基于切比雪夫加权的面阵波束形成方法

刘 豪 ，余金培 ，梁 广

（1.中科院上海微系统与信息技术研究所上海200050；2.上海微小卫星工程中心上海201203）

阵列天线由多个天线阵元组成，利用波的干涉原理使阵列在某一特定方向的增益增强。而在某些特定场合，如卫星与地面通信或者雷达天线，由于距离较远杂波干扰大，所以对低副瓣的要求极高。如果对阵列天线的激励不作任何加权处理，其第一副瓣电平理论值大约为-13.4 dB，达不到相控阵雷达对副瓣电平的要求。切比雪夫加权阵列就是一种能兼顾主瓣波束宽度和旁瓣高度的数字波束形成的最优阵列。它的特点是：在给定的旁瓣高度下能提供最窄的主瓣波束，在给定主瓣波束宽度下能提供最低的旁瓣高度。传统的切比雪夫加权阵列仅局限于一维线阵，而很多应用中使用的都是二维平面阵列。未解决这一问题，本文提出了两种均匀面阵的切比雪夫权值计算方法，即二维切比雪夫多项式近似法和二维窗函数法，将一维切比雪夫阵列推广至二维，并仿真验证其可行性和有效性。

1 切比雪夫线阵波束形成

切比雪夫波束形成主要依托于切比雪夫多项式的性质。切比雪夫多项式是微分方程的解，其n阶多项式可表示为：当由于当x的取值范围在[-1，1]时，Tn(x)的值均在[-1，1]之间震荡，且Tn(x)=0 的解的个数为n，均位于[-1，1]之间，并分布在对称于x=0的位置，当x＞1时，Tn(x)递增。切比雪夫多项式满足如下的递推关系式：时，；当

根据（1）式可以很方便的推导出各阶切比雪夫多项式的具体表达式。

阵元间距为d的N元均匀线阵，假定N为偶数，则其方向图可表示为：

式中，β=2πd∙sinθ/λ，λ为信号波长。由切比雪夫多项式的性质可知，若N元阵列方向图与N-1阶切比雪夫多项式曲线一致，则该阵列具有最佳方向性，所有旁瓣高度相同且可控，由此可设计切比雪夫加权天线阵列。假设要求阵列方向图的主旁瓣比为S。则有TN(x0)=S，可解得。为了使切比雪夫多项式与阵列天线方向图函数对应，令，则结合可解出阵列系数In。具体公式如下：

切比雪夫阵列零点值：

根据f(θn)=0，给定第N/2个阵元的幅值为IN/2，则第1到N/2-1个阵元的幅值可由式（3）求得[1]：

2 切比雪夫面阵波束形成

2.1 二维切比雪夫多项式近似法

假设均匀面阵x方向和y方向阵元间距分别为dx、dy，θ,φ分别代表方位角和俯仰角，Im,n代表阵元的初始复激励。则阵列方向图为：

式中：u=sinθcosφ，v=sinθsinφ。根据工程实际需要，选择x方向、y方向等间距的4×4均匀面阵，则由于均匀平面阵列的对称性，可将方向图化简为：

考虑用两个切比雪夫多项式相乘来模拟切比雪夫阵列，则可构造二维切比雪夫多项式，如下：

取m=3，n=3，主旁瓣比S，三阶切比雪夫多项式为T3(x)=4x3-3x，则由于阵列x方向和y方向对称，故x0=y0，令带入上式并与（5）式联合可求得系数I1,1,I1,2,I2,1,I2,2，再由对称性可求得各个阵元系数。

由于该方法将两个一维函数相乘模拟二维函数，所以二维切比雪夫多项式近似法仅在θ=0∘和φ=0∘时达到最优，在波束指向角为其它任意角度的时候，用该方法求得阵列系数的方向图旁瓣高度虽有一定的优化，但并未达到理想的抑制旁瓣的效果。并且当阵元数很大时，公式的推导和计算量很大，实现起来较为麻烦。下面引入二维窗函数法实现一维到二维的转换。

2.2 二维窗函数法

根据一维N阶切比雪夫多项式可轻松推导出N阶切比雪夫系数，该系数是包含N个元素的一维向量。对于规则的平面阵列，可考虑使用一维窗函数来构造二维窗函数。通常的构造方法有两种：一种方法是将两个一维窗函数直接相乘，得到二维窗函数，如下式所示：

式中w1(m)和w2(n)是一维窗序列（函数），wR(m,n)是二维目标窗序列（函数）。显然wR(m,n)具有矩形支持区域。此方法由于是把两个一维矢量相乘得到参数矩阵，所以根据二维窗的性质，该方法不具有最优的效果。

另一种方法是通过以一维窗函数w(x)为轴旋转w(x)得到圆形轴对称的二维窗函数，如式：

根据其傅里叶变换分析可知，如果一维的窗函数具有优良的性质，则其构造的二维窗函数亦具有较好的性质。也可将切比雪夫窗在频域旋转，然后进行傅里叶反变换得到时域窗函数，该方法公式推导较为麻烦，本文不展开详细推导。常用的二维海明窗、凯森窗等都是通过其一维窗的旋转变换获得的。文中采用时域旋转法来构造二维切比雪夫窗函数，可利用MATLAB对时域旋转做一些改进，计算二维切比雪夫系数矩阵。限于篇幅，本文不对具体计算二维切比雪夫系数的过程加以展开，仅给出通过两种窗函数法计算的阵列系数。

3 仿真及性能分析

3.1 切比雪夫线阵仿真

选取8个全向天线组成阵元间距为d的均匀线阵，阵元间距与波长比d/λ=0.5，旁瓣增益为-40 dB，则根据前面推导的公式计算各个阵元切比雪夫系数为：

波束指向角分别为θ=0°及θ=20°时，仿真结果如图1和图2所示。

图1 波束指向角为0°

图2 波束指向角为20°

观察图1和图2可知，切比雪夫阵列对波束的旁瓣有很好的抑制效果，并且副瓣电平是可控的，即可通过设置目标副瓣电平来计算对应的阵元权值系数。通过对比图1和图2可知，切比雪夫加权可与相位控制同时进行，在调整波束指向角的同时也可以压低旁瓣。但在抑制旁瓣的同时，也会展宽主瓣波束，所以工程应用中需结合实际情况来对二者取折中。

3.2 切比雪夫面阵波束形成仿真

结合工程中实际使用的4×4均匀面阵，x方向和y方向阵元间距dx=dy=0.0192 m，阵列天线的中心频点为8.36 GHz，旁瓣高度为-20 dB。分别应用二维切比雪夫多项式近似法以及二维窗函数法计算阵列各个阵元的系数如表1和表2所示。

表1 二维切比雪夫多项式近似法阵元系数

表2 二维切比雪夫窗函数法阵元系数

MATLAB仿真结果如图3所示。

图3上面三幅图是俯仰角θ及方位角φ联合的三维方向图，下面三幅图是俯仰角θ=0∘的一个剖面，可以较直观的反映旁瓣抑制度。左图是4×4均匀面阵的各全向阵元的幅度激励均为1，即采用等幅激励情况下的方向图；中图是采用二维切比雪夫多项式近似法计算得到的阵列系数，仿真得到的方向图；右图采用的是二维窗函数法中的旋转法计算得到的阵列系数，据此仿真的方向图。通过对比图3左、中、右三幅图可以发现，采用二维切比雪夫多项式近似法的旁瓣高度为-18 dB左右，采用切比雪夫窗函数法的旁瓣高度略小于-20 dB，效果稍好于二维切比雪夫多项式法。而不采用切比雪夫加权时的旁瓣高度大约是-12 dB，明显劣于切比雪夫阵列。所以以上两种切比雪夫波束形成方法都对均匀平面阵列的旁瓣有较好的抑制效果。但是，和一维切比雪夫阵列仿真的方向图一样，主瓣波束均有不同程度的展宽。而且由于阵元数较少，所以对旁瓣的抑制程度不如线阵明显。

同时可以发现，二维切比雪夫阵列的旁瓣的可控性明显劣于一维切比雪夫阵列，主要原因是因为一维向二维转换的过程中，并不能维持切比雪夫多项式的[-1，1]区间函数值以及零点分布的性质。所以关于二维切比雪夫阵列还有一定的解析优化空间。

4 结束语

文中首先分析了切比雪夫多项式的性质，并将切比雪夫多项式与一维线性阵列天线的方向图函数结合，推导了切比雪夫阵列系数的公式，完成了切比雪夫加权阵列的仿真。重点提出了二维切比雪夫多项式近似法以及二维切比雪夫窗函数法，通过此两种方法将切比雪夫多项式从一维推广至二维，实现了切比雪夫面阵波束形成，通过MATLAB仿真验证了二维切比雪夫波束形成的可行性，并且较好的旁瓣抑制效果。随着阵列天线的进一步发展，阵列的多元化已成为必然的趋势，针对特殊阵列或者不规则阵列的旁瓣抑制等还有待研究改进。

图3 二维切比雪夫阵列仿真方向图

[1]张小飞，陈华伟，仇小锋，等.阵列信号处理及MATLAB实现[M].北京：电子工业出版社，2015.

[2]张友益，徐朝阳.相位加权低副瓣阵列天线综合技术研究[J].船海电子对抗，2014，37（1）:71-77.

[3]管自新.星载多波束接收天线自适应宽带校正方法[J]，遥测遥控，2012，33（2）:27-31.

[4]浦锦毅.存在功率控制误差的多波束低轨卫星通信系统容量分析[J].遥测遥控，2013，34（4）:58-64.

[5]薛正辉.阵列天线分析与综合[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011.

[6]何保荣，李晓歌.一种阵列天线赋形波束综合优化方法[J].华中师范大学学报，2015，49（3）:368-372.

[7]孙冬暖.阵列天线的方向图综合研究与分析[D].西安：西安电子科技大学，2014.

[8]夏欢.稳健波束形成及方向图综合研究[D].南京：南京大学，2015.

[9]王雨阳.数字波束形成的工程实现方法[J].雷达与对抗，2011，31（1）:39-42.

[10]赵星惟.星载多波束接收天线阵列校准技术研究[D].上海：中国科学院上海微系统与信息技术研究所，2011.

[11]杜勃伦.基于窗函数法的二维FIR滤波器仿真[J].中国科技博览，2015，6（5）:388.

[12]蒋迅，王淑红.切比雪夫和切比雪夫多顼式的故事[J].科学，2016，68（4）：54-58.

[13]李亮.阵列天线方向图综合方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2013.

[14]化小会，张秋生.切比雪夫多项式在代数信号处理中的应用[J].西南师范大学学报，2016，4（15）：108-114.

[15]AHammami R，Ghayoula A，Gharsallah.Antenna array synthesis with Chebyshev-Genetic Algorithm method[J].Communications，Computingand Control Applications（CCCA）.2011：6031445.

[16]赵冬艳，熊童满，陈韶华.一种简化的平面阵波束形成方法[J].声学技术，2013（S1）:79-80.

[17]马晓峰.一种星载阵列天线的高效波束赋形算法[J].电波科学学报，2016，31（3）：479-485.