简单线性规划的内容及应用

方宇

摘 要： 线性规划是初等数学知识重要组成部分，它是以函数为基础研究目标函数在约束条件下取得最优解。不仅在资源分配、经营管理等方面有着重要作用，如今，也是高考必考的知识板块！那么究竟什么是线性规划呢？什么又是线性规划的最优解？以及研究它在实际生活中又有哪些应用呢？本文首先道出了学习线性规划的背景、意义，然后解读了简单线性规划内容，最后归纳出中常见的几种题型以及在日常生活中的应用。

关键词： 简单线性规划；最优解；考察形式；

1 研究课题的提出

1.1 课题研究的背景及意义

随着科学技术的发展，线性规划思想广泛应用于各个各个领域，它已经成为资源分配最佳方案的有力工具。简单的线性规划涉及了数学模型、数形结合等思想，如何掌握这部分知识以及解决其在生活中的简单应用，不仅是学生要必须掌握的知识点，也是数学老师所必须掌握的教学技能！

2 相关理论研究与准备。

2.1 相关概念的界定

线性规划：在线性约束的前提下求解线性目标函数的最值问题，我们称之为线性规划问题。

线性约束条件：方程组组是一对变量的约束条件，这些约束条件都是关于变量的一次不等式，我们把它称为称为线性约束条件。

目标函数：我们把需要求解最值的函数称为目标函数。

2.2 简单线性规划方法——图解法

例：某养殖户需购进饲料600千克，现市面上有两种饲料，一种是每袋30千克，价格为140元，还有一种饲料是每袋20千克，价格为120元，在满足养殖场所需的前提下，养殖场最少需要花费多少钱？

（1）根据题目意思找出表示约束条件的不等式组和目标函数；

设购买第一种饲料x袋，购买第二种饲料y袋，则由题意，可得到以下关系式

且可以确定其目标函数为z=140x+120y

（2） 在坐标平面内，作出所有约束条件的图形，找到可行域；

（3）求解出目标函数在可行域内的最优解

易求出在x=20，y=0时，z取得最小值，此时成本最低，为z=140*20+120*0=2800元。

3 简单的线性规划的考察形式

简单线性规划的知识点，究竟它有哪些考察形式呢？下面我们就来总结一下：

3.1 与几何意义有关的线性规划问题

3.1.1 与斜率相关的问题

例：若x，y满足 ，设y=kx，则k的取值范围是__。

解：可以在坐标平面内画出列直线：x+y=3、直线x-y+1=0与直线3x-y-5=0。设直线x+y=3与直线x-y+1=0交于点A，直线x+y=3与直线3x-y-5=0的交点为B，直线x-y+1=0与直线3x-y-5=0交点为C，则不等式所表示的区域就是？ABC所在的区域，y=kx应在直线OA与直线OB之间，易求出1/2≤k≤2

3.1.2 与距离相关的问题

例：已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x^2+y^2+4x-2y的最小值。

解：注意到所求式的结构特点，可将u=x^2+y^2+4x-2y转化为u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2，这就转化成了两点距离平方求解。u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2-5表示点p（x，y）与（-2，1）的距离的幂再减去5，由约束条件2x+y≥1知，点p（x，y）在2x+y=1上及右上方平面G中，于是问题转化为求定点A（-2，1）到区域G最近距离。

由点到直线的距离公式由

3.2 与目标函数有关的最值问题

3.2.1 最优解只有一个的问题

例：若变x、y满足的约束条件 则z=2x+y的最大值是____。

解：在坐标平面内画出上述不等式

目标函数z的系数大于0，则上移时z的值增大，由 得A（3，5），所以Zmin=2*3+5=11

3.2.2 最优解有无数多个的问题

例：已知x、y满足 则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有 （ ）

A、1个 B、2个

C、3个 D、无数个

解：可行域如图所示，由于4x+y-10=0与4x+y-4=0平行且z=4x+y-4中的y的系数大于0，向下移动时z的值减小，那么最优解就有无数个，答案选D。

3.3 含参数的线性规划问题

例1：若A为方程组组 表示的区域，则当a从-2持续变化到1时，运动的直线x+y=a经过A表示区域的面积是____。

解：在图中做出了y-x=2、x+y=1以及x+y=-2的图像，可求出

结束语

在完成这篇论文的过程中，不仅让我对简单线性规划这部分知识有了更深刻的了解，同时，也被先辈们不懈追求科学真理的精神所折服，下定决心做一名优秀的人名教师，把今天这些来之不易的科学成果传递下去。

参考文献

[1]吴烈东.线性规划模型的求解及应用[D].黑龙江：佳木斯大學理学院.2014.

[2]李建华，俞求是，宋莉莉等.普通高中课程标准实验教科书必修5[M].3版.北京：人民教育出版社，2007：82-96.

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[4]和明华.简单线性规划问题教学现状的调查与研究[D].河北：河北师范大学教育学院.2014.endprint