关于立体几何概念的教学

段克玉

摘 要：正确的理解概念，是掌握一门学科的基础，立体几何也不例外。下面从五个方面谈谈立体几何概念的教学问题。

关键词：几何；教学；概念

一、 明确概念的重要性

很多学生认为数学学习最主要的任务是学算法，只要会算就行，所以他们虽然会算某些题目，但有关概念却模糊不清，常常是凭经验和直觉，仅知道大约是怎么回事，但却说不清其真实含义。因此我们首先要使学生明确概念学习的重要性。教学时，可以提出一些运用概念容易解决的题目，运用不同的解法加以比较，对于提高学生学习概念的积极性是非常有帮助的。

二、 概念的引入

如何引用概念是很重要的，引用得当，学生兴趣倍增；引用不当，学生感到困惑，容易丧失学习信心。

1. 实例引入

由于学生在自身的经历中积累了一些立几概念的感性知识，为此，教师在概念教学中应启发学生把这些模糊无条理的感性素材整理提炼，升华成理性知识。例如立体几何中，“平行”、“垂直”、“距离”、“角”等概念学生都曾接触过，因此很多概念都可以从实例引入。

2. 模型开路

模型是具体与抽象二者间的中介，对实物来说，模型已初步抽象化了，所以，使用模型就为学生从感性素材抽象出理性的概念架起了一座桥梁。在立几教学初期，充分利用模型是极重要的手段，一个立方体骨架的模型就几乎可以把第一章的大部分概念包罗进去了。当然模型使用了一段时间后就应逐步减少，因为学生已经逐步积累了相当的立几知识，再大量使用模型反而不利于空间想象能力的培养。

3. 抽象概念

学生在初中阶段已初步掌握了解几何体的一些思维方法，在实践中也积累了概念的感性素材，又通过观察模型对概念进行了初步的抽象，加上与形似概念进行类比，这时，他们往往试图自己来给某个概念下定义。所以在教学中应充分利用这些有利条件，充分启动学生的学习积极性和主动性，让学生自己学会给抽象概念下定义。当然，学生未必能一下就能给出完整准确的定义，我们的任务就是启发学生找出他们叙述中的欠缺，并带领学生加以修正，使之严密完整，从而牢牢地掌握它。以“只限于平面垂直”的定义为例：学生会说：“如果直线与平面成直角”，或者“直线与平面内的两条直线垂直”，或者“直线与平面内的无数条直线垂直”，或者“直线与平面内的所有的直线垂直”等等，就叫直线与平面垂直，对这些意见，我们并不要急于否定或肯定，而是要引导学生找出问题，或进行比较，最后得出课本上的定义来。

【例】 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3AC，PD⊥平面ABC，PD=DB。

求证：PA⊥CD.

证明：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，

在Rt△ABC中，由3AC=BC得，

∠ABC=30°，设AD=1，

由3AD=DB得，DB=3，BC=23，

由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3，

∴CD2+DB2=BC2，即CD⊥AO.

∵PD⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴PD⊥CD，由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB，

又PA平面PAB，∴PA⊥CD。

思维升华：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①直线与平面垂直的概念及判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性质。（2）证明直线与平面垂直的核心是证直线与直线垂直，而证明直线与直线垂直则需借助直线平面垂直的性质。因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明直线平面垂直的基本思想。（3）直线平面垂直的性质，常用来证明直线与直线垂直。

三、 揭示概念内涵与外延

定义的语言都是极为简练的，所以充分發掘概念的内涵与外延是加深学生对概念理解的必不可少的方法。

1. 逐字推敲

例如异面直线的定义为“不同于任何一个平面的两条直线”。我们可让学生讨论，把“任何”两字去掉，说成“不同在一个平面内的两条直线”或“不在同一平面内的两条直线”行不行？把“同”字去掉，说成“不在任何一个平面内的两条直线”行不行？这样一推敲，学生对概念的理解就深了。

2. 完整理解

有的定义分成几个部分，学生往往重视一般情况而忽略了特殊情况，这样对概念的理解就不完整。例如“直线与平面所成角”的概念，学生往往只重视“斜线与它在平面内的射影所成的锐角”，而丢掉了直线与平面垂直或平行这两种特殊情况。这样，在遇到具体问题时就会解答不全，例如，学生在证明：“一直线与两平行平面所成的角相等”时，往往只就直线与平面斜交的情况证明，这样的证明就不完整，因此对这种类型的概念，我们就必须指导学生完整地理解。

3. 揭示本质

例如“距离”这一概念有好多个，表面上每次研究的对象

都不同，但它们都有其本质的共性，即“最短”性，因此应让学生充分认识这一本质属性；例如在定义“点与平面的距离”时，我们先带着学生研究这点与平面上所有各点的连接线段，在其中找出最短线段的一条来，再给出定义。在给出“两条异面直线的距离”这一定义时，虽暂时不能说明“最短”的理由，但一学到“分别在异面直线上取两点的距离”公式后，就应回顾这个“最短”的本质属性，暂时无法证明，但我们也应向学生指明。

四、 注意概念间的联系与区别

任何知识都必然与其他知识联系着，但又有别于其他知识，我们应抓住这些区别与联系，利用对比和类比来进行概念的教学。

1. 抓住平面几何与立体几何概念的区别与联系

平面几何与立体几何是前后衔接的两门相近的学科，立体几何中许多概念常可溯源于平面几何概念，因此复习平面几何中相应概念，使学生通过复习受到启迪，进而通过类比而得出新的概念是非常可行的。例如通过复习平面几何中“垂直”“平行”等概念，对照三角形研究四面体的相应概念等等。endprint

我們要特别注意平面几何与立体几何相似概念的区别，抓住区别进行对比，以防止学生滥用平面几何定义。例如“两直线垂直”，学生常习惯于“必有垂点”这一点，我们应在教学中充分重视，让学生从平面几何的窠臼中尽早解脱出来。例如：空间线面位置关系判断的常用方法：

（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断。

2. 注意立体几何中相近概念的联系与区别

例如“垂直”、“平行”概念，立体几何中多次出现，相似而又各不相同，因此我们应进行横向比较。比如我们可让学生归纳出：过直线外一点引直线的

垂线有无数条（都在垂面内）

垂面有一个

平行线有一条

平行平面有无数个（都过平行线）

过平面外一点作该平面的

垂线有一条

垂面有无数个（都过垂线）

平行线有无数条（都在平行平面内）

平行平面有一个

等等这样正确的命题。

3. 利用集合进行比较

例如：棱柱部分有很多概念：棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、直平行六面体、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体等，我们可以利用集合的概念，让学生指出这些概念间的逻辑关系，并用文氏图直观画出，这对学生搞清有关概念也是很有帮助的。

五、 介绍对概念下定义的规则

学生在初中已经接触了不少定义，到了高中，他们更希望自己来给一些概念下定义，因此我们应让学生了解些下定义的规则。在向学生讲解有关规则时，可针对学生实际，“就事论事”地讲解有关规则，不必求全。例如，在讲平面概念时，我们可以讲一讲什么是原始概念，也可让学生分析这样的两句话：“点按一定方向及其相反方向运动所得的图形就叫直线。”“直线按一定方向及其相反方向运动所得的图形叫做平面。”看这是否能作为直线和平面的定义。又如，针对学生说的：“如果直线与平面成90°就叫直线与平面垂直。”我们可以讲解“不能用除原始概念外的尚未定义的概念来给待下定义的概念下定义”这条规则。在定义了直线与平面所成角之后，我们则可介绍“定义不能恶性循环”这条规则。

当然，我们也可在适当的时候讲讲下定义的方法，什么是属加种差定义，什么是发生性定义以及用揭示外延来定义等等，使学生对此也有一个初步的了解。endprint