关于数学教材内容的选择与组织

顾继玲

(南京师范大学教师教育学院 210097)

对具体学科来说，教材内容选择和内容组织是密不可分的，所以总是作为一个整体来考虑的．数学教材内容选择的标准是什么？内容组织有哪些原则？了解教材呈现的背后有助于我们更好地理解教材并进行教学实施．

1 教材内容的选择

1．1 选择教材内容的标准

“教什么比怎么教更重要”，通常说的是教师首先要理解教材内容，再考虑如何教授教材内容，那么对教材本身来说，可以套用为“选择什么内容比怎么呈现更重要”．

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出，“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律．它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法．课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索．”[1]特别强调了过程性目标和学生的数学现实．《高中数学课程标准》则从教材素材选取的角度强调“素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点．”[2]

有学者从课程内容选取要处理好的关系角度提出一些原则，如，“实用性与发展性、学科化与生活化、基础性与时代性、过程性与结果性相统一的原则”[3]．也有学者提出选择数学课程内容的具体标准：(1)基础性；(2)可靠性；(3)发展性；(4)适应性；(5)实用性；(6)可学性；(7)可行性．其中“基础性”是选择数学课程内容的首要标准，主要体现在两个方面：第一，满足学生对数学的基本需要，这就要求所选内容必须是学生感兴趣的，是与学生日常生活紧密联系的；第二，所选内容能够促进数学课程目标的实现．“可靠性”是指所选的数学内容必须是被公认正确的，在学生的数学发展中能发挥确切的作用．“发展性”是指所选的内容应当与时代发展、数学学科发展合拍，应当注意吐故纳新．“适应性”主要是从适应学生的年龄特征和认知发展水平考虑的．“实用性”是指内容的用途，是否能学以致用，能否激发学生的潜能，是否能培养学生的数学能力和理性精神等．“可学性”是指内容是学生学得了的．“可行性”是指是否具有实施课程内容的客观条件．[4]

一般来说，制约数学教材内容选择的主要因素有三个方面：一是学生自身发展的需要和心理发展特征的制约；二是社会发展和进步对学校课程内容提出的时代要求；三是数学学科本身的发展．因此对数学课程来说，选择数学知识必须遵循三条标准：一是数学学科标准，数学课程所选择的知识是数学知识的浓缩和再现，能够纳入到数学课程中的知识不能违背数学学科的逻辑；二是教育学标准，在合乎学科标准的前提下，不同学段的知识要按照由浅入深的原则来选择和重组，要考虑学生的认知水平和接受能力；三是实用性标准，这个标准是以在实际社会中是否需要为尺度来选择知识，这个标准强调的是需要和实用．可以看出，上述标准如果各自单独使用，会使数学知识的选择出现偏差．因为它们均是从各自不同的角度只注意到了知识和课程的一个侧面．现代数学课程的生成必定要将以上几条标准综合起来选择知识，使纳入到课程中的知识更加科学和合理，符合数学学科标准、教育学标准、价值性标准等多项指标，以更好地促进学生发展，任何一种走极端的行为都是不可取的．

1．2 数学应用“度”的把握

数学本身的发展，国际数学课程改革的发展趋势和国内数学课程的实施现状，都表明了数学课程改革加强数学应用的必要性，同时现行的义务教育数学课程的改革实验，也说明了数学课程加强数学应用的可行性．但在加强应用的同时，我们要注意把握好数学应用的“度”，以免走向极端．

数学的两重性特点，决定了数学价值的两重性．由数学的实践性和抽象模式性衍生出来的数学应用的广泛性，直接决定了数学的应用价值，这种应用价值将数学与人类的社会生产活动联系在一起，并随着时代的发展这种联系愈加牢固；另一方面，数学以现实世界为源泉，反映现实世界，并以严格的逻辑思维为手段的研究方式充分发挥了人的心智的功能，使数学具备了抽象的心智训练价值(理性价值)．

数学价值的两重性必然带来数学课程的两种价值取向，一是实用主义价值取向，另一个是形式训练的价值取向，这两种价值取向贯穿于数学课程发展的整个历史进程．从古代东西方两种价值取向的对峙到当今的数学课程改革，始终没有摆脱这两种价值取向的影响(事实上永远不可能)．18世纪、19世纪出现的“形式教育”和“实质教育”之争，其实也是数学课程的两种价值取向对峙的反映；近、现代的数学课程改革，“新数运动”、“问题解决”等都可归结为对这两种价值取向的倾向性．“新数运动”强调结构、严密性、符号体系，重视抽象和演绎，对数学的应用有所忽略，而“问题解决”过分强调解决实际问题，开放性问题的教学，导致数学教育缺乏规范性、系统性．这两种价值取向始终是数学课程改革所探讨的焦点．数学课程必须体现数学价值的两重性，二者的割裂或者对任何一方的偏激，都不利于数学教育的健康发展．这正如M．克莱因(M．Kline)所说：“罗马文明是产生不出数学来的，因它太注重实际和马上应用的结果，欧洲中世纪文明之不能产生数学成果则出于相反的原因，它根本不关心物理世界．”[5]

数学课程的基本价值决定了数学课程必须是应用价值和理性价值的统一，因此在加强应用的同时，决不能将应用作为数学课程的唯一目标，以免从一种倾向走向另一种倾向．因此要把握好数学应用的“度”，当然，对于“度”不可能给出一个量化的标准，更多地还是一种观念上的把握．

如在关注数学课程素材趣味性、实践性的同时，我们不应忽略它的数学性，一些数学问题本身就是很好的“现实”素材．

案例：猜想、证明与拓广[6]

任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

此素材的目的旨在学生已有知识和方法的综合应用，这样的素材不仅具有实践性和综合性，同时具有数学性，在问题解决的过程中学生要经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，数学思维得到很好的发展．

再如对于数学课程内容的呈现，新课程下的教科书大多是以“问题情境——建立模型——解释与应用”作为课程内容的呈现以及学生学习过程的模式之一．其目的是关注数学与现实的联系，另一方面，将这种形式作为教科书体例的一个相对固定的形式，试图以教科书为载体促使教师改进固有的教学方式，从而改变学生的学习方式．但不能认为这是教材内容呈现的唯一方式，“直接展现知识——应用、强化”的接受式的呈现模式也是需要的，尤其是对一些人为规定的数学知识．

R．柯朗说得好，“事实上，在‘纯粹’与‘应用’之间找不到严格的界限”，系统的数学知识技能是应用的坚实基础，而在应用中又可获得对数学本身更深的理解，因此数学课程和教学必须将数学的应用价值和理性价值统一起来．

2 教材内容的组织

2．1 教材内容组织的原则

纳入到课程中的知识、经验按何种方式组织编排和课程实施效果及目标的达成度密切相关．

《义务教育数学课程标准(2011年版)》从数学课程内容在选择与组织上的基本矛盾问题角度指出，“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直观经验，处理好直接经验与间接经验的关系．”[7]《高中数学课程标准》则强调体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学，“教材在处理这些内容时，还要注意明确相关内容在不同模块中的要求及其前后联系，注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高．”[8]

也有学者提出了数学课程内容组织的逻辑规则：(1)顺序性(2)连续性(3)整合性．“顺序性”主要依数学知识的纵向联系为内容组织的逻辑出发点，要按照从简单到复杂，从具体到抽象；为学习准备好“工具”；从整体到部分；以数学概念的发展顺序为参照的规则进行；“连续性”涉及的是数学课程中那些核心概念的重现问题，这些内容需要确保学生有足够多的递进式学习机会．“整合性“是指数学课程中包含的各科知识之间的联系，强调数学各部分内容之间的横向联系．“关联性”则注重学科之间的联系，如数学与物理、化学、生物等课程的联系．[9]

教材内容的组织要考虑纵向与横向、逻辑与心理、直线与螺旋等错综复杂的关系，最终形成课程内容的结构．以逻辑与心理关系为例来说，逻辑顺序是根据数学本身的学科体系和数学概念的内在联系组织课程内容，心理顺序是按照学生的心理发展水平和年龄特征组织课程内容．对此我们首先必须承认，数学知识是有逻辑性的，数学课程的内容也必须以一定的逻辑体系进行组织，但对学生的心理顺序又不可置之不顾．所以中学数学教材中的“逻辑体系”并不是严格意义上的数学体系，弗赖登塔尔曾说过，“以数学体系为最终目的，那是为培养未来数学家的”[10]，确实对学生来说不可能实现完全的体系，如讲实数的概念，并不是这样处理：先研究实数系，用戴德金分割或者康托序列定义实数，证明其连续性．然后用可公度和不可公度线段的理论，使得有理数对应可公度线段，无理数对应不可公度线段，于是建立起数轴和实数系的一一对应．最后再用两条数轴做成平面直角坐标系，使得平面上一点和一对有序实数对应．我们仅仅是通过在数轴上画点，让学生感受到“实数系和数轴上的点能够建立一一对应”，但这样处理符合学生的心理顺序．

如何兼顾学生的心理顺序？庞加莱(Pociare，1854—1912)指出，数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给读者，此话可能有点绝对，但确实很多数学知识的历史发展过程和学生的心理顺序表现出一定的相似性，因此教材编写时学生的心理顺序不妨多参照数学史，从中获悉为什么要引入这样的内容，和其他内容的关系等．

如实数和勾股定理的章节顺序问题，先实数后勾股定理，这是我们习惯的章节顺序，但现有版本教材中出现了先勾股定理再实数的章节顺序，为什么？相关材料详细解释了教材的编写意图[11]．这样的编排顺应了历史发展的顺序，也符合学生的认知顺序．

2．2 对“螺旋上升”的理解

2．2．1 为什么要“螺旋上升”

“螺旋式课程”是在不同学段、不同单元(模块)中，课程内容重复出现，逐渐拓展知识面、加深知识难度，即同一课程内容多次出现，后面的内容作为前面内容放入扩展、深化，以交叉递进的方式组织内容．“螺旋式课程”是美国著名教育家、心理学家布鲁纳(J．S．Bruner)在20世纪60年代提出的，即以与儿童思维方式相符的形式将学科结构置于课程的中心地位，随着年级的提升，不断拓广加深学科的基本结构，使之在课程中呈螺旋式上升的态势．他提出“任何概念或问题或知识，都可以用一种极其简单的形式来表示，以便使任何一个学习者都可以用某种可以认识的形式来理解它．”在他看来，任何学科的内容都可以用更为经济的和富有活力的简便方式表达出来．

布鲁纳的话中隐含了两个方面，一是数学知识可以在不同层次上进行表征，二是数学知识的学习要与学生的认知水平相适应，正是这两方面决定了“螺旋式课程”的必要性和可能性．

如对“角”这个概念的表征，从小学到中学可以有不同层次的表征：实物(与实物分不开)——具体材料表征；各种带角的图形(与图形的平面区域分不开)，分离出角的图形(角是图形)——图形表征；角的定义(角是图形)——语言表征；角的概念的推广(任意角，角是图形，角是实数)——符号表征．[12]再如函数的概念，可以直观地用描述性语言表征(初中函数概念)，也可以用集合与对应的语言表征(高中函数概念)，还可以用关系语言表征(大学函数概念)．

2．2．2 哪些内容需要螺旋

《义务教育数学课程标准》明确指出，重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则．数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等．因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则．例如初中阶段对函数的认识，最初学生初步感受变化的过程、量与量之间的依存关系、“对应”现象，经历研究函数基本性质的过程，尝试根据函数的基本特征做预测的活动；其次，可以让学生从事函数内容的实质性学习：理解函数的基本概念(自变量、定义域等)，画函数的图像，研究其相关的性质，借助函数的知识和方法解决问题；再次，让学生了解不同函数之间的联系，函数与其他数学内容(如方程、不等式等)的实质性联系，进而构建函数在初中数学知识系统中的地位．

螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求．[13]《高中数学课程标准》则主要从必修和选修，学生的不同需要及内容的整体联系的角度强调内容的螺旋编排．“螺旋上升”是教材编排的基本原则，此观念也是得到老师认可的，但如何理解和把握却有许多困惑之处．

“螺旋”是指学习主题相同而内容的深度、广度不同，“上升”是指层次的提升，以及课程内容的深度、广度的加深．“深度”泛指课程内容所需要的思维的深度，“广度”是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，通常可以用知识点的多少进行量化．因此“同一个课程内容的不同层次之间比较适宜进行‘螺旋式上升’”[14]“上升”的表现可以是思维深度的加深，可以是内容广度的增加，也可以是学习素材载体的改变等．

螺旋式课程设计就是内容的重复和再现吗？“螺旋”是为了“上升”，因此螺旋式课程设计不是课程内容的单一再现，更不是简单的重复． “螺旋式上升”的编排方式，应坚持如下三个基本原则．差异性原则，即相邻两次循环之间必须有质的区别，而不是简单的重复；多维性原则，即课程的“螺旋式上升”可以从深度、广度、应用等维度予以实现，即课程深度、广度、应用都可以作为“螺旋式上升”的维度；具体性原则，即不同的课程内容需要具体问题具体分析，适时选用恰当的“螺旋式上升”方式，而不同的“螺旋式上升”方式必然造就不同的课程设计和教材编排风格．[15]

螺旋式课程设计会显得结构松散？教学应使学生懂得学科的基本结构，几乎是现代认知心理学在教学内容选择上的一致意见．我们必须承认，螺旋式课程设计相对于直线式的课程设计容易出现教学内容零散、主题不够明确等现象，这对教材编写提出了更高的要求．教材设计时一定要有结构的意识，要有编排的主线，如初中概率的学习，可以将“频率和概率的关系”、“概率的应用”、“统计与概率的关系”作为编排和螺旋上升的主线，同时每一组螺旋要自成体系，前后组螺旋间要有联结的纽带．另外，在教学中要有意识地引导学生对章节知识结构的梳理，形成对知识整体的认识．