一道解析几何题的研究与思考

浙江省象山中学 杨育池 (邮编：638400)

一道解析几何题的研究与思考

浙江省象山中学 杨育池 (邮编：638400)

2017年高考是浙江省深化课程改革、实施新高考方案的首次考试,数学更因文理合卷而备受关注.本文试图通过对2017年浙江省高考数学卷中的解析几何大题的分析研究,将自己的一孔之见整理成文,希望能对大家的教学工作有些许启示.

1 试题品评——轻红浅绿溶溶月

题目 (2017年高考浙江卷第21题)如图1,已知抛物线x2＝y,点A(－抛物线上的点P(x,y＜),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

图1

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值.

纵观浙江省历年高考试题对解析几何部分的考查,难度较以往有所下降,问题的叙述依然保持朴实无华,简练精准的特色;问题的设计具有注重对数学内涵的理解和把握,知识点清晰不堆砌,数学意味浓厚的“浙派”风格;设问角度在基础概念和基本解题方法上的考查方面着色,给人“似曾相识”的平易感,同时兼顾基础与创新,解法灵活多样,能很好地检验学生“以代数方法研究几何问题”、代数几何相互为用的综合运用能力,让中等以上的学生有很好地展示自己数学基本功的机会.

2 解法分析——新蕊争发细细看

思路1 问“道”于题,循“叙”渐进

由题知,问题涉及直线与抛物线相交,将已知条件坐标化,表示出直线方程,虽然P为动点,问题转化直线与曲线相交,进而考虑二次方程的根的分布.对于|PA|·|PQ|则涉及A、P、Q三点,可考虑利用垂直关系求出点Q或结合垂直关系的相关几何性质表示相关的线段长.

解析1 (Ⅰ)为方便记P(m,m2).设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为y－＝k(x＋),即4kx－4y＋2k＋1＝0.因为直线AP与抛物线x2＝y有交点A、P,

记函数f(x)＝4x2－4kx－2k－1,则解得－1＜k＜1.即直线AP斜率的取值范围为(－1,1).

因为k∈(－1,1),则由四元均值不等式,得

|PA|·|PQ|＝|(k＋1)3(k－ 1)|＝时,等号成立.

思路2 紧扣定义,直奔目标

注意到A点已知,因此只需利用斜率公式将直线AP的斜率表示为关于变量x的函数,转化为求对应函数的值域.问题(Ⅱ)可结合点A、B、P三点的坐标,充分挖掘垂直关系的几何性质表示出|PA|、|PQ|,其中研究函数的最值这一步是最复杂的,应注意运算的目标要向能预判或确定最值的方向变形.

(Ⅱ)如图2,连结BP.由BQ⊥AP得,|PQ|＝|PB|cos∠BPQ＝ －|PB|cos∠BPA,在 △ABP 中,

图2

由余弦定理,有|PA|·|PQ|＝－|PA||PB|cos∠APB＝(|AB|2－|PA|2－|PB|2)

当且仅当x＝1,即点P(1,1)时,|PA|·|PQ|最大为.

思路3 活用“算”理,兼顾全局

直线与圆锥曲线的位置关系主要考查方程的思想的应用,可利用根与系数的关系建立起斜率与动点坐标之间的关系,转化为不等式求解.问题(Ⅱ)的解决需要突破两个难点：|PA|·|PQ|的表示与其解析式最值的研究,注意到A、P、Q三点共线,设法利用向量的数量积简化目标函数的计算.

解析3 (Ⅰ)同解法1,联立直线AP与抛物线方程,由韦达定理,得

思路4 巧引参数,从“形”破题

由于A、P、Q三点在同一直线上,从而直线AP的斜率与线段PA、PQ的长度都就可以借助参数加以表示,这样,考虑联系直线的参数方程求解.

解析4 (Ⅰ)为了叙述方便,记P(m,m2).设直线AP的倾斜角为θ,则θ∈[0,π),且AP

思路5 转换视角,以“形”驭繁

问题呈现的是一个动态变化的过程,对于问题(Ⅰ)相应地我们也可以结合图形的直观,用动态的思维方式揭示斜率的变化,运用平面几何的观点来看问题(Ⅱ),发掘并充分运用相关图形的平面几何性质,分析题目中几何量之间的关系,减少运算量,以简化问题的解决过程.

解析5 (Ⅰ)当点P在曲线AB上移动时,直观上由即知AP的斜率k的变化范围界于点A处的切线斜率k1与直线AB的斜率kAB之间.由导数的几何意义得,k1＝y′|x＝xA＝2xA＝－1,且k＝＝x＋x＝1,故－1＜k＜1,ABAB即直线AP斜率的取值范围为(－1,1).我们通过具体的代数运算来研究直线AP斜率的变化.

图3

故|MP|最小即以M为圆心,以MP为半径的圆与抛物线x2＝y相切时,|PA|·|PQ|最大,此时,以MP为半径的圆与抛物线x2＝y在点P(x,x2)处有公切线,则切线斜率k＝y′＝2x,故切线的方向向量m＝(1,2x),

3 教学思考——繁枝纷纷宜深思

本题以简单的问题、常见的背景、基本的方法呈现,其解题思路自然,而且思维量、运算量不大,知识上主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,思想上主要考查函数与方程、不等式等重要的代数思想,虽然问题对运算求解的能力有一定的要求,且绝大部分考生拿到考题都会倍感“亲切”,但实际结果却令人意外.此题全省平均分为4.92(含零分)、5.63(不含零分),可见29.1万考生中约近1.3万人得分为零,并且很多同学是“会而不对”,磕磕碰碰地完成的,与其说这是考生心理压力的影响结果,不如说这与我们平时的教学习惯是分不开的.

我们都知道,高考试题植根于课本,着眼于提高.但在高三复习阶段,由于海量的教辅资料、模拟试题挤占了大量的教学时间,我们的教学依旧“重复昨天的故事”,沉溺“书山题海”不能自拔,从而忽视了课本知识和例题习题的回归教学.其实,课本是数学知识和数学思想方法的载体,给高考命制人提供丰厚的规范资源,又是教学的依据,为高考复习者提供可持续挖掘的宝藏.如果我们静心研究高考试题的命题,可以发现,每年均有一定数量的试题是以教材上例习题为素材,通过串联综合、增加层次,或添加参数、延伸拓展,变更包装、延伸改造、迁移创新等改编而成.本题也不例外,可以从课本中寻找问题之源.

习题1 (第90页习题3.1B组第6题)经过点P(0,－1)作直线l,若直线l与连接A(1,－2),B(2,1)的线段总有公共点,找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围,并说明理由.

习题2( 第114页复习参考题A组第9题)求两条互相垂直的直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0的交点坐标.

显然,问题(Ⅰ)将课本习题中的“线段AB”改造迁移为“抛物线x2＝y上的弧AB”;问题(Ⅱ)则是在求垂足坐标的基础上延伸为求“定点、动点与垂足所构成的线段长度之积”.

由此,从题源的认识上我们又可以利用线性规划知识求解(Ⅰ)：设直线AP的方程为y－＝k(x＋).又由题意知,直线AP与曲线段AB(不含两端点)相交,则存在点A(x0,x20)(－＜x＜)与点B位于直线AP的两侧,故

因此,|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3,余下解法同解析1.

引导学生回顾反思以上解题过程,注意到|MP|最小时,直线MP与P点处的切线互相垂直,即直线MP是抛物线在点P的法线.不难总结收获到两点性质：(1)若抛物线外一点M与抛物线上点P的距离|PM|最小,则抛物线在点P的法线经过点M;(2)过抛物线y2＝2px(p≠0)上一点P(2p,2p)的法线交抛物线于另一点Q(p,－3p),则弦PQ对抛物线的焦点F所张的角为直角.

继续引导学生寻找问题背景的奇异处,可以发现直线AB是抛物线在A点的法线,抛物线的法线有什么特别性质吗?将命题者的思维轨迹尽可能延长,就有可能揭示抛物线法线的一个更深刻而美丽的结果.

图4

进一步,可以将结论推广到一般：若点A、B为抛物线y2＝2px(p≠0),且直线AB为抛物线A点的法线,则对抛物线上任意异于点A、B的动点P,作PM⊥AB,PN⊥x轴分别交直线AB于M、N,有|AN|2＝|AM|·|AB|.(限于篇幅,不再赘述其证明)

高考试题“源于课本”,既要体现考试的公平公正,又“高于课本”,也要对中学数学的教学作出有效检验.因此,回归教材,不是简单的阅读教材,而是重视对典型的例习题的研究,挖掘其蕴涵的深层潜力,“三思而后行”——思考问题是否可以整合串联,思考问题是否可以变更形式或背景,思考问题是否可以进一步引申创新,使每一道题能体现思维训练价值.在回归教材的教学过程中,给学生足够的思考时间,重视提升学生数学核心素养,学习“思维的数学”,而非“墨守成规”,要求既要“新题旧做”,也能“旧题新做”,这样,才会带给学生探索的快乐体验,带给学生在思考中进行创新尝试的心理感悟,体验用发现的眼光看到“门里的诗画盆栽”,欣赏到“门外的雄川峻岭”,以促进学生创造性思维的提高,找到自信的源泉.

1 课程教材研究所编著.普通高中数学·必修2(A版)[M].北京：人民教育出版社,2007

2 任志鸿.十年高考分类解析与应试策略：数学[M].海口：南方出版社,2012

2017-10-10)