函数的定义域与值域“相似”问题初探

山东省淄博市实验中学 李 兵 (邮编：255090)

函数的定义域与值域“相似”问题初探

山东省淄博市实验中学 李 兵 (邮编：255090)

在茫茫函数中,有些函数具有如下特征：当自变量取定义域D内的某个区间[a,b]时,其函数值的取值区间与[a,b]“相似”.函数的这一特殊的性质经常出现在各类试题中,而学生解答这类问题时往往感到束手无策,不得其门.下面我们就这类问题作一个集中探讨,以期找到解决这类问题的方法和规律。

1 单调“正相似”或全等

设函数y＝f(x)在[a,b]是增函数,且f(x)的值域为[a,b]上有两个相异实根.此时可利用函数与方程、数形结合的思想解决这类问题.

例1 已知函数f(x)＝x2－2kx＋k＋1.

(1)若函数在区间[1,2]上有最小值－5,求k的值;

(2)若同时满足下列条件①函数f(x)在区间D上单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称y＝f(x)为区间D上的闭函数.试判断函数f(x)＝x2－2kx＋k＋1是否为区间[k,＋∞)上的闭函数?若是,求出实数k的取值范围;若否,请说明理由.

解 (1)f(x)＝x2－2kx＋k＋1＝(x－k)2－k2＋k＋1,对称轴x＝k.

①当k＜1时,fmin(x)＝f(1)＝1－2k＋k＋1＝－5,解得k＝7(舍去);

②当1≤k≤2时,fmin(x)＝f(k)＝－k2＋k＋1＝－5,解得k＝－2或3(舍去);

③当k＞2时,fmin(x)＝f(2)＝4－4k＋k＋1＝－5,解得k＝.

(2)由函数f(x)＝x2－2kx＋k＋1的图象开口向上且对称轴为x＝k,

得f(x)＝x2－2kx＋k＋1在区间[k,＋∞)上是增函数,满足条件①.

假设存在区间[a,b]⊆[k,＋∞),使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则有即方程x2－2kx＋k＋1＝x在[k,＋∞)上有两个不同实数根,得

2 单调“负相似”

设函数y＝f(x)在[a,b]是减函数,且f(x)的值域为＝0在[a,b]上有两个相异实根.解法与单调“正相似”的思路一致.

例2 函数f(x)的定义域为D,若满足：①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[－b,－a],那么y＝f(x)叫做对称函数,现有f(x)＝－k是对称函数,那么k的取值范围是 .

所以k＝－t2＋t＋2＝－取值范围是

3 单调“逆相似”和“模糊相似”

设函数y＝f(x)在[a,b]是减函数,且f(x)的值域为此时解关于a、b的方程即可;

设函数y＝f(x)在[a,b]不是单调函数,且f(x)的值域为此时结合函数图象,利用函数的单调性求函数的最值.

A.1对 B.2对 C.3对 D.无数对

a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)＝0,

a＝1时,b＝－2,舍去.a＝－2时,b＝1,即实数对(－2,1)满足条件.

min－2.2,因为f(－2.2)＝f(6.2),故当2＜b＜6.2时,因f(－2.2)＝＜2,易知,不存在这样的实数b;当b≥6.2时,由f(b)＝b得b2－9b－7＝0,

综上所述,存在两组实数对(a,b)满足条件.

4 在曲折的函数中寻觅“相似”

有些高次多项式函数和超越函数的图象很“曲折”,是否存在定义域和值域“相似”的情况呢?要对定义域进行分段讨论,分析在每一个区间上是单调性,能否把问题转化成前面讲过的类型.必要时可采用排除法剔除不合题意的区间.

例4 设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的图象在x＝1处取得极值4.

(Ⅰ)求函数y＝f(x)的单调区间;

(Ⅱ)对于函数y＝g(x),若存在两个不等正数s、t(s＜t),当s≤x≤t,函数y＝g(x)的值域[s,t],则把区间[s,t]叫函数y＝g(x)的“正保值区间”.问函数f(x)是否存在“正保值区间”?若存在,求出所有的“正保值区间”;若不存在,请说明理由.

解 (Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋b,

所以f(x)＝x3－6x2＋9x,f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3).

由f′(x)＞0,解得x＜1或x＞3,

所以函数f(x)的递增区间为(－∞,1)和(3,＋∞),递减区间是(1,3).(Ⅱ)设函数f(x)的“正保值区间”是[s,t],所以f(3)＝0＜s,所以极值点x＝3∉[s,t],

(1)若极值点x＝1∈[s,t],此时0＜s≤1≤t＜3,在此区间上f(x)的最大值是f(1)＝4,不可能等于t.若3∈[s,t],则f(3)＝0与s＞0矛盾.故在区间[s,t]上没有极值点,即[s,t]为单调区间;

(2)若f(x)＝x3－6x2＋9x在[s,t]单调递增,即0＜s＜t≤1或3＜s＜t,

(3)若f(x)＝x3－6x2＋9x在[s,t]单调递

两式相减并除以s－t得(s＋t)2－6(s＋t)－st＋10＝0 ①

两式相除可得[s(s－3)]2＝[t(t－3)]2,即s(3－s)＝t(3－t),

整理并除以s－t得s＋t＝3, ②

综上所述,不存在满足条件的s,t,即函数不存在“正保值区间”.

5 函数定义域与值域的假“全等”

b＝f(a)＝f(b),

∴a≤1,2＜b.

a＝0或a＝4(舍去).∴b＝4,a＋b＝4.

说明 函数的值域是函数值的集合,其中不能含有不是函数值的元素.此题并不等价于f(x)的定义域和值域均为[a,b],因为f(x)有最小值1,当a≤1,b＞1时值域不同,定义域可以相同.

6 两个函数间的“跨界相似”

两个函数的定义域相同,值域具有相关性时,要结合两个函数的单调性,分别找出它们值域间的等量关系,再利用函数与方程的思想去解决.

(1)求g(x)的解析式;

(2)讨论g(x)在(1,＋∞)内的单调性,并加以证明;

(3)令h(x)＝1＋logax,当[m,n]⊆(1,＋∞)(m＜n)时,g(x)在[m,n]上的值域为[h(n),h(m)],求a的取值范围.

根据复合函数的单调性可得

a＞1时,g(x)在(1,＋∞)内是增函数;0＜a＜1时,在(1,＋∞)内是减函数.

(3)当0＜a＜1时,f(x)、g(x)在(1,＋∞)上都是减函数,由题意得

由g(x)＝h(x)得,ax2＋(a－1)x＋1＝0.

令s(x)＝ax2＋(a－1)x＋1,则s(x)在(1,＋∞)内有两个大于1的零点,

当a＞1时,h(n)＞h(m),区间[h(n),h(m)]不成立,舍去.

2017-09-29)