伟大艺术中隐藏的数学

库斯·索托伊

对很多人来说，艺术与数学之间几乎横亘着一道天堑：艺术是情绪的表达，是热情的释放，是美学的展示；而数学则是逻辑、准确性以及真理的化身。不过，这只是肤浅的定式思维，在艺术与数学截然不同的外表之下，两者之间的共同点比你想象得更多。

所有的艺术家都会告诉你一个事实，在完成一件艺术作品的最初阶段，想要迸发出情感的火花是非常困难的。作曲家菲利普·格拉斯甚至说他尽量避免在创作作品的时候带入情绪，他认为音乐中的情绪会在作曲家工作的过程中自发地呈现出来，“的确，我创作的音乐中总是会带有一定的情绪氛围，但是这与我创作过程中的个人意志是无关的。”事实上，真正能够影响作品氛围的是音乐的结构以及内在逻辑。

另一方面，数学的发展却往往与情绪的滋生、热情的点燃有关。数学并不像大家想象中那样，只是事实与数字的单纯罗列，与其说数学家是一群古板的书呆子，不如说他们是编织故事的造梦师。数学家很会讲故事，他们故事中的角色就是数字和图形，他们讲述的就是这些角色之间的证明题，每一条公式都是一次诉说。

我是一名数学家，与艺术家共事多年，多年的工作经历告诉我，我们的实践有着极其多的相似之处：艺术家在创作作品的时候，往往要和我一样构建数学模型，在构建模型的方式上，我们或许有些不同，但是作品的框架和结构总是我们关注的核心。更有趣的是，我们工作灵感的来源往往都来自自然的造化，而艺术与数学都是我们各自改造生存环境的利器，正如人类发明许许多多的语言，我们也发明了许多“语言”，帮助我们探索周边的环境。

旋律之间

音乐可能是这个世界上最接近数学的艺术形式，正如德国哲学家莱布尼茨所说：“音乐能够通过计算带给人心灵的愉悦，尽管人们并没有意识到自己是在计算。”事实上，音乐与数学直接的联系比他描述的还要紧密。正如毕达哥拉斯著名的发现，我们在音乐中感受到的和谐基于数学的基础，是数学的结构支撑起了乐曲的建筑。

大家可以先听听下面这首梅西安的《时间终结四重奏》，在这首乐曲中，梅西安用质数的概念构建了一首充满着紧张情绪的作品。在第一乐章《纯洁的礼拜仪式》里，梅西安希望营造出一种时间无休无止的感覺，而质数17和29便在其中发挥了关键作用，它们分别作为韵律和和弦序列的基础，整个乐曲要到17×29个音符处才会重复，乐章也就在那一时刻终结。

令我感兴趣的是，音乐家和数学家共同关注的这种不同步性也存在于大自然中。在北美的森林里生活着一种蝉，它们遵循着一种神奇的生命循环，它们需要在地下蛰伏17年才能破土生长，在第17年中最后的6个星期寻找其他蝉交配产卵然后死去，再过17年才能等到下一代破土而出。这个循环周期的数字的选择使得它们避开了天敌——一种同样周期性出现在森林里的食肉动物。

线条之间

不仅音乐的抽象特质使得它与数学产生了自然的联系，在其他艺术形式之中同样蕴含着数学的光芒：艺术家们对于数学美的探索也会带来灵感的火花。

视觉艺术领域与数学的关联就非常明显。当你在画布上描绘一条线，或者在石像上雕刻出一个图形的时候，你就在进行一次数学建模，显而易见，视觉艺术当然与几何有关。而在建筑艺术领域，数学则是必须的，你必须通过数学计算才能保证设计出的建筑不是纸上楼阁，而建筑的外形与线条也必须经过精心的几何设计与数学分析，才能保证它呈现在城市的天际线的时候，能保持内在与外在的和谐美观。

对我而言，最让我感到震惊的是，即使是用文字呈现的艺术杰作，它们的内在仍然闪现有数学的律动。无论是诗人、小说家还是剧作家，他们往往都以自己作品中呈现出的严谨的结构、表征以及内在逻辑为豪，而构建这种逻辑的毫无疑问是数学。

我曾经主持过一档广播节目《秘密数学家》，这档节目的核心就是寻找艺术作品中暗含的数学逻辑。在无数作曲家、作家、建筑师以及其他艺术家的作品中，我发现了数学的影子，虽然有时候创作出这些作品的人并没有察觉到。

菲利普·格拉斯可能算是艺术家群体中的某种异类，他对于探寻旋律中的数学奥秘非常着迷，他通常会把大自然中的节奏与自己的旋律结合，并希望以此让听众进入他创造的异想音乐世界。阿根廷文豪博尔赫斯的作品中时常体现着从数学中推演的有限宇宙观，他的《巴别图书馆》就是这种思想的体现。英国女建筑师扎哈·哈迪德所推行的“参数运动”则旨在将城市环境呈现为数学与自然的结合。

在我的节目中，我曾经做过一项关于“文艺复兴时期的艺术家如何帮助当时的数学家重现古希腊数学模型中的奥秘”的研究：古希腊的不少数学成果在中世纪后期早已遗失，而艺术家在绘画技法的发展中重新发现了这些数学知识。我同时也在超现实主义艺术家萨尔瓦多·达利最著名的作品之一《刑罚》中发现了强有力的“超维度”概念，同时，杰克逊·波洛克在他的作品中无意呈现出了一项20世纪才发现的数学模型——分形，这位美国艺术家因为缺乏平衡和酒精过度而成了一位秘密数学家，在他摇摇晃晃地创造他的滴画时，使用了一种被数学界称为“混沌摆”的数学原理。

当代艺术家安尼什·卡珀尔曾经想成为一名建筑师，却因为学建筑需要太多的数学基础而放弃了这个梦想。但是，他的作品中仍然包含着相当灵敏的数学嗅觉，并因此造就了不少跨越文化语境的“环球”作品。他在2009年制作了一件名为《乔木与眼睛》的雕塑作品，由多个金属球体构成，它反映了自然界中的分形原则，同时，雕塑上的镜面材料则把现实世界折射成另一种形态，而这恰好是宇宙本来的模样——弯曲、折射，而宇宙空间中的万物反射出来的光芒在到达我们眼睛的过程中，也会经历多次弯曲。这个作品反映了数学与人们直觉的差异。

（作者系牛津大学数学教授）