让数学基本活动经验落地生根

沈文汉 李宾

摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》将基本活动经验确定为重要的数学课程目标，成为“四基”之一，要让数学基本活动经验落地生根，不仅要明确什么是数学基本活动经验，更要精心耕耘学生积累数学基本活动经验的土壤，探索积累数学基本活动经验的途径和方法，通过落实过程性目标、转变学习方式、丰富活动内涵、强化数学应用等措施积累数学基本活动经验。

关键词：数学基本活动经验；过程性目标；数学应用；初中数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）11A-0062-04

《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中明确提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[1]。由于数学基本活动经验具有“内隐性”的特征，所以它不像其他“三基”那样“道得清、说得明”，它是看不见、摸不着的，有时很难用直观语言表达，有时用传统的评价方式无法考察、无法测量。如果我们不能从义务教育数学课程的培养目标出发，不能从学生的全面发展和终身发展出发，对“四基”各自的教育功能和教育价值没有充分的认识，那么“数学基本活动经验”就会成为一个“软”目标，在实际教学中难以落实，最终不会落地生根。

一、数学基本活动经验的内涵

数学基本活动经验虽然是在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确了“四基”地位，但并不是这几年才提出的一个概念，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》课程总目标中已经提出了通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能[2]。只不过当时是将数学活动经验归为数学知识的范畴。尽管这个概念提出的时间比较早，但关注的人不多，研究的人不多。由于大家对数学基本活动经验的概念还比较模糊，理解还不到位，不少教师只是把它当成“数学活动”和“经验”的复合词，简单地理解为“学生参与数学活动的经验”，导致教师在平时的教学中落实不到位。那么什么是“数学基本活动经验”？目前还没有统一的说法，史宁中教授认为“数学基本活动经验是学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验”[3]。張奠宙教授认为“数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识”[4]。重庆师大仲秀英教授认为“数学活动经验是学生在经历数学活动过程中获得的对数学事实的理解，及在参与数学活动中形成的观念、情感等内容构成的组合性经验”[5]。尽管对数学基本活动经验的界定众说纷纭，但有些观念是接近的或相同的，大家一致认为，数学基本活动经验是“数学的”，是数学课堂教学中所从事的具有明确目标的数学活动；数学基本活动经验是“经验的”，一是获得经验的事物，二是获得经验的过程；数学基本活动经验是“活动的”，这里的“活动”不仅仅是具体操作活动，还包含思维活动和探究活动。我们可以将数学基本活动经验从形式、内涵和类型方面进行如图1的概括：

二、积累数学基本活动经验途径和方法

数学基本活动经验的积累不是一朝一夕就能够完成的，需要一个长期的过程。它不是通过几节课或一段时间强化训练完成的，需要在平时教与学的全过程中、在每一节课的活动中、在活动的每一个环节中逐步孕育，逐步发展，逐步积累，逐步提升。它不是在某一种单一的活动中迅捷完成的，需要在操作活动中、在思维活动中、在探究活动中、在综合应用中通过不断积累来完成。

（一）落实过程性目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学课程目标分为两类：一类是结果性目标，另一类是过程性目标。结果性目标一般指向基础知识与基本技能，而过程性目标更多是指向数学基本思想和基本活动经验。所以我们平时的教学活动要更加关注“过程”，把数学基本活动经验积累和过程性目标建立联系，要从数学目标出发，从学生的已有经验出发，组织开展有效的数学活动，使学生经历操作实验、观察发现、猜想验证、归纳证明、应用创新等过程。比如，在学习“确定圆的条件”这部分内容时，如果我们只是从知识和技能的层面去考虑，那只要让学生知道“不在同一直线上的三点确定一个圆”这个结论，并会画图就行了。平时不少教师也只是做到了这一点。为了全面落实“四基”，落实过程性目标，我们可以安排数学实验“最小覆盖圆”，目的是让学生经历利用圆形纸片覆盖线段、三角形、四边形的过程，理解基本图形的“覆盖圆”和“最小覆盖圆”的概念，探索基本图形的最小覆盖圆，进一步掌握确定圆的条件，并获得和数学相关的数学活动经验。

（二）转变学习方式

数学课程目标由“双基”变为“四基”，而“四基”的落实关键在课堂，为此我们要转变教与学的方式。在学生掌握知识和运用知识的同时，教师要让学生更多地经历知识产生的过程，更多地关注探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，让学生亲自参与、主动实践、深入探究，引导学生自己去收集资料，自己去设计方案，自己去发现问题，并综合运用所学知识、方法和策略解决实际问题，积累丰富的数学基本活动经验。

（三）丰富活动内涵

数学学习中的很多经验是不可传递的，只能靠亲身经历来积累。我们在平时教学中，必须让学生积极参与活动，引导学生经历多样化的数学活动过程，积累数学基本活动经验。

1.丰富操作活动。学生在实际的、外显操作活动中获得的直接感受和体验就是操作活动经验。要获得操作活动经验，首先要有操作活动。操作活动包括几何操作、数学表征工具的直接操作、数学公式和符号的直接操作。我们常用的剪、拼、折、平移、旋转等操作活动就是几何操作活动，使用示意图、统计图表、程序语言等表达数学内容的操作活动就是数学表征工具的直接操作，使用计算器、计算机等简单的数学工具进行的操作活动就是数学公式和符号的直接操作。尽管数学操作活动在一般情况下不能直接解决问题，但它可以帮助学生加深对数学知识的理解，促进思维的发展，同时为探究问题奠定基础。比如在探究角平分线的性质、等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”等问题时，我们常常会让学生经历折纸等操作活动，探索相关性质，加深对知识的理解。

2.丰富思维活动。学生数学学习的过程是从感性认识逐步向理性思维发展的过程，学生在理性思维过程中形成的经验就是思维活动经验。思维活动经验包括归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等。我们在平时的教学中，要引导学生经历抽象概括的过程，在学生充分感知的基础上，适时地引导学生观察、发现、比较、思考，使他们学会从一些现象和事实中舍去个别的、非本质的属性，通过抽象概括形成一般化的认识，加深对事物本质的把握，从而形成概念，得出规律，获得感性经验背后理性的、抽象的思维活动经验。

案例1：把一张足够长的纸条按同一方向对折，如图2所示：

观察：经过第1次对折后，折痕数与纸条的层数各是多少？

经过第2次对折后，折痕数与纸条的层数各是多少？

经过第3次对折后，折痕数与纸条的层数各是多少？

发现：每次对折后，折痕数与纸条的层数之间有什么关系？

猜想（验证）：经过第4次对折后，折痕数与纸条的层数各是多少？

归纳：经过第n次对折后，折痕数与纸条的层数各是多少？

（通过观察图形和思维活动，从数和形两个角度刻画同一问题）

证明：提升策略性、方法性经验，从而得到数学等式：1+2+22+…+2n-1=2n-1 。

应用（创新）：迁移到“拉面”等其他活动中去巩固，并进一步发展获取的数学活动经验。

3.丰富探究活动。数学活动不仅仅是直观、形象的“手指运动”，还应该有生动的思维活动，需要学生经历具体问题数学化、数学问题具体化的过程，使得行为操作和思维操作相互作用、深度融合，形成探究活动经验。

案例2：“最小覆盖圆”教学片段

第一步，先设计“覆盖两点，直观感受”的环节，目的是帮助学生把握线段最小覆盖圆的特征。

第二步，設计“覆盖三点，验证归纳”的环节，目的是让学生经历归纳活动，获得三角形的“最小覆盖圆”应优先考虑以最长边为直径的圆，再考虑三角形的外接圆的经验。

第三步，设计“覆盖四点，理性分析”的环节，先从正方形、菱形等特殊四边形开始，再到一般四边形，渗透转化思想、分类思想，同时也为进一步完善基本图形的最小覆盖圆寻找策略，积累具体问题抽象化、形式化的思维活动经验。

在上述活动过程中，学生不仅经历了外显的操作活动（画、量），还经历了数学思考。

（四）强化数学应用，积累数学基本活动经验

数学应用是学生运用数学知识、思想方法进行问题解决的过程，它是学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中获得的经验，应用意识的生成便是知识经验形成的标志。

在学生学习了苏科版数学九年级下册“利用相似三角形解决问题”和“利用锐角三角函数解决问题”后，我们可以安排苏科版数学实验手册中“测量旗杆的高度”这一数学实验。

案例3：“测量旗杆的高度”教学片段[6]

首先，通过观察、估计、求平均值等过程，估计旗杆的高度；其次，利用影长、标杆和测角仪等方法，用所学过的相似三角形、锐角三角函数等知识，求出旗杆的高度，这三种方案都需要在感性操作的基础上回归理性的计算，将动手测量与动脑思考相结合；最后，通过比较各种方案的优点和不足，优选测量工具，改进测量方案，使得测量更精确。

安排这样的实验课可以帮助学生深化对知识的理解，给学生提供一个对所学知识进行梳理、整合、内化的活动载体，让学生体验数学建模的过程，发展学生自主探索问题的意识和能力，积累学生应用数学知识、方法和策略对实际问题进行探索、思考、总结、推广等方面的综合应用经验。

数学教学讲究以学生为主体的“顺水推舟”，这里的“水”是指学生已经具备的“数学活动经验”；数学的学习也很讲究“水到渠成”，而这里的“水”指的也是指“数学活动经验”。学生积累一定的数学基本活动经验，有利于理解知识的来龙去脉，有利于掌握数学思维方法，有利于体验并领会数学思想的无穷魅力，从而形成比较完整的数学认知结构，有效提升数学素养，对后续学习和发展产生积极影响。为此，我们要精心耕耘学生积累数学基本活动经验的土壤，让数学基本活动经验落地生根。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：8.

[2]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001：6.

[3]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：120.

[4]张奠宙，竺仕芬，林永伟.基本数学经验的界定与分类[J].数学通报，2008（5）：4-7.

[5]仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[6]董林伟.数学实验手册（九年级全一册）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2015：41.

责任编辑：石萍