在数学知识学习中培养创新思维——以三角形中位线的教学为例

王玉宏

(江苏省扬州市教育科学研究院 225000 )

1 问题的提出

当前时代，人类的知识总量呈几何级数增长，人工智能技术飞速发展，如果课堂教学仅仅关注知识的积累和技能的训练，那么人类在知识记忆贮量和技能熟练程度上，现在连一部智能手机都比不上．因此，学生学习的最大任务是学会思维、学会创新．当前，作为思维科学的数学学科，课堂教学夯实基础有余，重视创新不足．为此，课程标准(2011年版)将创新意识作为核心概念之一，并将传统“双基”扩充为“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，将传统“两能”扩充为“四能”，即分析和解决问题的能力、发现和提出问题的能力．随着课程改革的深入实施，数学学科应该而且可以在培养学生的创新思维能力上作出本学科应有的贡献．

2 关于创新思维的教学课例

笔者曾参与苏科版义务教育数学教材八年级下册第九章第五节“三角形中位线”一课的磨课活动，本节课着力培养学生创新思维能力，现将教学流程简述如下．

2.1 板块一：认识三角形的中位线

问题1三角形中除了组成三角形的三条边，我们还学过哪些与之相关的重要线段？它们有哪些特殊性质？

逐步投影出示相关图形，师生共同结合图形回忆三角形的三条重要相关线段：三角形的角平分线、中线、高及其性质．

问题2除了三角形的角平分线、中线和高，你认为还有哪些与三角形相关的重要特殊线段？尝试画一画．

学生先独立尝试，再小组交流，最后大班展示，学生展示的成果有三角形面积三等分线、连接三角形两高垂足的线段、连接三角形两边中点的线段等，教师揭示课题及中位线的概念：今天我们就来研究连接三角形两边中点的线段——三角形的中位线，这是大家新发现的一条与三角形相关的重要特殊线段．

【设计意图】这里没有以教材中“三角形剪拼平行四边形”来引入课题，而是以学生已经学过的与三角形相关的重要线段为知识生长点，让学生学会自己提出新的研究对象，解决教材引入“不是做不到，而是想不到”的问题．

问题3(投影出示△ABC)三角形的中位线有几条？请把它们全部画出来．三角形的中位线与三角形的中线有何异同？

【设计意图】这里通过变式与反例促进概念的深化理解．学生尝试画出三角形的所有中位线，既在动手操作中巩固应用了概念，又自己发现三角形中位线的各种变式图形．比较三角形的中位线与中线的异同，通过反例(中线)深化对概念内涵的理解．

2.2 板块二：研究三角形的中位线

问题4研究一个几何对象，我们一般按照什么思路去研究？我们已经获得了一个新的几何对象——三角形的中位线，对它我们下面将要研究什么？

教师举例并引导学生回忆过去研究几何对象的一般思路，展望三角形中位线后续研究的路径，聚焦三角形中位线的性质．

【设计意图】这里向学生渗透研究一个几何对象的一般路径：概念—性质—应用，让学生学会自己规划研究路径、自己发现和提出研究问题．

问题5研究三角形中位线的性质，我们可以先从一些特殊的三角形入手，请尝试画一些特殊三角形及其中位线，你有什么发现？再研究一般情况，尝试画一个一般三角形及其中位线，你的发现在一般三角形中成立吗？

学生先小组合作，从特殊(如图1所示的等边三角形△ABC和等腰直角三角形△ABC)到一般研究三角形中位线的性质，再大班交流展示，引导学生猜想得到结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

图1

问题6猜想经过严格证明才能成为定理，如何证明我们的猜想？

图2

【设计意图】问题5、问题6让学生经历了一个几何性质探究的全过程：先归纳推理，从特殊到一般发现结论，再演绎推理，运用转化思想证明结论，从而向学生渗透科学探究的一般方法．学习三角形中位线定理的作用，除了定理所具备的计算或证明其它问题的工具性，还有定理本身证明过程附载转化数学思想和截长补短数学方法的载体性，两者不能偏废．

2.3 板块三：应用三角形的中位线

问题7(投影图形略)如图，A、B两棵树被池塘阻隔，如何运用三角形中位线定理测量A、B两棵树间的距离？

追问：如果中位线的两端也被阻隔、不能直接测量，如何测量AB长？

学生先独立思考，再交流汇报．

【设计意图】问题7是三角形中位线定理在实际生活中的应用，体现数学与生活的联系，需要学生会将实际问题抽象成数学问题，并运用转化思想将测量AB长转化为测量其对应的中位线长．通过追问可以检测学生是否掌握解决这类问题的实质．

问题8如图3，请分别画出四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，并顺次连接E、F、G、H四点．试判断中点四边形EFGH的形状．

图3

追问1：四边形ABCD是一般四边形，其中点四边形EFGH是平行四边形，由此你能联想到什么，或能提出哪些问题？

追问2：特殊四边形ABCD的中点四边形EFGH仅是平行四边形吗？为什么？

追问3：中点四边形EFGH要是菱形，原四边形ABCD必须是矩形吗？

追问4：中点四边形EFGH要是矩形，原四边形ABCD需满足什么条件？

问题及追问逐步投影出示，每个问题都让学生先独立思考，再交流汇报，最后教师小结：一个常用辅助线——遇中点构造三角形中位线，一个规律——中点四边形的形状决定于原四边形对角线之间的关系．

【设计意图】问题8是三角形中位线定理在数学内部的应用，让学生尝试先猜想再证明的探究历程．追问1、追问2遵循“一般性寓于特殊性之中”的哲学原理，引导学生由一般四边形发散、拓展到特殊四边形，由一个命题得到一组命题，培养学生发现和提出问题的能力，发展学生的问题意识．追问3、追问4通过追问揭示决定中点四边形形状的本质因素，有利于学生养成追根求源、深入思考的良好习惯，培养学生思维的深刻性．

2.4 板块四：小结与反思

问题9今天我们研究了什么？我们是如何研究的，你有何体会和感悟？

学生交流汇报，教师适时通过追问予以强调和明晰．

【设计意图】通过问题9引导学生小结本课所学的基础知识和基本的思想方法，更重视对研究历程、研究方法的反思感悟，提升学生的元认知水平．

3 关于创新思维的教学思考

在数学教学过程中，要培养学生的“创新思维”，就要让学生敢于提出研究对象、让学生学会规划研究路径、让学生掌握科学探究方法、让学生感悟基本数学思想.

(1) 让学生敢于提出研究对象

甘做十年冷板凳的青年科学家韩春雨在基因编辑技术领域的研究经历非常曲折，先是做跟随研究，但不断被别人抢先取得成功，后来开辟新的基因编辑技术途径，通过努力终于取得诺奖级成果．这充分说明开辟新的研究领域、提出新的研究对象的重要性，课堂教学应让学生敢于自己提出研究对象．

三角形中位线的引入，过去有以下几种典型做法：“馅饼”式引入，让学生将三角形剪拼成平行四边形从而引入三角形中位线，这样的引入学生会生发“怎样才能想到这样操作就能发现三角形中位线及其性质”的疑问，学生做得到但想不到；“圈套”式引入，让学生按步骤取中点、画中位线、测量角度和长度、发现结论，这样的过度牵引除了动手操作毫无思维含量；“倒叙”式引入，由三角形中位线的应用引入，这样的引入除了激发兴趣还是不能解决如何想到的问题．本文课例将“三角形的相关线段(中线等)”作为三角形中位线的知识生长点，引导学生继续“发现”三角形的相关线段，从而提出新的研究对象．从学生的已有认知基础生发，顺应学生知识发生、发展的逻辑线索[1]，是学生想得到、提得出新的研究对象的关键．

(2)让学生学会规划研究路径

成语“南辕北辙”充分说明研究对象确定后规划研究路径的重要性，课堂教学应让学生学会自己规划研究路径．

本文课例在引入三角形中位线后，师生共同回忆过去已有研究经验，以已经研究过的几何对象为先行组织者，引导学生规划、设计三角形中位线的研究路径：概念—性质—应用，增强学生数学研究的路径规划意识，从而提升研究效率．先行组织者的使用是规划研究路径的关键．

(3) 让学生掌握科学探究方法

科学发现有其自身规律，一般先由个别现象猜想一般规律，再实验验证(自然科学)或严格证明(数学科学)，课堂教学应让学生掌握基本的科学探究方法．

本文课例在探究三角形中位线的性质时，先引导学生从特殊三角形(等边三角形和等腰直角三角形)入手探究三角形中位线所具有的性质，从而猜想一般结论，再严格证明猜想在一般情况下也成立，从而得到三角形中位线的性质定理，让学生经历了一个科学探究的全过程．从特殊到一般猜想结论是归纳推理，严格证明猜想成立是演绎推理，推理是科学探究的基本方法．两种推理不能偏废，因为归纳推理是发现结论，演绎推理是证明结论，它们是科学发现的双翼[2]．

(4)让学生感悟基本数学思想

数学思想是人们在建立数学理论和解决数学问题时所应用的基本思想．但数学思想从来就不是数学家的专利，也不是只有在数学领域中才能发挥它的作用．科学研究早已经走向定量化，数学思想随着数学几乎渗透到了各个科学领域．可以毫不夸张地说，数学思想几乎存在于人类的各种思维活动中，具有最大的广泛性和深刻性[3]，课堂教学应让学生感悟基本的数学思想．

本文课例中对三角形中位线的研究充分应用了推理的基本思想，如由特殊到一般猜想结论，这是推理思想下一般化的转化方法；由一般四边形到特殊四边形研究中点四边形，这是推理思想下特殊化的转化方法；定理证明中将线段之间的平行和倍分关系转化为加倍后线段之间的平行且相等关系，从而将三角形问题转化为平行四边形问题，这是推理思想下的命题转化方法，这些推理思想和具体转化方法在科学研究中应用广泛．数学基本思想应有意识地不断向学生渗透，课堂教学时让学生在应用中感悟，课堂小结时让学生在反思中明晰，后续学习时让学生在有意识的应用中强化．

(5)让学生养成深入思考习惯

一个自然或社会现象在研究清楚它们之前总是让人们感觉纷繁复杂、茫然无绪，需要研究者能拨开迷雾、抽丝剥茧看到问题的本质，从而抓住本质解决问题，课堂教学应让学生养成深入思考、追寻本质的习惯．

本文课例中，问题8后变式追问：中点四边形要是菱形，原四边形必须是矩形吗？中点四边形要是矩形，原四边形需满足什么条件？让学生探究决定中点四边形形状的本质因素，可以让学生意识到许多现象不能只看到表象，而应看到表象背后的本质，许多问题不能就题论题，而应多问一句究竟是什么、为什么，或反过来再多想一下，提升学生思维的深刻性，养成追根求源、深入思考的良好习惯．