带电粒子在磁场中运动规律的可视化研究

姚琴芬 束正煌

(江苏开放大学通识教育学院，江苏 南京 210036)

研究带电粒子在磁场中运动的规律时，可以利用Matlab强大的模拟仿真功能[1,2]，把复杂、抽象的物理规律，通过直观、生动的物理图像展现出来。同时，我们可以随意更改仿真参数，输出不同条件下的仿真图像。对于有些解析法无法求解的复杂问题，只要给定初始条件，我们也可以通过Matlab软件的强大计算功能进行数值求解，这一点，在实际工作中有着重要的意义。

1 几个应用实例[3]

(1) 磁聚焦[4,5]

如图1所示，一束质量为m、带电量为e的电子，先经过较大的轴向电压加速，获得相同的水平速度vz；再经过径向交变电压发散，获得不同的但很小的径向速度vr；然后进入轴向匀强磁场B中做螺旋运动。下面分析这束带电粒子的运动轨迹：

图1 磁聚焦原理图

螺旋运动的半径由径向速度vr决定，其值为

(1)

根据公式(1)，各粒子将作半径不同的螺旋运动。

螺旋运动的螺距由水平速度vz决定，其值为

(2)

根据公式(2)，由于各粒子具有相同的水平速度vz，所以，它们的螺距相同。下面，根据粒子的运动方程，用Matlab描绘其运动轨迹。

由于电子带负电荷，其运动方程可表示为

(3)

其中，Cx,Cy和Cz是常数，如果t=0时，x=y=z=0，则Cx=-R,Cy=Cz=0。

设发散角的正切tanθ=vr/vz，则半径可表示为

(4)

以管长L为坐标单位，取周期T为时间单位，运动方程可化为约化形式，即

(5)

其中，t′=t/T。取发散角θ为参数向量，取时间t为自变量向量，形成矩阵，计算三维坐标，用三维矩阵画线法画出轨迹曲线族如图2所示：

图2 电子束磁聚焦轨迹图

从图2可以看到，由于各个电子的径向速度不同，因此，每个电子各自以不同的半径做螺旋运动，但由于各电子具有相同的螺距，因此，经过一个周期后，它们又重新会聚到同一点，这种现象叫做磁聚焦。改变观察角度，从右向左看，可以看到，所有电子的运动轨迹都是圆，如图3所示。且电子束的发散角越大，它做螺旋运动的半径就越大，每经过一个周期，电子束就会聚一次。

图3 磁聚焦侧面示图

程序如下：

clear %清除变量

theta=-2:0.8:2; %发散角向量的度数

th=theta*pi/180; %化为弧度

n=1; %整数(焦点或周期个数)

t=linspace(0,n); %时间向量

[TH,T]=meshgrid(th,t); %矩阵

X=tan(TH)/2/pi/n.*(cos(2*pi*T)-1);

%x坐标

Y=tan(TH)/2/pi/n.*sin(2*pi*T);

%y坐标

Z=T/n; %z坐标

figure %创建图形窗口

box on %加方框

grid on %加网格

view(-20,5) %设置视角

fs=16; %字体大小

r=max(abs(X(:))); %圆的半径

x=r*cos(th); %圆的横坐标

y=r*sin(th); %圆的纵坐标

hold on %保持图像

%画磁感应线

pause %暂停

view(90,0) %设置左视角

axis equal tight %使间隔相等

《庄子》有篇《不龟手之药》（龟通皲，皮肤皲裂之意），讲了一个故事：宋国有一个善于制造防治皮肤冻裂的药（类似于现在的防冻护手霜）的人，世世代代以在水中漂洗棉絮为业。有一个客人听说了，请求用百金购买这个药方。宋国人把族人召集在一起商量说：“咱家世世代代以在水中漂洗棉絮为业，不过赚几个小钱儿罢了。现在一下子卖掉技术就能得到百金，那就卖给他吧。”客人得到秘方以后，用它来游说吴王。正赶上越国向吴国发难，吴王派客人作大将，冬天与越国人在水中作战，因为客人有制作护手霜的秘方，将士们免受冻伤，吴军大获全胜。论功行赏，吴王赏给这个客人一块封地。

(2) 带电粒子在非匀强磁场中的运动规律[6，7]

如图4所示： 一质量为m、电荷量为q的粒子，以初速度v0，从坐标原点出发，在xy平面内，沿与x轴夹θ角的方向进入非均匀磁场中，磁感应强度B的大小与x成正比，B=B0x，方向沿x正方向。试写出该带电粒子的运动方程，并描绘它在这一非均匀磁场中运动的轨迹[8](忽略重力作用)。

图4 带电粒子进入非均匀磁场

分析求解： 该带电粒子在非均匀磁场中仅受洛伦兹力的作用，因此运动方程为

(6)

(7)

根据速度与位置的关系方程有

(8)

在初始条件t=0时，x=y=z=0，vx=v0cosθ，vy=v0sinθ，vz=0。联立求解(7)、(8)两式组成的6个一阶微分方程组，可以得到3个位置(x,y,z)以及3个分速度(vx,vy,vz)，但求解过程比较复杂。我们利用Matlab强大的数学工具，编制下列程序，可很方便地解出方程组，并描绘出带电粒子在这一非均匀磁场中运动的轨迹。假设v0=1000m/s，θ=30°，qB0/m=100。

程序如下：

%电荷在非均匀磁场中的运动

clear

global A; %定义全局变量

A=100;v=1000;sita=pi/6; %设定qBo/m，初速度，入射角

vx=v*cos(sita);vy=v*sin(sita);

%计算x,y方向的初速度

tspan=[0 0.1]; %设定积分时间

subplot(2,2,1) %以下为描绘各方向的运 动轨道

plot(t,y(:,1)); %绘制一般二维曲线

%comet(t,y(:,1)); %绘制动态二维轨迹

subplot(2,2,2)

plot(t,y(:,3));

%comet(t,y(:,3));

subplot(2,2,3)

plot(t,y(:,5));

%comet(t,y(:,5));

subplot(2,2,4)

plot(y(:,3),y(:,5));

%comet(y(:,3),y(:,5));

figure %新开图像窗口plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5)); %绘制一般三维曲线

%comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));

%绘制动态三维轨迹

函数文件是一个独立文件，文件名为dzc.m

%电荷在非均匀磁场中运动的微分方程

function yp=dzc(t,y)

global A; %定义全局变量yp=[y(2) 0 y(4) A*y(6)*y(1) y(6)-A*y(4)*y(1)]; %写入微分方程

程序通过求解方程组，得到了全部位置和速度分量与时间点的数值关系，因此，运行程序后，可一一画出带电粒子在非均匀磁场中的运动轨迹图如图5所示。

图5 带电粒子在非均匀磁场中各个方向的运动图像

从图5可以清楚地看到：在x方向，带电粒子因没有受到任何力的作用而作匀速直线运动；在y和z方向，带电粒子在磁场与x成正比增强的洛伦兹力的作用下，运动轨迹呈半径逐步变小的螺旋形[9]。图6是带电粒子在三维空间中的螺旋形运动轨迹。

图6 带电粒子在非均匀磁场中的运动轨迹

2 结语

通过Matlab模拟仿真技术，不仅可以算出解析法无法计算出来的结果，而且能把带电粒子在磁场中的运动轨迹直观、准确地描绘出来，通过动画观察物理过程的细节[10]，不同参数的自由选取，使学生能更透彻地理解物理现象及规律背后的奥秘，同时，还能培养学生利用数值计算和模拟[11]解决物理问题和其他工程问题的兴趣与能力。

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