数学问题解答

2016年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)

2341已知a，b，c，d≥0，a+b+c+d=3，求证：

a+ab+abc+abcd≤4．

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

证明(1)先证3元的类似不等式：

已知a，b，c≥0，a+b+c=3，求证：

a+ab+abc≤4．

(*)

事实上，由条件知a≤3，应用2元均值不等式，得

a+ab+abc=a+ab(1+c)

所以

a+ab+abc≤4．

(2)再证4元的不等式：

由条件a，b，c，d≥0，a+b+c+d=3，得

于是，条件变形为a+d，b，c≥0，(a+d)+b+c=3，并注意应用(*)，得

a+ab+abc+abcd

=(a+abcd)+ab+abc

≤(a+d)+ab+abc

≤(a+d)+(a+d)b+(a+d)bc≤4．

所以

a+ab+abc+abcd≤4．

容易获知，等号成立的条件为(a，b，c，d)=(2，1，0，0)．

2342设⊙N切△ABC的两边CA，CB于点E，F，同时与△ABC的外接圆⊙O内切于点P．连结CN并延长交⊙O于T，求证：⊙(T，TB)与EF相切 ．

(湖北省谷城县第三中学 贺斌 441700)

证明设CT与EF交于点S，连结TO并延长交⊙O于M，连结PO并延长交⊙O于Q(点N在PQ上)，则

∠CFN=∠CSF=90°，

所以NC·NS=NF2．

又NC·NT=NP·NQ=NF·NQ，

所以NC·NS+NC·NT=NF2+NF·NQ．

而NC·NS+NC·NT=NC·(NS+NT)

=NC·TS，

NF2+NF·NQ=NF·(NF+NQ)

=NF·(NP+NQ)

=NF·PQ，

所以NC·TS=NF·PQ．

①

又因为△CFN∽△MBT，

所以NC·TB=NF·PQ．

②

由①、②得NC·TS=NC·TB，TS=TB．

注意到CT⊥EF知，EF是以点T为圆心，定线段TB长为半径的圆的切线．

故⊙(T，TB)与EF相切．

2243设ai,xi,λi∈R,(i=1,2,…,n,n≥2),t∈R，且

M1=λ1x1+λ2x2+…+λn-1xn-1+λnxn>0,

M2=λ2x1+λ2x2+…+λnxn-1+λ1xn>0,

，

Mn=λnx1+λ1x2+…+λn-2xn-1+λn-1xn>0,

并令

N1=(t-λ1)x1+(t-λ2)x2+…+(t-λn)xn,

N2=(t-λ2)x1+(t-λ3)x2+…+(t-λ1)xn,

，

Nn=(t-λn)x1+(t-λ1)x2+…+(t-λn-1)xn,

若t(λ1+λ2+…+λn)>0，则

若t(λ1+λ2+…+λn)<0，则式中不等号反向．

于是由柯西不等式可得

当t(λ1+λ2+…+λn)<0，则式中不等号反向．

2344在△ABC中，以BC中点M为圆心，作圆交AB、AC于F、E，作DF⊥AB，DE⊥AC，FE交AD于P，BP、ME交Q，求证：QA∥BC．

(江西师范高等专科学校 王建荣 陈志钦 335000)

证明设BQ交AC于R，由梅氏定理可知：

延长QA至G，显然D是△ABC的垂心，

由※和※※可得：

⟹cos(∠QAE-∠FDA)-cos(∠QAE+∠FDA)=

=cos(∠ADE-∠GAB)-cos(∠ADE+∠GAB)，(积化和差公式)

由∠QAE+∠GAB=∠ADE+∠FDA

⟹cos(∠QAE+∠FDA)=cos(∠ADE+∠GAB)

因此∠QAE+∠FDA=∠ADE+∠GAB

⟹∠FDA=∠GAB，

由弦切角和已知条件⟹DA⊥AQ，

由AD⊥BC得QA∥BC．

(甘肃省秦安县第二中学 罗文军 741600)

=2n+2n·2n-1=2n·(n+1)

所以当n=1时，不等式

取等号．

2017年1月号问题(来稿请注明出处——编者)

2346若a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，试证：

(1)

(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)

2347在Rt△ABC中，CA≠CB，CD为斜边AB上的中线，过A作CD的垂线交直线CB于点E，

过B作CD的垂线交直线CA于点F，连接EF交线段AB于点P，求证：△AFP的外接圆与△BEP的外接圆在其交点P处的切线互相垂直．

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

2348若△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

2350若a，b，c>0，则3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2≥6(a2b2+b2c2+c2a2)．

(浙江省宁波市甬江职高 邵剑波 315016)