数学抽象，数学概念教学抹不开的情愫

张宗余 冯 斌

(浙江省象山中学 315700) (宁波市教研室 315000)

作为课标修订工作两大重点突破之一，普通高中数学课程标准修订过程中提出了“六大数学核心素养”，其包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析．2016年11月浙江省“疑难问题解决”研讨活动在杭州举行，活动将“基于数学核心素养观下的高中数学课堂教学”作为本次研讨的主题，引起与会者的浓厚兴趣．“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”[2]，“数学抽象”也是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．本文笔者以“导数概念”教学片断的设计为例，以“数学抽象”为切入点，谈谈如何在概念课教学中落实“数学抽象”这一核心素养的实践与思考．

1 “导数的概念”教学中落实“数学抽象”的三个维度

“导数的概念”是高中新教材人教A版选修2-2第一章1．1．2的内容，教科书没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数．导数的概念是从物体直线运动的瞬时速度等概念进行高度抽象的结果，其蕴含着丰富的数学思想．所以在教学中，应注重引导学生充分经历这个过程，通过思考、讨论、探究，理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想．

1．1 维度一：“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化

具体是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一．抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来进行考察的思维方法．具体和抽象是一对哲学范畴，从具体到抽象，是“抽丝剥茧”，是寻找共性和规律的过程，是挖掘和深化．

教学片断1：教学情景的设计

引言：生活中有许多需要研究物体某一时刻的速度，如运动员在百米冲刺时碰线的速度，对接卫星的交会对接时的飞行速度．我们把物体在某一时刻的速度叫瞬时速度．

设计意图学生在高一年级的物理课上学习过瞬时速度．因此，学生已经具备了一定的认知基础．所以“瞬时速度”的给出在某种意义上讲不能算“数学抽象”．

思考1那么怎样求一个运动物体的瞬时速度呢？我们请先同学们看下面一段新闻录像(6·20南京宝马肇事案)，人们纷纷质疑宝马闯红灯车速到底有多快？南京交警认定肇事宝马速度为195．2km/h(通过附近的监控录像，锁定发现宝马车的两个点，通过图像之间的移动位差，可以测算出当时车速)．

设计意图数学抽象是指由具体事物中抽取出量的方面、属性或关系．笔者通过南京宝马肇事案引导学生了解现实中解决瞬时速度的方法，通过学生讨论，从而形成对问题解决的思考．通过平均速度去估算瞬时速度，这样将问题引导到用量的层面去解决，去关注区间的平均速度，从而达到“数学抽象”的目的．

教学片断2：抽象引入Δt

教学片断3：导数的概念

探究

3． 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?

概念(略)

设计意图“抽象”通常有两种，从特殊到一般的抽象是“弱抽象”，是缩小内涵，扩大外延的抽象．还有一种抽象是“强抽象”，是扩大内涵缩小外延的抽象，是从一般到特殊的抽象．例如，由平行四边形概念出发，通过引入“邻边相等”或“一个角为直角”的特性，分别获得较为特殊的棱形和矩形的概念．此处的抽象是显然是“弱抽象”，从三个具体的探究抽象出概念，即由特殊到一般地抽象出函数瞬时变化率的概念，即导数的概念．

1．2 维度二：“作茧自缚”，从抽象到概括的具化

概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法，以抽象为基础，是抽象的发展．[1]从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的相通性质．“作茧自缚”可以理解为数学本质属性是联想和发散，是由抽象到概括是一种普遍原理在各方面的具体体现和应用．

教学片断4 瞬时速度概念的给出

1．3 维度三：“化蛹成蝶”，从量变到质变的脱化

量变质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，量变是质变的前提，质变是量变的必然结果．在导数概念的形成中，尤其是在感悟运用逼近思想来达成概念时，体现了量变到质变的辩证思想．“化蛹成蝶”一种升华，是一种涅槃和再造．

教学片断5： 数学逼近

教学片断6：课堂小结

结束语“实现取差，然后再把它扬弃，这不是简单地导致，而是带来了实际结果，这个结果就是新的函数，即导数．理解微分运算的全部困难(正像理解否定之否定本身时那样)恰恰就在这里．”(马克思)

设计意图“思维方法的教育=数学思想+思维经验”[2]，所以要特别重视利用数学抽象形成数学方法和思想，在某种意思上讲数学方法和思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括．

2 在课堂教学中实践”数学抽象”的反思

2．1 搞好概念教学是实现“数学抽象”的落脚点

数学概念是数学知识的基础，是数学思维的基本形式．概念的获得有两种基本方式：概念的形成与概念的同化．概念的形成是指从一些具体例证出发，抽取一类事物的共同属性，从而形成概念;概念同化是指用定义的方式直接揭示概念，学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念．可见，概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程．“导数的概念”形成如下：

这里要说明的是，瞬时速度的概念从属于运动这一特定的问题，而导数概念则由于舍弃了其他成分而仅仅着眼于量的关系的分析获得了更为普遍的意义．所以重视概念教学，提升概念教学水平，其中最切实的是抓数学核心概念形成的教学，选取学生熟悉的典型实例，提供丰富材料，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉数学抽象的“基本套路”，在概念形成的学习中学会数学抽象．[3]

2．2 “数学抽象”要关注数学思维方法的教学

作为思维的基础和一种基本而重要的思维方法，数学抽象在数学教育的价值主要体现在数学思维训练方面，所以掌握数学抽象的方法和原则，努力提高学生数学抽象能力是培养数学抽象这一核心数学素养的关键．数学抽象思维能力主要体现在数学知识的建构上，教师要不失时机地抓住机会培养学生的抽象思维能力．真正实现“过程教育”，让学生亲身经历、实际操作，在不断地数学抽象过程中提升数学抽象能力．

在验证的过程中，同学们会发现，无论取何值平均速度都趋近于一个确定的常数-13．1，教师适当引导，为今后引入拉格朗日中值定理的学习提供铺垫，同时也可引进更为一般的概念：即

(Δx>0，m、n∈N)．

培养学生的抽象思维能力必须设法创设出一些相对应的情境，尽可能重现这种概念抽象的整个过程，引导学生通过观察、分析、抽象，提炼数学概念，归纳数学结论、抽象数学模型，让学生体验过程、熟悉过程并学会应用．

2．3 “数学抽象”要关注数学内在的魅力

“要引导学生用数学的眼光看待事物”[2]．身边的事物数学问题很多，在教学中引导学生把生活中的问题抽象为数学问题，进一步揭示具体事物和抽象概念的联系，既加深对所学知识的理解，又有助于提高解决问题的能力．另外，在数学教学中注重保护和培养学生的直觉意识，讲一些数学的发展史，数学史上有许多经典数学抽象故事，生动而智慧，如哥尼斯堡七桥问题、笛卡尔与坐标法、微积分发明的英德之争等，将数学家们进行的数学抽象进行“再现”，故事的隐喻性较易让人感受到数学抽象是数学的长处、优点和有力武器，从而改变数学枯燥、难学、乏味的印象，用数学抽象的内在魅力使学生从内心深处喜欢上数学抽象和数学．

数学抽象，数学概念教学抹不开的情愫．它归根到底是一种文化素养，数学教育也就是一种文化素质的教育，它的养成不是一朝一夕之事，我们教师贵在重视和坚持．要通过学习使学生感受到，数学不仅仅是一系列抽象的知识，更多的则是一种方法，一种文化，一种思想，甚至于一种精神和态度，从而让学生满怀乐趣和憧憬地去学习它．