系数F0相对应的临界破坏概率P0，还可以根据式(2)(3)(4)(6)反推出临界变异系数δ0．可将折减后的安全系数与1进行比较，若大于1，则边坡稳定；若小于1，则边坡失稳；若等于1，则边坡处于极限状态．最大可能安全系数F0与临界破坏概率P0以及临界变异系数δ0计算值列于表2，最大可能安全系数F0与临界破坏概率P0关系曲线图见图1，最大可能安全系数F0与临界变异系数δ0关系曲线图见图2．

表2 最大可能安全系数，临界破坏概率及临界变异系数

根据表2中计算出的边坡临界破坏概率P0和临界变异系数δ0可分别画出两者与最大可能安全系数F0的曲线关系，从而得出边坡在不同的最大可能安全系数下，所能达到极限失稳状态的规律，以及不同最大可能安全系数下，所对应极限变异程度的规律．

图1 最大可能安全系数F0与临界破坏概率P0的变化规律

由图1总体而言，随着最大可能安全系数F0(所有可能安全系数的平均值，亦称中值安全系数或期望)的增大，临界破坏概率P0(在特定的最大可能安全系数下，边坡即将发生破坏时的概率，即折减后安全系数小于1时的破坏概率)逐渐增大．最大可能安全系数在1.4之前，曲线的斜率较小，但随着最大可能安全系数的增大，曲线的斜率逐渐增大．边坡的安全系数服从Gumbel极值Ⅰ型分布时，可用图1进行稳定性判别，若在特定的最大可能安全系数下，破坏概率在临界破坏概率之上，则边坡失稳；破坏概率在临界破坏概率之下，则边坡稳定．

图2 最大可能安全系数F0和临界变异系数δ0的变化规律

由图2可以看出，随着最大可能安全系数的增大，临界变异系数开始逐渐增大，但是当最大可能安全系数达到1.8时，临界变异系数突然变为负值，结合图1可知此时临界破坏概率为0.444，但其临界变异系数却为-12.439，说明此时破坏概率不可能达到临界值，边坡在此最大可能安全系数下始终安全．

2 工程实例

计算实例中的滑坡为三峡库区某滑坡，图3为研究实例的工程地质断面图，对该滑坡采用不平衡推力法进行计算，剖面条块示意图如图4所示．

图3 工程地质断面图

图4 剖面条块示意图

设状态函数为安全系数FS，由不平衡力法有

Fi=[(w1i+w2i)sinαi+Dicos(αi-βi)]-

式中，W1i，W2i为土条中浸润线以上土条的重力，土条中浸润线以下土条的浮重；Fi，Fi-1为本条和上一条剩余下滑力；αi，αi-1为本条和上一条滑面倾角；ci，φi为滑带土的粘聚力和内摩擦角；Fs为滑坡的安全系数；ψi-1为i-1条块的剩余下滑力传递至i条块的传递系数；Di为渗透压力，Di=γwAisinβi，其中γw为水的容重，Ai为土条中饱和浸水面积，sinβi为水力坡降．其方向与水流方向一致，与水平向的夹角为βi．

式(12)右边共有三项，第一项为本条土体的下滑力S，第二项为本条土体抗滑力R，第三项为上一条土体传递的推力．计算时，第一条土体的第三项为0，通过式(12)不断迭代不同的FS，使最后一条土体的剩余下滑力为0，此时的FS即为该滑坡的安全系数．

本实例中抗剪强度参数c，φ的变异性非常显著，为随机变量，其均值和变异系数分别为uc=20.0 kPa，δc=0.3，uφ=17°，δφ=0.3，其他参数变异性小，可作常量处理．斜坡的安全系数FS可简化为除常量外的随机变量c和φ的函数．即

Fs={Fi-1*(cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)*

取第18条块(i=18)的土体来计算，其中F17为上一条土体的剩余下滑力计算得196.93 kN/m，F18为本条土体的剩余下滑力为0，c为粘聚力矩阵估值分别为14 kp，14 kp，26 kp，26 kp，φ为内摩擦角矩阵估值分别为11.9°，22.1°，11.9°，22.1°，W为土条的重力测得为1 622.07 kN/m，α18，α17为本条和上一条滑面倾角分别为17.0°和10.8°，l为滑面长测得为5.15 m，DT为垂直坡面的渗透压力计算得93.99 kN/m，S为下滑力计算得316.95 kN/m．将以上数据带入计算出FS分别为0.565，1.449，0.760，1.644．

设随机变量c，φ相互独立，即ρc，φ=0．

由式(10)式可得：

由式(8)，(9)可得：

破坏概率Pf=34.14%，将c，φ的平均值代入计算可得最大可能安全系数为1.10，对照图1，该边坡处于失稳状态，需要进行工程治理．

3 结 论

1)将安全系数与可靠性理论相结合，建立安全系数与可靠度联合判别边坡稳定的二元指标体系，可更准确地判断边坡的地质情况，更好地为工程治理服务．2)Gumbel极值Ⅰ型分布可很好地模拟实际工程中安全系数的分布情况，从而更准确地计算出边坡的可靠性．3)根据边坡在不同最大可能安全系数下，所能达到的极限失稳状态规律，所绘制出的稳定性分区图，可更方便、直观地分析边坡稳定性．

[1] 杨明成，郑颖人．基于极限平衡理论的局部最小安全系数法[J]．岩土工程学报，2002，24(5)：600-604．

[2] 张文杰，邱清文．垃圾填埋场边坡稳定可靠度分析[J]．岩石力学与工程学报，2010，29(1)：2954-2963．

[3] 罗文强，王亮清，龚 珏．正态分布下边坡稳定性二元指标体系研究[J]．岩石力学与工程学报，2005，24(13)：2288-2292．

[4] 刘小强，周世良，尚明芳，等．基于随机二元指标的边坡稳定性分析[J]．西北地震学报，2011，33：99-104．

[5] 桂 勇，邓通发，罗嗣海，等．基于蒙特卡罗边坡稳定二元体系的建立与应用[J]．岩土力学，2014，35(7)：1979-1986．

[6] 陈昌富，秦海军．考虑强度参数时间和深度效应边坡稳定性分析[J]．湖南大学学报，2009，36(10)：1-6．

[7] 赵建军，贺宇航，黄润秋，等．基于因子分析法的边坡稳定性评价指标权重[J]．西南交通大学学报，2015，50(2)：325-330．

[8] 张仕伦，张孟喜，吉随旺，等．基于模糊分析的松散体边坡稳定性评价[J]．上海交通大学学报，2015，49(7)：1035-1039．

[9] 李 侃，巨能攀，等．基于蒙特卡洛方法的边坡可靠性评价[J]．中国地质灾害与防治学报，2014，25(1)：23-27．

[10] 周圆兀，韩晓伟，陈 鲍．基于不平衡推力法的边坡稳定性系数优化计算方法[J]．广西科技大学学报，2016，27(1)：71-74．

[11] 康海贵，李 炜．边坡稳定安全系数及其与土性参数及失效概率关系研究[J]．大连理工大学学报，2008，48(6)：856-862．

[12] 李 亮，张丙强．相关性对边坡整体稳定性的影响[J]．铁道科学与工程学报，2004，1(1)：62-68．

StudyofTwoDimensionalIndexSystemofSlopeStabilityBasedonGumbelExtremeValueIDistribution

Qin Wanli Li Xiaofeng Chen Jianghong

(Key Laboratory of Geological Hazards on Three Gorges Reservoir Area of Education Ministry, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

In the slope stability evaluation, safety factor is a common method; but it can not take into account the actual uncertainty of geotechnical parameters; reliability theory in probability statistics can simulate the uncertainty of parameters. In order to evaluate the slope stability more accurately, a two element evaluation system for the coupling of safety factor and reliability is established. Supposing the safety factor obeys the Gumbel extreme value I type distribution and taking a set of median safety coefficients and variation coefficient with a certain step distance, a matrix for failure probability of slopePfis obtained; multiplying the median safety coefficients with the reliability of the slope, a two-dimensional evaluation index of slope stability is obtained. According to the parameters of rock and soil in the Three Gorges Reservoir area, some parameters are estimated by using the moment estimation principle; all the combinations of parameters, all the safety factors and failure probabilities are calculated, and then to test them by using a zoning map of slope stability plotted in the preceding. The results agree well with the actual engineering situation, so as to show that the two element index system for slope stability identification is feasible.

slope stability; maximum possible safety factor; Gumbel extreme value I type； reliability; reduction safety factor; two element index system

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.05.003

2017-06-23

国家重点研发计划(2016YFC0400200); 国家自然科学基金(51439003)

陈将宏(1979-)，男，博士研究生，主要从事边坡可靠度分析研究．E-mail：463916866@qq.com

TV698.2+32

A

1672-948X(2017)05-0012-05

[责任编辑周文凯]