运动的复平面坐标描述及其应用几例

顾学文 郭文刚 裴海林

(陆军军事交通学院基础部，天津 300161)

很多力学量(如运动学中位置、速度、加速度，动力学中的力、力矩等)都是矢量，处理力学问题时，通常需要选择合适的坐标系把这些矢量表示成相应的分量形式。常见的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、平面极坐标系、柱坐标系和球坐标系等，目前通行的各种《大学物理》教材对此都有直接或间接的论述[1-8]。本文拟讨论一种不见于各种通行教材的坐标系——复平面[9]坐标系。这种坐标系虽不为很多教材作者所注意，在某些情况下却有其独特优点，特别适合于处理显含速度的法向力(洛伦兹力、转动参考系中的科里奥利力等)作用下的圆周运动、旋轮线运动，以及刚体的转动与滚动等的动力学问题。在很多情形下，采用该坐标系可使问题的数学难度大大降低，使问题的处理更为简洁。下面先对这种坐标系进行简要介绍，然后以几个例子来说明其应用。

1 复平面坐标系

复平面[9]的结构略同于平面直角坐标系，由两条相互垂直的坐标轴组成，但它不引入单位矢量i和j，而是将纵轴y轴定义为虚数轴(图1)，其坐标平面中的每个点(x，y)对应于一个复数x+iy，其中i是虚数单位。可见，其作用相当于一种坐标系，不妨称为复平面坐标系，在这种坐标系中xOy平面内的任意矢量A都可以用一个复数表示，这个复数的实部和虚部分别是A在x、y轴上的投影，即

(1)

图1 复平面坐标系及其矢量的表示

这种表示在处理矢量的点积等问题时并无优势，但对于矢量合成等问题可以同普通的直角坐标系一样方便，如

(2)

特别是，在这种坐标系中矢量的旋转关系可以表达得十分简洁，考虑到欧拉公式

eiθ=cosθ+isinθ

(3)

其中e是自然对数的底，一个大小为A，与x轴夹角θ的矢量A可以表示为

(4)

如把矢量A逆时针转动φ角变成矢量B，则表示为

(5)

(6)

2 运动量的复平面坐标表示

由前所述，质点的位置矢量r可以表示为

(7)

与之类似，速度、加速度可分别表示为

其中t是时间。即描述运动的各物理量间的关系可以如普通的直角坐标系中一样直观地予以表述。

特别地，由于上节中所述的特点，复平面坐标系尤其适合于对圆周运动(以及圆周运动和其他运动构成的合运动)进行简洁的描述。如以坐标原点为圆心的匀速率圆周运动可表示为

(10)

其中，R是运动轨迹的半径；ω是角速度大小。更一般化一些，任何

(11)

都表示以原点为圆心的圆周运动，其角速度、角加速度大小分别为

该圆周运动的速度、加速度则可分别表示为

(16)

从上述论述，可以看出复平面坐标系的优点。

3 应用举例

由于这些优点，采用复平面坐标系在某些情况下能为动力学问题的求解带来便利，特别是当需要处理的问题中涉及显含速度的法向力(洛伦兹力、非惯性系中的科里奥利力等)作用下的圆周运动、旋轮线运动，以及刚体转动与滚动等运动形式时，复平面坐标系往往颇为适合。下面略述几例以备参考。

3．1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

如图2所示，在磁感强度B垂直于带电粒子初速的均匀磁场中，若不考虑带电粒子加速运动时的辐射阻力，则众所周知带电粒子将作匀速率圆周运动。学生们对此结论耳熟能详：由于受力一直沿法向，粒子速度大小不变，在法向上由牛顿第二定律可解得其轨迹的曲率半径不变，轨迹当然是圆。然而这种解释方法通用性较差，即使在此基础上粒子最多受一个恒力作用(见下例)，也无法再如此处理；另外其中使用的是自然坐标系，这种坐标系通常是先知道轨迹再沿轨迹建立，现在反过来用以求解轨迹，往往使学生感觉逻辑上很不顺畅。所以大多学生只是“知道”其轨迹是圆而已，并未想过如何求解得到轨迹。采用通常的平面坐标系学生更为熟悉，但在该坐标系中由牛顿第二定律和洛伦兹力公式可得此粒子的动力学方程为

其中q、m分别是粒子的电量和质量。求解式(17)、(18)这种未知函数及其导数互相“交叉”的微分方程组，是超出多数本科学生的数学能力的。

图2 均匀磁场中带电粒子的运动

采用复平面坐标系，却能较简洁地得出结果。在该坐标系中，粒子的动力学方程表示为

(19)

此方程可分离变量，故易解得

(20)

对时间t积分则得运动方程

(21)

亦即

(22)

3．2 带电粒子在均匀正交电磁场中的运动

如在上例中沿y轴方向有均匀静电场E，则粒子的动力学方程变为

(23)

在前例的基础上，用常数变易法可以并不困难地解得

(24)

运动方程为

(25)

本例如不采用复平面坐标，将很难解析地解决，因其在普通平面直角坐标系中的动力学方程比式(17)、(18)更复杂。

3．3 旋转水平面上的小球无滑滚动

图3 匀转速水平转台上的小球滚动

此例素材来自2015年国际青年物理学家锦标赛(IYPT2015)的一个题目(图3)。水平转台绕竖直轴以匀角速度Ω转动，匀质小球在该平面上运动。若小球与转台间无相对滑动，则其运动轨迹如何？考虑到小球自转角速度与接触点速度之间、小球所受静摩擦力与力矩之间都是互相垂直的，所以此问题也适合用复平面坐标系来描述。以小球质心初速度方向为x轴、水平面与转台转轴的交点为原点在水平面内建立复平面坐标系，以地面为参考系，则球与台面接触点间无相对滑动的条件为：

(26)

(27)

由转动定律和质心运动定理，可列出下列动力学方程：

(30)

(31)

解得

(32)

上式已考虑到x轴是依球质心初速方向选取的(这意味着初速以实数表示)。对时间积分得

(33)

4 结语

复平面坐标系是一种虽在力学中不甚常见，却在某些情形下具有独特优点的坐标系。它将平面上的两个坐标作为一个(复)数进行统一处理，可以很简便地得到圆周运动的切向与法向加速度的表达式，还能使某些在其他坐标系下不易解决的问题，特别是显含速度的法向力作用下的运动问题，得到简洁的处理。可以考虑将运动的复平面坐标描述引入大学物理课程和教材，例如教材中可在“运动的自然坐标表示、法向与切向加速度”内容之后，以小字附注或附录的形式对其进行适当介绍。

[1] 东南大学等七所工科院校编，马文蔚改编．物理学(上册)[M]．北京：高等教育出版社，2006.01：12-14.

[2] 康颖．大学物理(上册)[M]．北京：科学出版社，2015.12：7-20.

[3] 程守洙，江之永．普通物理学上册[M]．北京：高等教育出版社，2006.12：5，14.

[4] 赵凯华，罗蔚茵．力学[M]．北京：高等教育出版社，2004.07：28-29.

[5] 黄祝明，吴锋．大学物理学[M]．北京：化学工业出版社，2002.09：28，9-14.

[6] FEYNMAN R P，LEIGHTON R B，SANDS M.费恩曼物理学讲义(第一卷)[M]．郑永令，华宏鸣，吴子仪，等译．上海：上海科学技术出版社，2005.06：117-120.

[7] 毛骏健，顾牡．大学物理学[M]．北京：高等教育出版社，1999.11：14-15.

[8] 唐海燕，王丽梅，宋士贤．工科物理教程(上册)[M]．北京：国防工业出版社，2007.01：39-40.

[9] 王思聪．复平面上的圆的方程[J]．遵义师专学报，1995(1)：54-62． WANG Sicong． The equation of a circle in a complex plane[J]． Journal of Zunyi Teachers College，1995(1)： 54-62．(in Chinese)

[10] 胡建新．带电粒子在正交恒定电磁场中运动状态的分析[J]．大学物理．2004(4)：8-10． HU Jianxin． The motion of a charged particle in electric and magnetic fields perpendicular to each other[J]． College Physics， 2004(4)： 8-10．(in Chinese)