润泽 铸就 提升——兼评许吴山执教的“一元二次方程”一课

/卜以楼

我有幸成为“第十三届江苏省‘杏坛杯’苏派青年教师课堂教学展评”（南通赛区）的评委，观摩了初中数学课堂教学活动。下面就江苏南京许吴山老师的“一元二次方程”（第一课时）的教学展示，与大家分享学习体会，并就这次活动“涵养基本素质，提升课堂品质”这一主题，谈谈教师教学素养的问题。

一、用生长过程来润泽学生的数学思维

“一元二次方程”这一内容是在“一元一次方程”“二元一次方程组”“分式方程”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出的，是体会“方程是刻画现实世界相等关系的一个有效的数学模型”这一数学观念的延续。为此，让学生学习好这部分内容，对于深刻理解方程的意义，体会数学的应用价值具有重要意义。我想，这次展示活动选择这一课题，其目的也在于此。许吴山老师的教学设计，准确地演绎、展现这一教学意图。许老师构建本节课的数学活动可以用下列三个“精准”来概括。

1.思维的生长点精准。

建构问题情境，展开课堂学习，是新课程下数学教学的普遍做法。而许老师这节课教学情境并不普通。他把这节课的情境设计成“生活中处处有数学，学校数学兴趣小组进行了一天的观察和记录，老师节选了其中一段……”这样的设计新颖而又别致，具有较强的亲切感，凸显了以人为本的教学理念，让数学课中有人、有事、有灵性、有生命，在此基础上，通过后续的数学活动，紧扣立德树人的教育终极目标。

具体地说，许老师将发生在学生身边的数学事实，让学生通过数学抽象，建立方程（组）模型，作为本节课的基点，并在此基点上让学生通过数学思维活动，逐渐生长，让活动、思维、知识，由小变大、由薄变厚、由弱变强，凸显了知识生长的理念，使学生感到知识不是从天而降、不是无源之水，而让学生既见树木，又见树林。这为本节课开了一个好头，也为本节课埋下了生长的种子。可以说，思维的生长点定位精准，是许老师这节课呈现的第一道亮丽风景。

2.思维的拔节点精准。

紧接着，许老师通过“概念归纳（建构活动）、概念辨析（数学化认识）”等教学环节，来设计思维的拔节点，让学生在课堂学习中形成一串串的生长节，“让学生体验生长的过程，感悟生命成长的真谛”［1］，这也成为本节课的第二道亮丽风景。

首先，要求学生对列出的方程、方程组进行分类，此时的分类，不是单纯的运用分类的思想对列出的方程作一个程序上的分类，而是通过分类活动，让学生巧妙而又自然地亲历一元二次方程概念的形成过程。学生在分类的过程中，由于对数学的理解程度各不相同，可能有不同的分类，但是许老师包容不同的方法，运用交流、讨论、辩论的方法，最终形成统一的共识。这种共识就是直逼一元二次方程的数学本质，它既是数学知识生长的自然诉求，也是教学活动的价值定位。

其次，让学生对分类出来的方程、方程组进行数学抽象，直逼一元二次方程的一般形式的核心，以加深对一元二次方程等系列方程（组）概念的理解。这个教学环节，许老师设计了以下三个教学活动。一是让学生说出一元二次方程的基本概念。因为它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，所以可以把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。二是通过探究活动，让学生明白只有把方程整理化简，才能准确判断一个方程是不是一元二次方程。三是要求学生抽象出一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c＝0（a、b、c 为常数，a≠0）。其中ax2、bx、c 分别为二次项、一次项、常数项，a，b分别为二次项系数、一次项系数，加深了对一元二次方程本质的理解。

3.思维的归宿点精准。

本节课的归宿点是什么？那就是用一元二次方程的概念模型去解决数学内部的基本问题。许老师通过“例题探究→课堂小结→拓展延伸”这些环节来实现上述教学目标。为此，锁定思维的归宿点，自然成为本节课的第三道亮丽风景。

一方面，许老师将学生的目光再次引入生活中，通过“矩形花圃”这一生活问题，让学生数学建模后，直接用一元二次方程的概念去解决数学问题，让学生尝到本节课学到的知识的重要性，体会学习的力量、知识的价值和魅力。

另一方面，许老师通过一道典型问题的解决，再现本节课的核心知识与技能，教师规范书写，并配合后测练习，巩固新知。

最后，许老师通过设计问题，引发学生对探寻一元二次方程解法的思考。根据学生的实际情况，把一元二次方程通过降次转化为一元一次方程来求解，并适当“留白”，引发学生对数学知识的思考与探索。

二、用数学思维来铸就教学的课堂品质

我们还可以从用数学思维打造数学课堂品质这一角度，对这节课进行分析研究，归结起来主要有下列四点。

1.数学味浓。

这里说的“数学味”，就是数学课堂教学要充分体现数学学科特色，充满理性思维和品质内涵。数学教学品质是数学本质的呈现和把握，数学味越浓，数学课堂教学品质越高。数学教育家张奠宙先生认为：“数学味”表现在数学教学设计中如何体现“数学的本质”“精中求简”“返璞归真”，呈现数学特有的“教育形态”，让学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。

许老师设计的这节课数学味很纯、很正、很明。提出的问题是数学（数学小组的观察记录）、探究的方法是数学（将实际问题进行数学建模）、运用的思维是数学（用数学符号进行数学运算等）、形成的结论是数学（用字母表示一元二次方程的形式）、结论的应用是数学（对列出的方程进行同解变形等），在此过程中累积下来的核心素养还是数学（数学抽象、数学建模、数学推理、数学运算等）。为此，数学课堂教学不仅要充分体现数学学科特色，还要基于数学的教学价值，让数学教学充满理性思维和数学哲学的品质内涵，让学生形成最基本的数学观，并在此观念下发现数学问题、提出数学问题、分析数学问题、解决数学问题。

2.思维力强。

数学教学的本质特性就是数学思维，数学课堂上所有的活动必须凸显训练思维的价值，只有这样，数学才能成为启迪学生智慧的一门学科，才能成为传承人类文明的一门学科。因此，数学教学必须弄清知识内容、逻辑结构；弄清知识的内在联系、学科思想；弄清引申意义、文化意蕴。在知识内涵中凸显数学思维，在数学思维中彰显数学本质，在数学本质中形成数学素养。

许老师这节课运用“问题链”的方式，促使学生思考，必要时采取“追问”的形式（根据思维的层次与深度，适时地设计追问），逼学生不得不思考，凸显了数学思维的主战场。整节课学生在“算一算”“说一说”“想一想”“理一理”的思维平台上驰骋飞扬，学生的思维是灵动的、精神是振奋的、斗志是激昂的、生命是鲜活的。

3.互动性好。

互动性是指教（师）与学（生）共处的一种生命状态与精神境界，包括氛围、关系（情态）、方式、节奏、感受等，它是师生同心、同向、同行的精神场所。互动性主要取决于学生的参与性、参与度，学生参与度越高，数学课堂的品位感就越高。

时下的课堂不缺学生的参与，但似乎表面热闹多了些，深度思维明显不够。表面热闹充其量只能算上个体积极参与，而深度思维、深度学习，才算得上是有效参与。理想的课堂应该是积极参与和有效参与的辩证统一，缺一不可。

许老师设计的这节课一开始的问题情境，是学生熟悉的生活情境，解决问题的入口较宽，引发了学生积极参与。随着学习内容的逐渐深入，提出“你能列出上述问题中的方程吗”“你能对列出的方程进行分类吗”“你能给一元二次方程下个定义吗”等问题，这些问题逐渐抬高了学生思维层次与深度的要求，必然地将学生的积极思维自觉地过渡到深度思维之中，有效地将积极参与渐变为有效参与，巧妙地让积极参与和有效参与形成辩证的统一。所以说，数学课堂要营造数学氛围、引发数学思维、关注数学情感，做到简约而有序，即探究有效、讲授有度、指导有力、活动有序、创新有道。

4.效率值高。

高品质的课堂除了要实现上述几个特性外，还绕不开效率值高这个话题。因为教学永远是要讲究效率，效率值取决于探究的知识密度，落实的训练强度，达成的目标广度等，为此必须从以上几个方面着力研究数学课堂教学。从上述分析可以看出，许老师这节课将上述几个方面进行了有效的融合，融为一体，较好地践行了效率值高的品质特性，在这就不再赘述了。当然我们也要反对片面地追求教学效率，要坚持把长远效益放在首位，即教学中要把形成核心素养这个头等的教学效益当作第一要务来落实。

三、用课堂品质来提升教师的教学素养

本次“杏坛杯”活动的主题是“涵养基本素质，提升课堂品质”，其目的就是要用高超的教学技能来支撑高质的数学课堂。有什么样的教师就有什么样的课堂，为此提升教师的基本素质是实施高品质课堂的坚强保证，我们只有将数学教师的专业素质提升到一个高位的水平，才能使数学课堂品质行稳致远。数学教师的基本素养除了教育学上公认的几项之外，我认为还要在以下三个方面进行加以发展和培养。

1.要用好数学元素。

数学之所以区别于其他学科，是由于有其特有的数学元素，这些元素通常包含数学抽象、数学推理、数学模型、数学运算等等。数学抽象其实质就是将数学外部的世界转化到数学内部中来，它是一个由多变少的过程。正因为此，人们才能认识自然、认识生活。数学推理是在数学内部中，根据数学本身的结构、逻辑、体系，实现由少到多的裂变，于是可以通过数学推理得到很多的数学结论。正因为此，数学才能不断发展、壮大。数学模型只是让数学从内部走向数学外部，正因为此，人们才能用数学去改造自然，征服自然，才会在改造自然的过程中认识数学的价值。而数学运算，则是数学与生俱有的瑰宝，具有明显的数学特质。

数学教师要教好数学，首先就得利用好数学元素来玩数学。而有些数学课堂陈年乏味，缺少活力，数学元素的缺失不能不算是一个致命的硬伤。教师只有用好数学元素，其课堂才是数学课堂，其思维才是数学思维，其学生在学习过程中积累的才能是数学核心素养。否则皆是一纸空谈。为此，用好数学元素是数学教师的一项基本素养。

2.要讲好思维故事。

既然教师拥有并掌握了挖掘数学元素的技能，那么就得用数学元素“讲好数学思维故事”［2］。一节数学课能否引人入胜，关键就看它的故事性强不强。数学课的思维故事与其他学科的故事又不尽相同。数学思维故事，就是在数学元素下，种下一粒种子，让其在数学逻辑下不断地长大，直到开花、结果，再形成种子，再播种……这样往复循环下去，最终形成故事林。

数学教师讲数学思维故事的关键，要善于将“学术形态的数学”转化成“教育形态的数学”。例如，一元二次方程的发现、求解与应用的学术形态，一定是现在普遍认为的先给一元二次方程下个定义，再用一些有效的方法求出它的解，最后再利用它去解决实际问题。如果按这个学术形态去让学生学习，学生可能感到乏味，因为学生不知道为什么让他去做这样一系列的事情，所以数学课极有可能失去吸引力。如果将之转化为教育形态，像许老师这样，先通过数学课外兴趣小组的一些记录，用“主题式问题情境”来调起学生胃口，激发兴趣，然后对得到的方程进行分析，自然想到要对之进行分类，分类后发现有些方程对于学生是陌生的，所以就对这些陌生的方程产生兴趣，于是就得对这些陌生的方程进行仔细研究，随之便会得到一元二次方程的一般形式。上述环环相扣的教育形态，将这思维故事推向了高潮。最后再运用这个一般形式去解决一些纯数学问题，让学生体验到学习的好处与价值，给这个故事写上了一个完美的句号。

由此看来，将数学的学术形态转化为教育形态，是教师的一份责任；用数学元素讲好数学思维故事，是数学教师必备的另一项基本素质。

3.要弘扬理性价值。

理性价值是以知识和真理为中心，强调通过理性思维的方式发现真理，它是由人的思维构造的理论体系。这种价值观，不仅在自然学科中得到体现，而且已由自然科学深入到经济、政治以及社会科学的一切领域，它为人们提供了理性思维的范式。

我们在教学中，强调“良好的数学教学活动，应突出数学的特点，揭示数学知识产生的自然性与合理性，既讲推理和结论，也讲道理和缘由。基于感性发展理性，让数学的理性价值在教学过程中鲜活地流淌，让数学教学活动闪耀理性、智慧的光芒”［3］，正是弘扬理性价值的具体体现。因此，我们要深挖数学中的理性资源，让弘扬理性价值成为我们数学教师的一项基本技能。