在限定条件下圆锥曲线的内接梯形的作法

吴 波 邓茂生

(1.重庆市长寿龙溪中学 401249；2. 重庆市长寿区国土局 401220)

文[1]对在限定条件下顶点均在双曲线上的梯形作了探究，结果如下(表述与原文略有不同)：

命题1[1]如图1，设A1是双曲线C上给定的一点，M是双曲线C外部且不在渐近线上的任一点，若直线A1M与双曲线C的同一支交于另一点A2，则存在以A1为顶点的梯形A1A2A3A4，且其余三顶点均在双曲线上，M为梯形两腰所在直线的交点．

图1

命题2[1]如图1，设A1是双曲线C上给定的一点，M′是双曲线C外部且不在渐近线上的任一点，若直线A1M′与双曲线C的另一支交于另一点A3，且M′不是A1A3的中点，则存在以A1为顶点的梯形A1A2A3A4，且其余三顶点均在双曲线上，M′为梯形对角线的交点．

当点M在双曲线内部时，文[1]还有两个类似结论，此处略．

在这之前，文[2]对椭圆和抛物线也证明了类似结论．

如图1，如果将命题2中的“梯形A1A2A3A4”替换为“对边A1A4∥A2A3的蝶形A1A3A2A4”(“蝶形”是指有一组对边相交的四边形)，那么命题1、2就可以得到统一．具体地说就是：两个命题中的四边形都是有一组对边平行的四边形，而M和M′都是相应四边形的不平行的那一组对边所在直线的交点．

文[1]的解析法证明比较复杂，运算量颇大．本文将给出在上述限定条件下圆锥曲线的有一组对边平行的内接四边形(如前所述，包含梯形和有一组对边平行的蝶形)的统一而简单的作法．

注：本文中圆锥曲线的“内接四边形”意指顶点均在圆锥曲线上的四边形，但并不一定要求四边形的边也在圆锥曲线内部．

先将此作图问题明确地表述如下：

求作圆锥曲线C的内接四边形A1A2A3A4，使A1A2、A3A4所在直线相交于点M，而边A1A4∥A2A3．

注：与圆锥曲线的一对共轭直径分别平行的两个方向互为对方的共轭方向[3]．

先看在非退化的有心圆锥曲线情形下的作法．

作图的关键在于：已知点O、M、A1，作出满足上述条件的点A4．下面的作法简单地解决了这个问题．

步骤1如图2， 过O、M作直线l．

步骤2如图2，作直线A1O交圆锥曲线C于点N，过N作直线k∥l交C于点A4．连接A1A4．

由对称性易知：中心O平分A1N．再结合k∥l知：l平分A1A4，即直线l过A1A4的中点Q．

若直线k与圆锥曲线C相切，则A4与N重合．

步骤3如图2，作直线MA1交圆锥曲线C于点A2，作直线MA4交C于点A3．连接A2A3．

如图2，点M是边A1A2和A3A4所在直线的交点．下面我们将证明：A1A4∥A2A3．

图2

图3

由作法知：直线l过点M、C的中心O、A1A4的中点Q．又A2A3′∥A1A4，而平行弦的中点连线必过中心O，因此A2A3′的中点必在直线OQ上，也即在直线l上．也就是说：A2A3′与直线l的交点是其中点，即点P是A2A3′的中点．这样，A2A3′的中点P也在直线l上．

而由作法知：A3A4也过点M．因此A3′与A3重合．

而A2A3′∥A1A4，所以A2A3∥A1A4．

这表明：蝶形A1A2A3A4就是所要求作的四边形．

而且作法本身就表明了这种四边形存在且唯一．

当点M在椭圆C外部时，如图3，作出的四边形是梯形．

当圆锥曲线C为双曲线时，由于双曲线有两支，所求作的四边形的分类要复杂一些，文[1]中四个命题对应的配图只是分类中的一部分．需要注意的是：文[1]中命题2、3对应图中的点“A2”、“A3”的下标要互换方与本文表述相符．

但前述作法和证明对上述诸种情形均适用．

在通常的欧氏平面上，抛物线是没有中心的．但是在仿射平面上，据文[3]第六章“二次曲线的仿射理论和度量理论”：抛物线的中心就是它与无穷远直线的切点，也即是抛物线直径的无穷远点．在欧氏平面上，抛物线直径就是与其对称轴平行(或重合)的直线．则“知圆锥曲线C的中心O”这个条件可替换为“知抛物线C对称轴的方向”，类似地可得如下作法：

图4

图5

步骤1如图4，过点M作直线l平行于抛物线C的对称轴x．

步骤2如图4，作点A1关于直线l的对称点N．过N作直线k∥x，交抛物线C于点A4．连接A1A4．

步骤3如图4，作直线MA1交抛物线C于点A2，作直线MA4交抛物线C于点A3．连接A2A3．

四边形A1A2A3A4就是所要求作的四边形．证略．

如图4，当点M在抛物线C内部时，作出的四边形是蝶形．

图6

如图6，当点M在圆锥曲线C外且MA1与C相切时，A1与A2重合．而A2A3∥A1A4，则A3、A4也重合，四边形A1A2A3A4被“压成”了一条线段．但OM平分弦的结论仍成立，由此可得常见结论：

命题3一个点关于圆锥曲线的切点弦被过该点的直径平分．

当圆锥曲线为抛物线时，“过该点的直径”意即“过该点且平行于其对称轴的直线”．

如图7(各字母含义同图2)，当圆锥曲线C退化为一对相交直线时作法仍成立．此时可以将其表述为如下平面几何命题：

图7

命题4如图7，直线l1、l2相交于点O，A1、N在l1上且关于点O对称．过点N作直线NA4∥OM且交直线l2于点A4，作直线MA1、MA4分别交l2、l1于点A2、A3，则A2A3∥A1A4．

命题4不必使用同一法就可直接证明．有兴趣的读者不妨一试．

当圆锥曲线C退化为圆或者退化为一对平行线时，比较简单，此处不再赘述．

最后说明一点：“知圆锥曲线C的中心O”这个条件是不必要的．因为圆锥曲线的平行弦的中点轨迹必过其中心，因此只需作出两组平行弦的中点轨迹，那么其交点就是中心．但为表述方便，题目中保留了这个条件．