两类高考常考的双曲线

辽宁抚顺市四方高级中学 孟庆杰 (邮编：113122)

两类高考常考的双曲线

辽宁抚顺市四方高级中学 孟庆杰 (邮编：113122)

离心率为和的两类双曲线,在高考试题中频频出现.他们就像一对兄弟,一会儿独立出现,一会儿联手出现.其实他们既有亲密关系,又有独立性质.如果能弄清他们的关系与性质,则此类高考试题顺利解决.

高考;双曲线;离心率

1 两类双曲线的关系及性质

1.1 基本性质(以焦点在x轴上为例)

设双曲线的实半轴为a,虚半轴为b,半焦距为c,离心率为e.

(1)基本关系

(2)本身关系

①离心率为 5的双曲线,焦点到渐近线的距离d＝b＝2a;离心率为的双曲线,焦点到渐近线的距离d＝b＝a.

1.2 相似性质

(1)与中点有关的性质

①已知双曲线的中心为坐标原点,F是双曲线的一个焦点.则双曲线的离心率为 5的充要条件是在双曲线上存在点P,使PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点.

充分性 由题意及中点坐标公式,得P(－c,2b),将点P坐标代入方程,得e＝ 5.

必要性 连接FB并延长到点P,使FB＝BP,由中点坐标公式,得P(－c,2b).又e＝5,所以将P坐标代入方程,得所以点P在双曲线上.焦点在y时,同理可证结论成立.

说明 当F为右焦点时,还有一个符合条件的P2;当F为左焦点时,也有两个符合条件的P3和P1,如图1.

图1

②已知双曲线的中心为坐标原点O,F是双曲线的一个焦点,点A为虚轴上一点且 OA 等于虚轴长,则双曲线的离心率为的充要条件是延长AF交双曲线于P点,且AF＝FP.证明 由题意不妨设双曲线方程为＝1(a＞0,b＞0),F(c,0),虚轴上的点A(0,2b),如图2.

充分性 由题意及中点坐标公式,得P(2c,－2b),将点P坐标代入方程,得e＝.

必要性 连接AF并延长到点P,使AF＝FP,由中点坐标公式,得P(2c,－2b).又e＝,所以将P坐标代入方程,得－4＝1,所以点P在双曲线上.焦点在y时,同理可证结论成立.

说明 当F为右焦点时,还有一个符合条件的P1;当F为左焦点时,也有两个符合条件的P3和P2,如图2.

(2)与等差数列有关的性质

图2

图3

说明 当F为右焦点时,还有一个符合条件的l;当F为左焦点时,也有两个符合条件的l,如图3.

图4

说明 当F为右焦点时,还有一个符合条件的l;当F为左焦点时,也有两个符合条件的l,如图4.

①已知双曲线方程为 ＝1(a＞0,b＞0),抛物线方程为y＝kx2＋m.证明：

(i)若双曲线离心率为 5且km＝1,则抛物线与双曲线的渐近线相切;(ii)若双曲线离心率为 5且抛物线与双曲线的渐近线相切,则km＝1;(iii)若抛物线与双曲线的渐近线相切且km＝1,则双曲线离心率为 5.

说明 双曲线方程为 ＝1(a＞0,b＞0),抛物线方程为x＝ky2＋m,仍然满足上述性质.

②已知双曲线方程为 ＝1(a＞0,b＞0),抛物线方程为x＝ky2＋m.证明：

(4)与三等分点和四等分点有关的性质

已知中心在坐标原点的双曲线的一个顶点为A,过A作直线l交双曲线的两条渐近线于B、C两点.

(i)由题意设直线l方程为y＝－x＋a,联立直线l与渐近线方程,求得所以b＝2a,即e＝ 5.所以③成立.

图5

说明 当A为左顶点时,直线l为AC2和AC3如图5,同理可证结论成立.曲线方程为1(a＞0,b＞0),A(a,0),如图6.

图6

(i)由题意设直线l方程为y＝x－a,联立直线l与渐近线方程,求得即a＝2b,所以3＝(2b,2b),＝(2b,2b),所 以3＝.当直线l方程为y＝－x＋a变为直线AC1时如图6,同理可证结论成立,所以(i)成立.

说明 当A为左顶点时,直线l为AC2和AC3如图6,同理可证结论成立.当双曲线焦点在y轴上时,上述结论成立.

图7

证明 (i)(如图7)设直线l方程为y＝3x＋m,联立直线l与渐近线方程,求得又e＝,即b＝2a,由两点间距离公式得 P2A ＝m,P2B ＝m,所以 P2A ＝P2B .

当设直线l方程为y＝－3x＋m,即直线l为直线P1B1时,同理可证结论成立,所以(i)成立.

(ii)(如图7)设直线l方程为y＝kx＋m,联立直线l与渐近线方程,求得又e＝ 5,即b＝2a,P2A ＝P2B,由两点距离公式化简解得k2＝9,即直线l的斜率为3或－3,其中当直线l为直线P1B时,直线l的斜率为3;当直线l为直线P1B1时,直线l的斜率为－3,所以(ii)成立.

(iii)(如图7)设直线l方程为y＝3x＋m,联立直线l与渐近线方程,求得P2B,由两点间距离公式化简整理得b＝2a,即e＝5.所以(iii)成立.

说明：若过P2作直线l(如图7),同理可证上述结论成立.＝1(a＞0,b＞0),x轴上有两点P1(－m,0)和P2(m,0)(m＞0),过P1作不平行于y轴的直线l交双曲线渐近线于A,B两点(如图8),(i)若双曲线的离心率为,且直线l的斜率为或－,则PA ＝PB ;(ii)若双曲线的离心率为,22且PA ＝PB ,则直线l的斜率为或－22;(iii)若直线l的斜率为或－,且PA ＝PB ,则双曲线的离心率为.22

图8

(ii)(如图8)设直线l方程为x＋ky＋m＝0,联立直线l与渐近线方程,求得,即a＝2b,P2A ＝P2B,所以由两点间距离公式化简整理,得k2＝9,即直线l的斜率为或－,其中当直线l为直线P1B时,直线l的斜率为;当直线l为直线PB时,直线l的斜率为－11,所以(ii)成立.

说明：若过P2作直线l(如图8),同理可证上述结论成立.

1.3 共同性质

证明(1) 当0＜m＜a时(如图9)

充分性 由题意直线l方程为bx＋ay－ab＝0,由梯形中位线性质,得2d＝,解得a＝2b或b＝2a,所以双曲线的离心率为 5或

图9

必要性 由充分性证明得d1＋d2＝e＝或e＝,所以a＝2b或b＝2a,c＝

当m＝0时,点P1、P2与原点重合,d1＝d2,同理可证成立;当m＝a时,点P2与点A重合,d2＝0,d1＋d2＝d1＝,同理可证成立.

(2)当m＞a时(如图10),由平面几何知识得d1－d2＝2d.以下证明同(1)的证明.

说明 当a＜m＜b时,在y轴上存在两点P1(0,m)和P2(0,－m)(m≥0),则双曲线的离心率为或的充要条件是d＋d＝c,

图10

12证明同上.当m＞a且m＞b时,结论同上面(2),证明同上.

2 两类双曲线在高考试题中的展示

2.1 基本问题争先恐后永不言败

(1)求双曲线方程

解 因为c＝5,由基本性质,立即得b＝1,a＝2,所以所求方程为－y2＝1,渐近线方程为y＝±x.

说明 2009年重庆文,求离心率为 5的双曲线的方程;2011年广东,求离心率为的双曲线的方程;2014年天津,文理求离心率为的双曲线的方程;2015课标2文,求离心率为的双曲线的方程;2016年北京文,求离心率为的双曲线的方程;2016年天津文,求离心率为的双曲线的方程.

(2)找双曲线方程

(3)求离心率

－y2＝1的离心率等于 .

说明 2014年福建理,求离心率为 5.

(4)求渐近线

解 由基本性质C正确.

(5)求顶点到渐近线距离

解 由基本性质得C正确.

(6)综合

解 由题意a＝2,a＝2b,所以B正确.

解 由题意b＝2a,又C1的右焦点为F(5,0),由基本性质得a＝1,b＝2.

例8 (2014年北京理)设双曲线C经过点(2,2),且与－x2＝1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.

例9 (2015年上海文)已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为－y2＝1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为 .

解 由题意双曲线C2的a＝2,a＝b,所以所求方程为x2－y2＝4.

2.2 独闯天下各显风彩

例10 (2008年全国1文)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A,B两点.已知成等差数列,且同向.求双曲线的离心率.

2.3 兄弟联手打造奇迹

图11

解 设A(a,0),B(0,b)或A1(a,0),B1(0,b)(如图11),由共同性质1得s＝2d＝或s＝2d1＝c,当线段A1B1移动到线段AB时,满足s≥c,所以≤e≤.

2017-09-19)