例说高三数学二轮复习的变式教学

李文松

【摘要】高三数学二轮复习，通常就是数学专题复习，大致有两种形式：一种是以知识模块为专题，对高中数学各章节的主要内容或重点内容进行复习；一种是以高中数学重要的思想方法为专题，对一些重要的数学思想方法结合各類考题进行较为系统而全面的复习。

【关键词】高中数学 复习 变式教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）48-0121-01 我们发现，学生的解题能力、解题技能还在一轮复习的基础上徘徊不前，其根本原因不是这些重点方法、重要问题练得少、讲得少，关键是没有把同一类方法、问题串成一条主线，通过变式形成“问题串”，集中起来进行比较、分析，以致问题一变，学生就毫无招架之力。本文笔者结合自身多年高三数学的教学经验，谈谈二轮复习中变式教学的一些做法和想法。

案例1 基本不等式

有些知识简单、思想方法也不复杂的内容，但对学生灵活运用的要求较高，如基本不等式≤（a，b≥0），我们通常运用它的两个变形公式a+b≥2与ab≤，其本质内涵就是两个正数“和与积”的转化关系，知识方法学生都不难理解，一些常见的题目学生也能完成，但若将这些问题稍加变换，有时学生就不会做了，它所反映出的问题是学生方法运用的灵活性不够。这些基本不等式的较难题在二轮复习讲义中，我们倒是经常碰到，学生时而会时而不会，解题能力达不到根本性的提高，我们能不能将一些问题串一串，在同一节课集中探究方法的灵活运用，为此，笔者设计了一节关于基本不等式的题组变式训练课。

问题1：若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值为_________.

这是课本上的一道习题，以此为课堂导入问题，学生都熟悉其方法，即用“1”的代换，现将条件“+=1”整理成“xy-2x-y=0”，让学生讨论解法，即

问题2：若正实数x，y满足xy-2x-y=0，则x+y的最小值为_________.

这时不少学生都知道问题2方法，将整式转化为分式，但教师要引导分析，如果没有问题1作铺垫，你能否想到该方法？除此之外，还要引导学生运用消元法，从而把问题转化为求目标函数f（x）=x+的最小值，继而又提出

问题3：若正实数x，y满足（x+1）（y+2）=32，则x+y的最小值为_________.

这道题若用变形公式ab≤，则很快能得到答案，它实际上是“积化和”的过程，但却有不少学生把条件（x+1）（y+2）=32展开，得下列问题4，由于常数不为0，不能用问题1的方法，只能用问题2中的消元法。

问题4：若正实数x，y满足xy+2x+y=30，则x+y的最小值为_________。

对于问题4，学生容易想到用消元法建立目标函数的方法，这时教师要引导学生回归问题3，直接运用“积化和”的方法，对此，还可以把问题改得复杂一点。

对于题组变式教学，无论是新授课还是复习课，都能运用这种教学方式，关键是课堂定位要准，作为高三二轮复习，在变式要求上要高一点，要变出灵活性、变出方法性、变出问题间的本质联系。

案例2 解几运算

解析几何作为一种重要的数学思想方法，一直都是高考的重点和热点，这部分内容也格外受到老师和学生的重视，但一个不容否认的事实：老师们往往感到这部分内容的教学效果不如人意，学生似懂非懂，要么不会运算，会运算的出错率又很高，导致解几题成为考生得分的瓶颈因素，因此，提高学生的运算能力就成为解析几何教学的关键。

案例3 恒成立（存在性）问题

恒成立（存在性）问题是高考的高频率试题，无论是选择题、填空题，还是解答题都可以出题，学生在高三各类检测考试、模拟练习、复习讲义中并没有少接触该类问题，不知各位高三教师有没有这样的体会，学生三天两头做，解题方法教师都讲得厌烦了，要么是分离参变量法、要么是直接研究含参函数，然而学生的解题正确率就是得不到提高。

串联教学在这里显得特别关键，笔者试举几例加以说明：

问题1：已知函数f（x）=x2-mx+1，若对任意实数x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是_________。

大多数学生能用数形结合不需讨论就能顺利解决问题1，也有少数学生思维定势，用分离参变量法完成而陷于复杂的讨论中。教师只分析评价还不够，若把问题1稍作改编得问题2，在比较中分析效果更好。

问题2：已知函数f（x）=x2-mx+1，若存在实数x∈[1，3]，使f（x）<0成立，则实数m的取值范围是__________。

结合问题2引导学生分析，为什么问题1直接用二次函数的图象解决简单，而问题2用分离参变量法解决简单呢？让学生自己去感悟、比较、分析。又如

问题3：已知函数f（x）=x3-6ax2+9a2x（a>0），对？坌x∈[0，3]，有f（x）≤4成立，求实数a的取值范围。

显然问题3不易分离出参数a，应用导数法求函数f（x）的单调性（需要讨论），再求函数f（x）的最大值完成，是不是说不易分离出参数，就不能用分离参变量法呢？教师要再举例说明。

问题4：已知函数f（x）=x-，若对？坌x∈[，+∞），不等式f（mx）+mf（x）<0总成立，求实数m的取值范围。

由函数解析式，不等式可化为2mx-（m+）·<0，不易分离出参数m，但仍用分离参变量法，分离出变量x得2mx2

上述几个问题，不是说要在一两节课就完成一个专题复习，而是在我们评讲一些典型恒成立（存在性）问题时，再找一些类似的问题进行比较分析，我们的教学目的在于比较分析中总结解题方法、经验、规律，个人觉得恒成立（存在性）问题只能多进行这样的微专题复习，才能取得较好的复习效果。